Punct de acumulare. Punct izolat

În acest videoclip voi defini două tipuri de puncte care joacă un rol important pentru mulțimile de numere reale nevide, punctul de acumulare și punctul izolat.

Voi începe cu definiția punctului de acumulare.

Considerăm mulțimea A, o mulțime nevidă, inclusă în R barat.

X0, un element din R barat, se numește punct de acumulare al mulțimii A dacă, pentru orice vecinătate V alui X0, rezultă că A intersectat cu mulțimea V minus elementul X0 este diferită de mulțimea vidă.

Am reprezentat elementele din definiția punctului de acumulare.

Mulțimea A este reprezentată cu albastru.

X0 l-am luat chiar un element al mulțimii A, dar ar fi putut fi și un alt element din R barat.

Nu este obligatoriu să facă parte din mulțimea A.

Definiția ne spune că X0, un element din R barat, este un punct de acumulare al mulțimii A dacă, orice vecinătate V alui X0, mai conține și alte puncte din A diferite de X0.

L-am marcat aici cu MOV un alt punct din A care se găsește în această vecinătate V alui X0.

Sigur, noi în definiție avem orice vecinătate V, eu în desen n-am putut reprezenta decât o vecinătate, dar trebuie să țineți cont că orice vecinătate alui X0 trebuie să conțină cel puțin încă un element din A diferit de X0.

Adică, definiția ne spune că X0 din R barat este un punct de acumulare al mulțimii A dacă există un element X din V intersectat cu A pentru orice vecinătate V alui X0.

Să presupunem că mulțimea A nu este o mulțime finită. Am reprezentat-o în aceste trei imagini printr-un segment și am considerat trei situații.

Odată când X0 este capătul din stânga al segmentului sau al mulțimii A, indiferent dacă X0 face parte sau nu din mulțimea A.

A doua situație când X0 este în interiorul segmentului sau al mulțimii A și a treia situație dacă X0 este capătul din dreapta al mulțimii A.

Din nou, nu ne interesează dacă X0 face parte sau nu din mulțimea A.

Am văzut în definiție că X0 trebuie să fie din R barat. Nu trebuie să fie neapărat din mulțimea A.

Cum noi putem considera, fără a restrânge generalitatea că vecinătățile lui X0 sunt vecinătăți centrate în X0, atunci când X0 este capătul din stânga al mulțimii A,

orice vecinătate va avea intervalele de forma X0, X0 plus P, adică această parte a vecinătății inclusă în mulțimea A.

Dacă X0 este în interiorul mulțimii A, atunci intervalele de forma X0 minus PX0, adică elementele din vecinătate situate în această parte a vecinătății,

reunit cu intervalul X0, X0 plus P, adică această parte din vecinătate, vor fi incluse în mulțimea A.

Cu siguranță că și X0 este inclus în mulțimea A, dar în definiția punctului de acumulare noi spunem că pe X0 trebuie să-l scoatem afară din vecinătate.

Dacă X0 este capătul din dreapta al mulțimii A, atunci vom avea intervale de forma X0 minus PX0, adică această parte a vecinătății, care este inclusă în A.

Deci noi am putea spune că X0 este un punct de acumulare al mulțimii A dacă există P mai mare ca 0, astfel încât intervalul X0, X0 plus P este inclus în mulțimea A,

sau X0 minus PX0 reunit cu intervalul X0, X0 plus P este inclus în mulțimea A, sau intervalul X0 minus PX0 este inclus în mulțimea A.

Repet, dacă există P, astfel încât să aibă loc una dintre aceste trei incluziuni, atunci X0 este un punct de acumulare al mulțimii A.

Dacă X0 nu este nici în interiorul mulțimii A și nu este nici capăt, atunci vedem că există o vecinătate a lui X0 care nu are niciun element comun cu mulțimea A.

Înseamnă că în această situație X0 nu este punct de acumulare al mulțimii A.

Am văzut că o mulțime poate avea mai multe puncte de acumulare.

Pentru mulțimea A pe care am reprezentat-o printr-un segment, orice punct din interiorul segmentului este punct de acumulare.

Capătul din stânga al mulțimii sau al segmentului este punct de acumulare.

Capătul din dreapta al mulțimii sau al segmentului este punct de acumulare.

Vom nota cu A' mulțimea punctelor de acumulare ale mulțimii A.

În continuare vom discuta câteva exemple.

Dacă A și B sunt două numere reale cu A mai mic decât B,

și mulțimea A este intervalul deschis AB sau intervalul închis în A deschis în B

sau intervalul deschis în A închis în B sau intervalul închis AB,

mulțimea punctelor de acumulare ale mulțimii A va fi egală cu interval închis AB.

Discuția pe care am avut-o înainte justifică

de ce în oricare din cele patru situații,

mulțimea punctelor de acumulare este intervalul închis AB.

Dacă mulțimea A este formată din elementele minus 3, minus 1 pe 2 și 1,

am reprezentat cele trei elemente minus 3, minus 1 pe 2 și 1 pe axa numerelor reale.

În această situație, mulțimea punctelor de acumulare ale mulțimii A va fi mulțimea vida.

Să vedem de ce.

Opriți înregistrarea video și arătați de ce mulțimea punctelor de acumulare ale acestei mulțimi este mulțimea vida.

Probabil că ați arătat că niciun element din mulțimea A nu este punct de acumulare pentru mulțimea A

și apoi că niciun număr real care nu este din mulțimea A nu poate fi punct de acumulare pentru mulțimea A.

