Principiul I. Maşina termică. Perpetuum mobile.

În cea de-a zecea lecție de termodinamică

vom discuta despre principiul întâi al termodinamicii

și despre mașini termice.

Principiul 1 al termodinamicii spune că

variația energiei interne U,

care a fost definită în lecția precedentă,

este independentă de natura procesului

prin care are loc această variație

și este egală cu diferența dintre căldura schimbată

cu mediul Q și lucru mecanic L.

Ca și ecuație, acest principiu spune că

delta U este egal cu Q minus L.

Reamintesc că U

este un parametru de stare,

deci ea o valoare pentru o stare a sistemului.

Deci putem vorbi despre delta U

pe când Q și L sunt parametrii de proces.

Ei iau valori

pentru întregul proces al sistemului

și nu pentru o anumită stare a lui.

Ea, această ecuație,

reprezintă legea conservării energiei

în termodinamic.

Și, în consecință,

interzice existența unui așa numit

perpetuum mobile de speța întâia,

adică

o mașină ce produce o cantitate de energie

fără a consuma exact aceiași cantitate de energie

din altă sursă.

Aceasta înseamnă conservare energiei.

Nu poți produce mai multă energie decât

ai consumat.

În zilele noastre

este un enunț evident,

dar, de-a lungul istoriei,

mulți savanți

au încercat să creeze o astfel de mașină

care să se miște singură, fără combustibil

sau forță externă,

adică o mașină căreia îi furnizăm

o cantitate de energie inițială pentru a porni

și apoi se mișcă singură un timp infinit.

Bineînțeles, existența unei astfel de mașini este

interzisă de această lege

și, în general, de legea conservării energiei.

Un exemplu de o astfel de încercare

este acest dispozitiv simplu

care este o roată metalică

ce are atașată tije

cu bile de oțel la capăt.

Ideea fiind că, dacă pornim rotația tijei

cu o energie inițială,

atunci, în momentul în care tijele vor ajunge

undeva prin acest punct,

ele vor cădea

și, în momentul când se vor opri,

vor transfera energia cinetică datorită căderii lor

într-un impuls sau o forță

tangențială aplicată roții

și, în felul acesta, rând pe rând, aceste tije cu bile la capăt

vor imprima, în această poziție, un nou impuls roții

și mișcarea va avea loc la infinit.

Dacă am atașa o tijă metalică de axuri roții,

am putea face, în felul acesta,

un fel de motor cu mișcare infinită.

Bineînțeles, acest lucru nu funcționează

și orice altfel de motor de genul acesta

sau mașină de genul acesta,

datorită faptului că nu ar conserva energia.

Să trecem la demonstrarea relației Maier,

care a fost folosită, într-o formă particulară,

în lecția trecută.

Trebuie să considerăm un fluid închis,

adică numărul de moli, constant, sau masa, dacă vreți, constantă,

cărei se transferă aceeași energie internă, delta U,

în două procese.

Într-un proces izobar

și, deci, atunci delta U,

care, conform principiului 1, este Q minus L, căldura minus lucru mecanic,

va fi egal cu,

într-un proces izobar,

prin, datorită definiției,

căldurii specifice, molare, izobare,

căldura va fi nu CP delta T.

Din nou, pentru un proces izobar.

Iar lucrul mecanic, după cum am văzut

în studiul procesului izobare,

este P, care este constant, presiunea constantă, ori delta V.

Într-un proces izocor, delta U va fi Q minus L

și va fi egal cu nu CV delta T.

CV, fiind căldura specifică, molară, la volum constant.

Procesul izocor are volumul constant.

Deci căldura va avea această formă.

Iar lucrul mecanic este 0 pentru un proces izocor, pentru că

nu avem variație de volum.

Și, după cum am discutat în lecția despre lucrul mecanic,

termodinamic,

dacă nu avem variația volumului, L este 0.

Principiul 1 al termodinamicii, pe lângă această ecuație,

mai spune că și delta U.

Și că delta U este independent de proces

prin care are loc această variație.

Deci putem egaliza aceste două ecuații și scrie că

nu CP delta T este egal cu

nu CP delta T minus PV

este egal cu nu CV delta T.

Deci egalizăm aceste două ecuații.

Folosind ecuația generală a gazelor care spune că

PV este egal cu nu RT

și faptul că în procesul izobar P este constant,

iar nu este de asemenea constant pentru că am

presupus fluidul închis,

putem scrie de aici că P

delta V

este egal cu nu R delta T.

Din nou, în procesul izobar considerat,

doar volumul și temperatura variază.

Și deci cuplând cele două ecuații

putem scrie că

CP este egal cu CV plus R,

care este așa-numita relație Meyer.

Folosind faptul că exponentul adiabatic, gamma,

care este definit ca raportul dintre CP și CV

este egal cu numarul de grade de libertate plus 2

împărțită la numarul de grade de libertate.

Această ecuație a fost descutată

în lecția de termodinamică

în care am prezentat

exponentul adiabatic.

Obținem, deci, din aceste două ecuații,

prima ecuație stabilind

o relație între diferența dintre CP și CV,

și anume că e egal cu R,

cea de-a doua, raportul dintre CP și CV.

Rezolvând pentru necunoscutele CP și CV,

obținem ecuațiile următoare.

Căldura specifică molară la volum constant

este numarul de grade de libertate împărțit la 2 împărțit cu R

și căldura specifică molară la presiune constantă

este numarul de grade de libertate plus 2 împărțit la 2 împărțit cu R.

Să continuăm cu mașini termice.

