Proiecții ortogonale pe un plan

Să vorbim în continuare despre proiecții ortogonale pe plan.

Ce înseamnă ortogonal?

Pe scurt, ortogonal înseamnă perpendicular, deci trebuie să proiectăm în mod perpendicular pe un plan.

Și ce putem să proiectăm pe un plan?

Păi putem să proiectăm un punct pe un plan, iată, vrem să proiectăm punctul A pe planul alfa.

Pentru a face acest lucru, trebuie să ducem perpendiculara din acest punct pe plan.

Deci vom trasa o dreaptă care trece prin A și acea dreaptă este perpendiculară pe planul alfa.

Eu o să trasez mai întâi dreapta așa, apoi trecem punctul de intersecție al dreptei cu planul,

trecem aici, aprim și facem această parte a dreptei punctat pentru că ea se află sub plan.

Deci, practic, nu se vede. Bun.

Și venim și notăm, care este proiecția punctului A pe planul alfa?

Păi este chiar punctul de intersecție al dreptei cu acest plan, deci este punctul A prim.

Deci, de vreme ce A prim este perpendiculară pe alfa, atunci rezultă că proiecția, și vom nota așa pe R,

proiecția punctului A, haideți să scriu mai la dreapta, punctului A pe planul alfa, și planul alfa venim și îl trecem aici,

este punctul A prim.

Și astfel am proiectat un punct pe un plan.

Dacă însă punctul aparține planului, deci punctul B este în planul alfa,

atunci, din acest punct nu avem ce perpendiculară să ducem pe plan, pentru că deja punctul este în plan.

Deci, dacă punctul B aparține planului alfa, înseamnă că proiecția punctului B pe planul alfa este, care credeți?

Păi chiar punctul B.

Bun. Mai putem să proiectăm și un segment pe un plan.

Iată, vrem să proiectăm pe planul alfa segmentul AB.

Atenție! Când proiectăm pe un plan puncte coliniare, atunci ceea ce vom obține vor fi tot puncte coliniare.

Deci, proiectând un segment pe un plan vom obține tot un segment.

Și este suficient să proiectăm capetele segmentului.

Deci, vom proiecta mai întâi punctul A pe planul alfa și voi duce această linie punctată și avem aici A'

proiecția punctului A pe planul alfa și apoi proiectăm punctul B pe planul alfa și obținem aici punctul B'.

Proiecția segmentului AB pe planul alfa este segmentul A'B' și venim aici și notăm proiecția.

Pe planul alfa a segmentului AB, voi trece aici segmentul închis AB, este segmentul închis A'B'.

Dacă proiectam un segment deschis, deci aveam aici paranteze rotunde, obțineam tot un segment deschis.

Care este legătura între lungimea segmentului proiectat și lungimea proiecției?

Deci legătura între lungimea segmentului AB și a segmentului A'B'.

Păi pentru aceasta vom construi o paralelă prin A la A'B' și această paralelă intersectează segmentul BB' în punctul C.

Ce știm?

Păi iată că AC este paralelă cu A'B' și de vreme C, BB' este perpendiculară pe planul alfa, înseamnă că BB' este perpendiculară pe A'B'

și cum A'B' este paralelă cu AC, înseamnă că BB' este perpendiculară pe AC, deci avem aici un unghi de 90 de grade,

deci triunghiul BCA este un triunghi dreptunghic.

Nu uitați, noi vrem să găsim legătura între AB și A'B'.

Însă A'B' cu ce segment este congruent?

Păi avem aici, să ne uităm la patrulaterul ACB'A'.

A'B' și CB' sunt paralele, la fel și AC și A'B'.

Deci avem aici un paralelogram, chiar mai mult, pentru că avem aici un unghi de 90 de grade, înseamnă că și acest unghi are tot 90 de grade,

pentru că punctele B, C, B' sunt coliniare, deci avem de fapt un dreptunghi.

Haideți să trasez aici să se vadă mai clar că avem un unghi drept.

Bun.

Asta înseamnă că A'B' acest segment e congruent cu AC.

Și atunci care e legătura între AC și AB?

Păi avem aici un triunghi dreptunghic și voi nota aici cu U, unghiul făcut de AB și AC

și haideți să scriem formula cosinusului, cosinus de unghiul U cu cât este egal.

Păi avem lungimea catetei alăturate unghiului, deci AC,

trecem aici AC, supra lungimea ipotenuzei, adică AB.

Păi ce rezultă de aici?

Rezultă că AC se scrie AB ori cosinus de unghiul U.

AB înmulțit cu cosinus de U.

Dar noi am spus că AC acest segment e congruent cu A'B'

De vreme ce AC este egal cu A'B'

rezultă că A'B' l-am înlocuit pe AC este egal cu AB înmulțit cu cosinus de unghiul U.

Și chiar putem să încadrăm această relație.

Și astfel am găsit legătura între, iată, lungimea segmentului AB

și lungimea proiecției sale A'B'.

