Proprietatea de asociativitate

În acest videoclip voi continua lecția despre proprietățile de comutativitate și de asociativitate a legilor de compoziție

și voi defini și exemplifica proprietatea de asociativitate.

Începem prin a defini asociativitatea.

Considerăm mulțimea M o mulțime nevidă pe care am definit o lege de compoziție pe care aici am notat-o cu stea.

Legea de compoziție stea este asociativă dacă are loc relația de egalitate A stea B totul stea C egal cu A stea B stea C, oricare ar fi A, B și C din M.

Parantezele pe care le avem în acești doi membri ai egalității ne indică ordinea în care trebuie să efectuăm operațiile.

Adică, în membrul stâng, prima dată trebuie să efectuăm operația dintre A și B și apoi operația dintre rezultatul operației lui A și B cu C.

În timp ce în membrul drept, prima dată trebuie să efectuăm operația dintre B și C și apoi operația dintre A și rezultatul operației dintre B și C.

Să luăm un exemplu pentru a vedea cum funcționează.

Considerăm mulțimea M egală cu intervalul deschis 1 plus infinit și legea de compoziție definită prin x compus cu y egal cu 2xy minus 2x minus 2y plus 3 pentru orice xy din M.

Să vedem ce înseamnă paranteza A compus cu B închit paranteza compus cu C.

Spunem că paranteza ne indică ordinea efectuării operațiilor.

Deci prima dată trebuie să efectuăm operația dintre A și B, adică în această lege de compoziție pe x va trebui să îl înlocuim cu A și pe y să îl înlocuim cu B.

Vom obține 2AB minus 2A minus 2B plus 3 închit paranteza compus cu C.

Deci acesta este rezultatul lui A compus cu B folosind definiția legii de compoziție ce ne-a fost dată de exerciție.

Acum mai avem de efectuat această operație în care în locul lui x noi avem toată paranteza și în locul lui y îl vom avea pe C.

Voi colora cele două elemente care apar în această operație.

Am colorat cu albastru primul element și cu verde al doilea element.

Am să rescriu acum definiția legii de compoziție folosind acest cod de culori.

Albastru pentru primul element, în cazul nostru pentru x și verde pentru al doilea element, în cazul nostru pentru y.

Operația C rescrisă cu acest cod de culoare devine

x care-i scris cu albastru compus cu y care-i scris cu verde este egal cu 2 ori elementul scris cu albastru ori elementul scris cu verde

minus 2 ori elementul scris cu albastru

minus 2 ori elementul scris cu verde plus 3

Vom efectua acum această operație în care elementul scris cu albastru este 2ab minus 2a minus 2b plus 3

și elementul scris cu verde este C

Vom obține 2 ori elementul scris cu albastru care în cazul nostru este 2ab minus 2a minus 2b plus 3

ori elementul scris cu verde care în cazul nostru este C

După care urmează minus 2 ori elementul scris cu albastru

deci minus 2 ori elementul scris cu albastru care în cazul nostru este 2ab minus 2a minus 2b plus 3

Acum trebuie să scriem minus 2 ori elementul scris cu verde

minus 2 ori elementul scris cu verde adică C

și mai avem de pus plus 3

plus 3

Acum în această expresie nu mai avem deloc operația CERC

deci nu ne mai apară deloc legea de compoziție

toate acestea sunt numere din mulțimea 1 plus infinit

înseamnă că putem efectua operațiile normal așa cum știm să efectuăm

avem doar înmulțiri, adunări, scăderi de numere reale

Să calculăm acum PA compus cu paranteza B compus cu C

Spuneam că paranteza ne indică ordinea efectuării operațiilor

deci prima operație pe care trebuie să o efectuăm este B compus cu C

Dacă tot avem deja stabilit codul de culori, îl vom folosi

înseamnă că în cazul nostru B va trebui să fie elementul albastru

și am să scriu acum cu albastru

iar C va trebui să fie elementul verde

și vom obține A compus cu

și acum în lege înlocuim pe X care-i albastru cu B care-i albastru

și pe Y care-i cu verde cu C care-i cu verde

deci vom avea 2BC

minus 2B minus 2C plus 3

Mai avem de efectuat o operație de compunere

în care primul termen, deci elementul de pe prima poziție

este A și elementul de pe a doua poziție este întreaga paranteză

adică în această situație elementul pe care îl scriu cu albastru

va fi A și pe acesta trebuie să-l compun cu

toată paranteza, adică paranteza va fi scrisă cu verde

2BC minus 2B minus 2C plus 3

și vom obține 2 ori primul element, adică A

ori al doilea element, adică elementul verde de aici

minus 2 ori elementul albastru

minus 2 ori elementul verde plus 3

Voi reveni la acest exercițiu după ce voi prezenta câteva exemple de legi de compoziție asociative

Majoritatea operațiilor cu care ați lucrat până acum sunt operații asociative

Un prim exemplu, operația de adunare pe oricare din mulțimile de numere învățate

Mulțimea numerelor naturale sau întregi sau raționale sau reale sau complexe este asociativă

Am tot amintit de-a lungul timpului că A plus B totul plus C este egal cu A plus paranteza B plus C

pentru oricare A, B și C din oricare din aceste mulțimi

Apoi, operația de înmulțire pe aceleași mulțimi de numere este la rândul ei asociativă