Ca să arătăm că un element nu este punct de acumulare pentru o mulțime,

este suficient să punem în evidență o vecinătate a elementului respectiv,

care nu are niciun alt element comun cu A.

De exemplu, pentru elementul minus 3 am luat vecinătatea minus 3,5 minus 2,5.

Dacă din această vecinătate scădem mulțimea formată din elementul minus 3

și intersectăm cu mulțimea A,

evident obținem mulțimea vida.

Această intersecție nu conține niciun element.

Pentru elementul minus 1,2 am pus în evidență vecinătatea minus 1,0

dar puteți pune în evidență orice altă vecinătate

care nu conține pe minus 3 sau 1.

Și pentru 1 am pus în evidență vecinătatea 1,2,3,2.

Dacă luăm un element oarecare din mulțimea numerelor reale care nu se găsește în mulțimea A

am luat aici la marcat cu MOV un X0 oarecare

întotdeauna vom putea pune în evidență, indiferent de valoare acestui număr,

o vecinătate care nu are niciun element comun cu A.

Putem generaliza acest rezultat dacă mulțimea A conține un număr finit de elemente

A1, A2, AN, unde N e un număr natural diferit de 0

atunci mulțimea punctelor de acumulare ale lui A este mulțimea vida.

Să luăm un al treilea exemplu, mulțimea numerelor naturale.

Mulțimea punctelor de acumulare a lui N este formată doar din plus infinit.

De ce se întâmplă aceasta?

În primul rând, numerele naturale 0,1,2 și așa mai departe

nu sunt puncte de acumulare pentru mulțimea N

pentru că putem găsi o vecinătate a lui 0, care cu excepția lui 0 nu conține niciun alt număr natural

sau o vecinătate a lui 1, care cu excepția lui 1 nu conține niciun alt număr natural

și așa mai departe.

Vecinătățile lui plus infinit sunt intervale de forma C plus infinit.

Cum mulțimea numerelor naturale este infinită, indiferent de valoarea lui C, această vecinătate va conține cel puțin un număr natural.

Înseamnă că plus infinit este punct de acumulare pentru mulțimea numerelor naturale

și fiind unicul punct de acumulare, mulțimea punctelor de acumulare ale lui N este egală cu plus infinit.

Mulțimea punctelor de acumulare ale lui Z este formată din minus infinit și plus infinit,

iar mulțimea punctelor de acumulare ale lui R este R barat.

Opriți înregistrarea video și justificați aceste două rezultate.

Voi defini acum punctul izolat.

Dacă A este o mulțime nevidă inclusă în R,

x0 aparținându-i A se numește punct izolat al lui A,

dacă există cel puțin o vecinătate V a lui x0,

astfel încât intersecția dintre V și A să conțină doar punctul x0.

Dacă A este mulțimea marcată cu albastru,

deci conține aceste elemente și elementul x0,

vedem că există o vecinătate V a lui x0

care nu conține niciun alt punct din A cu excepția lui x0.

Înseamnă că x0 este punct izolat.

Să vedem acum câteva exemple.

În mulțimea A egală cu minus 3, minus 1 pe 2 și 1,

toate elementele mulțimii sunt puncte izolate.

În mulțimea numerelor naturale, toate numerele naturale sunt puncte izolate.

În mulțimea numerelor întregi, toate numerele întregi sunt puncte izolate.

Să rezolvăm un exercițiu.

Să considerăm mulțimea A egală cu interval deschis minus 1 închis 1,

reunit cu interval deschis 2 deschis 3, reunit cu elementul 5.

Să se determine mulțimea punctelor de acumulare ale lui A și punctele izolate ale lui A.

Am reprezentat mulțimea A cu albastru pe apsa numerelor reale.

Am văzut că mulțimea punctelor de acumulare ale unui interval AB este intervalul închis AB.

Mulțimea punctelor de acumulare pentru intervalul deschis minus 1 închis 1

va fi intervalul închis minus 1 închis 1.

Mulțimea punctelor de acumulare pentru intervalul deschis 2 închis 3

este intervalul închis 2 închis 3.

Să vedem dacă elementul 5 este punct de acumulare sau punct izolat.

X0 egal cu 5 este punct izolat pentru că am pus în evidență o vecinătate V alui 5,

intervalul deschis 4-6,

care conține un singur element din A și acela este elementul 5.

Deci, mulțimea punctelor de acumulare ale lui A este formată din reuniunea intervalelor închise minus 1, 1 și 2, 3,

iar mulțimea A are un singur punct izolat și acela este 5.

Câteva observații.

Dacă A este o mulțime nevidă de numere reale,

atunci orice punct al mulțimii A este fie punct de acumulare, fie punct izolat.

În acest exercițiu, toate elementele din intervalul deschis minus 1 închis 1 sunt puncte de acumulare,

toate elementele din intervalul deschis 2 închis 3 sunt puncte de acumulare,

iar 5 este punct izolat.

A doua observație, punctele izolate ale unei mulțimi pot fi doar elemente din mulțime.

5 este punct izolat, el este element al mulțimii A.

A treia observație, dacă X0 este un punct de acumulare pentru A,

nu este obligatoriu ca X0 să aparțină mulțimii A.

Vedem că, de exemplu, minus 1 este punct de acumulare pentru mulțimea A,

dar nu face parte din mulțimea A,

1 este punct de acumulare pentru mulțimea A și face parte din mulțimea A.