Dacă însă segmentul pe care vrem să-l proiectăm este perpendicular pe plan,

atunci ce vom obține?

Păi trebuie să proiectăm fiecare punct al segmentului pe plan,

cum am spus e suficient să proiectăm capetele segmentului

și acum dacă proiectăm punctul C pe planul gamma,

deci din C trebuie să ducem o linie punctată,

nu o voi trasa aici, ci o voi trasa de aici încolo,

și vom obține aici ce prim proiecția punctului C pe planul gamma.

Dacă proiectăm punctul D pe planul gamma vom obține tot punctul C prim.

Deci de fapt în această situație proiecția segmentului este de fapt un punct.

Deci venim și notăm proiecția pe planul gamma a segmentului închis CD

este de fapt punctul C prim.

Atenție însă!

Noi proiectăm aici o mulțime de puncte,

mulțimea punctelor care alcătuesc acest segment.

Avem aici o mulțime de puncte.

Atunci ce vom obține este tot o mulțime și anume mulțimea formată din punctul C prim.

De aceea trebuie să trecem aici între acolade acest punct.

Proiecția pe planul gamma a segmentului închis CD este mulțimea formată din punctul C prim.

O singură observație mai vreau să facem aici când proiectăm un segment pe un plan și anume

când proiectăm pe un plan mijlocul unui segment,

deci dacă M este mijlocul segmentului D,

iată, voi trece aici, segmentul D este congruent cu segmentul M E,

atunci proiecția punctului M pe planul beta,

să notăm aici că obținem punctul M prim,

proiecția punctului M pe planul beta este mijlocul proiecției,

adică D prim M prim este congruent cu M prim E prim.

Cu alte cuvinte, proiecția mijlocului este mijlocul proiecției,

deci dacă D M este egal cu M E,

atunci rezultă că D prim M prim este egal cu M prim E prim.

Evident putem să trecem aici, să folosim scrierea cu paranteze,

deci vom folosi scrierea cu segmente și vom trece congruent la fel și aici.

Mai putem să proiectăm o dreaptă pe un plan,

dacă dreapta e inclusă în plan, atunci proiecția dreptei pe plan e chiar dreapta respectivă.

Dacă însă avem o dreaptă exterioară unui plan, atunci avem trei situații posibile și anume,

dreapta este paralelă cu planul, dreapta e paralelă cu planul alfa și vrem să proiectăm această dreaptă pe plan.

Haideți să alegem două puncte pe această dreaptă A și B și vom proiecta fiecare punct în parte.

Proiectăm punctul A și notăm aici A prim proiecția punctului A pe plan

și la fel procedăm și pentru punctul B, trecem aici B prim proiecția punctului B pe planul alfa.

Știm deja că atunci când proiectăm puncte coliniare obținem tot puncte coliniare,

deci proiectând o dreaptă pe un plan vom obține tot o dreaptă și anume dreapta A prim B prim.

Deci să notăm că proiecția dreptei AB pe planul alfa este dreapta A prim B prim

și cum dreapta AB este paralelă cu planul alfa atunci ce am obținut aici este o dreaptă paralelă cu dreapta AB

deci AB este paralelă cu A prim B prim.

Dacă însă dreapta este perpendiculară pe plan, iată dreapta D este perpendiculară pe planul alfa

atunci dacă alegem punctul B pe dreapta D atunci proiectând punctul B pe planul alfa vom obține punctul O.

La fel și dacă luăm un punct de subplan, de exemplu alegem aici punctul A pe care dacă îl proiectăm pe planul alfa ne va da tot punctul O.

De fapt proiectând orice punct al dreptei pe plan vom obține punctul O, adică punctul de intersecție al dreptei cu planul alfa.

Cu alte cuvinte proiecția dreptei de pe planul alfa este mulțimea formată din punctul O.

Aceasta se obține dacă avem o dreaptă perpendiculară pe plan.

Dacă însă avem o dreaptă secantă cu planul, iată dreapta D este secantă planului alfa,

atunci cum obținem proiecția acestei drepte pe planul alfa?

Păi mai întâi haideți să mutăm notația acestui punct, o vom trece aici pentru că o să avem nevoie de spațiu și să alegem pe dreapta D un punct.

De exemplu aleg aici punctul B și îl proiectez pe planul alfa și voi obține aici punctul B prim.

Mai ne alegem aici încă un punct să-i spunem C pe care tot așa îl proiectăm pe același plan și trecem aici punctul C prim.

Ei bine știm deja că dacă proiectăm puncte coliniare obținem tot puncte coliniare.

Deci ce vom obține este tot o dreaptă și anume aceasta dreapta pe care o putem numi fie AB prim, fie AC prim, fie C prim, B prim.

Deci proiectând dreapta D pe planul alfa proiecția pe planul alfa dreptei D este dreapta să o numim C prim, B prim.

Și astfel am proiectat pe plan și o dreaptă secantă cu planul.