Pentru că are loc A ori B totul ori C este egal cu A ori paranteza B ori C

pentru orice 3 elemente fie din N, fie din Z, fie din Q, fie din R, fie din C

Apoi, dacă luăm mulțimea părților lui M, adică mulțimea tuturor submulțimilor lui M

avem operația de reuniune, intersecție sau diferență simetrică, care toate trei sunt asociative

Am scris aici ce înseamnă asociativitatea pentru fiecare din aceste trei operații

Un alt exemplu este vorba de compunerea funcțiilor pe mulțimea f de M

adică mulțimea funcțiilor definite pe M cu valori în M

Și această operație este asociativă pentru că f compus cu g totul compus cu h este egal cu f compus cu paranteza g compus cu h

pentru orice trei funcții f, g și h din f de M

Apoi, dacă luăm în considerare adunarea matricilor de tip MN

M și N, evident, numere naturale nenule

cu elemente din N sau Z sau Q sau R sau C

și această operație este o operație asociativă

avem că a plus b totul plus c este a plus paranteza b plus c

pentru oricare trei matrici dintr-una din aceste mulțimi de matrici

Apoi, dacă considerăm operația de înmulțire pe mulțimea matricilor pătratice

cu elemente din N sau Z sau Q sau R sau C

și această operație este o operație asociativă

pentru oricare trei matrici pătratice a, b și c are loc relația

a ori b închid paranteza ori c

este egal cu a ori paranteza b ori c închid paranteza

Dacă ar fi să dăm un non-exemplu, adică un exemplu de operație care nu este asociativă

nu este ușor de găsit un astfel de exemplu, dar cu siguranță

scăderea definită pe Z, Q, R sau C

este o operație care nu are proprietatea de asociativitate

Vedeți că am găsit aici trei elemente, 2, 3 și 4

pentru care 2 minus paranteza 3 minus 4

nu este egal cu paranteza 2 minus 3 închid paranteza minus 4

aici vom avea 2 plus 1

din coace vom avea minus 1 minus 4

și aici este valabilă aceeași observație pe care am făcut-o

la proprietatea de comutativitate

Aceste exemple de legi de compoziție asociative sunt extrem de importante

pentru că în rezolvarea exercițiilor putem folosi faptul că

aceste operații sunt asociative, nu mai trebuie să

demonstrăm asociativitatea lor

Câteva observații

Dacă avem M o mulțime nevidă și o legă de compoziție pe M asociativă

am notat cu stea această legă de compoziție

atunci când scriem elementul A, B, C nu mai este nevoie să punem paranteze

pentru că indiferent în ce ordine se efectuează operațiile rezultatul va fi același

A doua observație

Dacă operația stea este asociativă atunci se pot considera elementele de forma

A1 stea, A2 stea, puncte puncte stea, A, N

care au aceeași valoare indiferent de modul în care grupăm termenii pentru a efectua operațiile

A treia observație

Dacă pe o mulțime nenulă avem definită o legă de compoziție asociativă

am notat-o cu F

și H o submulțime a lui M este parte stabilă a lui M în raport cu F

legea indusă pe H de către F este asociativă

aceasta înseamnă de fapt că proprietatea de asociativitate este ereditară

ea se moștenește

adică dacă legea F este asociativă pe M și H este o parte stabilă a lui M

atunci legea indusă de către F pe H este la rândul ei asociativă

și acum să studiem dacă operația CERC

definită pe mulțimea M egală cu 1 plus infinit

dată prin X compus cu Y egal cu 2XY minus 2X minus 2Y plus 3

este asociativă

vom scrie întâi ce înseamnă că operația CERC este asociativă

conform definiției operația CERC este asociativă dacă

paranteza A compus cu B închid paranteza A compus cu C

este egal cu A compus cu paranteza B compus cu C

pentru orice A, B și C din mulțimea M

probabil că v-ați dat seama deja

această operație este operația cu care am lucrat chiar la început

când am vrut să vedem ce înseamnă scrierea aceasta

paranteza A compus cu B închid paranteza A compus cu C

și A compus cu paranteza B compus cu C

cum deja am efectuat calculele, voi prelua rezultatele de aici

paranteza A compus cu B închid paranteza A compus cu C

este egală cu expresia aceasta

și A compus cu paranteza B compus cu C

este egală cu expresia asta

voi prelua cele două expresii

și voi efectua calculele în fiecare din cele două expresii

și după reducerea termenilor asemenea

utilizarea proprietăților de comutativitate și asociativitate

a înmulțirii respectiva adunării numerelor reale

am obținut aceste două rezultate

să comparăm ce am obținut

aici avem un 4abc pe care îl avem și din coace

după aceea minus 4ac minus 4ac

minus 4bc minus 4bc

minus 4ab minus 4ab

plus 4a plus 4a plus 4b plus 4b

plus 4c plus 4c

și minus 3 minus 3

înseamnă că

dacă notăm cu 1 între paranteze

faptul că A compus cu B

totul în paranteza compus cu C

este egală cu această expresie

și cu 2

faptul că A compus cu paranteza B compus cu C

este egală cu această expresie

din 1 și 2 ne rezultă că

A compus cu B totul în paranteza compus cu C

este egal cu A compus cu paranteza B compus cu C

pentru orice ab și c din intervalul deschis 1 plus infinit

înseamnă că operația CERC este asociativă