Întâi definim noțiunea de proces ciclic.

Proces ciclic este un proces

în care starea finală coincide cu cea inițială.

Deci, pur și simplu, dacă sistemul pleacă dintr-o stare,

evoluând în cadrul unui proces,

procesul se numește ciclic

dacă, la finalul lui,

sistemul s-a întors în starea inițială.

Prin definiție, într-un proces ciclic,

variația energiei interne va fi egală cu 0.

Asta deoarece energia internă este un parametru de stare.

Deci ea o valoare pentru o stare dată.

Dacă starea finală coincide cu starea inițială,

atunci variația va fi 0.

Asta înseamnă că, într-un proces ciclic,

căldura este egală cu lucruri mecanice.

Dacă ele sunt egale și amândouă negative,

asta înseamnă că sistemul primește lucru mecanic

și cedează căldură mediului.

Invers, dacă sunt egale și pozitive,

atunci sistemul primește căldură din exterior

și o folosește pentru a efectua un lucru mecanic asupra mediului.

Ca și comentariu, un proces ciclic nu este neapărat și reversibil.

Reversibil înseamnă că ne întoarcem în starea inițială,

dar urmând exact aceleași stări intermediare,

ceea ce nu este cazul pentru un proces ciclic,

el întorcându-se în starea inițială pe alt drum.

Deci nu ne întoarcem prin aceleași stări intermediare.

Lucru mecanic într-un proces ciclic are proprietatea importantă

că este aria delimitată de graficul lui în diagrama PV.

Deci, din nou, lucru mecanic este aria acestui proces ciclic în PV.

Pentru a explica de ce avem acest lucru,

să considerăm o diagramă presiune-volum și să luăm un proces oarecare

dintr-o stare inițială într-o stare finală.

Deci aceasta este starea inițială și aceasta este starea finală.

După cum am văzut în interpretarea geometrică a lucrului mecanic,

lucru mecanic într-un astfel de proces este aria de sub grafic,

graficul procesului în diagrama Claperon-Mendeleev PV.

Deci aria hașurată este lucru mecanic.

Pentru ca procesul să fie ciclic,

trebuie să ne întoarcem în starea inițială,

deci adăugăm un alt proces care se întoarce în starea inițială I.

Deci acest proces complet este cel ciclic.

Din nou, lucru mecanic al celui de-al doilea proces, din F în I,

deci am împărțit procesul ciclic în două procese,

unul din starea înțeleală în cea finală și doi din starea finală în starea inițială.

Lucru mecanic în cel de-al doilea proces va fi tot aria de sub grafic, bineînțeles,

deci va fi cea de-a doua arie hașurată.

Dar, datorită faptului că volumul crește în primul proces,

lucru mecanic asociat lui va fi pozitiv,

pe când în cel de-al doilea proces,

volumul scade, după cum se vede pe axa volumului,

și deci lucru mecanic va fi negativ.

Lucru mecanic total va fi suma celor două arii

în care prima arie e luată cu semn pozitiv,

cea de-a doua arie cu semn negativ.

În consecință, lucru mecanic al întregului proces ciclic

va rămâne, prin scăderea celor două arii,

aria din interiorul procesului ciclic.

Deci, dacă calculăm această arie umplută de mine acum,

din diagrama PV,

obținem lucru mecanic al procesului ciclic,

în care ne-am întors în stare inițială.

Se numește mașină termică,

dispozitivul ce transformă căldura primită

în lucru mecanic efectuat.

Deci ne aflăm în cel de-al doilea caz,

cel de aici, în care ambele,

atât căldura cât și lucru mecanic, sunt pozitivi.

Și sistemul primește din exterior căldură

și o folosește pentru a o transforma în lucru mecanic.

Acesta este o mașină sau, dacă vreți, un motor termic.

Se numește perpetuum mobile de speț a doua,

o mașină termică ce transformă integral

căldura în lucru mecanic.

Deci mașina termică transformă Q în L,

dar experiența arată că niciodată nu putem face

acest lucru cu eficiență maximă,

adică Q să fie complet transformat în lucru mecanic,

un perpetuum mobile de speț a doua

fiind mașina ipotetică care ar face acest lucru.

Mașinile termice și motoarele termice în particular

au o aplicabilitate foarte largă.

Ele au generat revoluția industrială din secolul al XVIII-lea

și, dacă vreți, era modernă.

Cel mai edificator exemplu, dar nu singurul,

este apariția locomotivelor și a transportului feroviar,

care folosește un tip particular de mașină termică.

Despre mașini termice și motoare termice

vom discuta în lecția viitoare.

Acum să dăm un exemplu de calcul,

să rezolvăm o problemă.

Deci avem un vas termoizolant de volum 100 de litri,

deci vas termoizolant

cu volumul V0 100 de litri

umplut cu heliu

care este despărțit cu un pistol termoizolant,

deci avem un piston termoizolant

undeva în mijlocul vasului.

Ce se poate deplasa fără mișcare?

Fără frecare, scuzați.

Gazului din partea stângă

îi se dă o căldură din exterior

Q egală cu 100 de J

și dorim să stabilim variația de presiune

în vas după restabilirea echilibrului.

Deci să desenăm schematic această problemă.

Deci avem un vas termoizolant,

asta înseamnă că nu are loc schimb de temperatură

cu mediul exterior,

de un anumit volum total V0.

El este separat cu ajutorul unui piston termoizolant și mobil,

asta înseamnă că avem un contact mecanic.

Ce permite egalizarea presiunilor din cele două compartimente?

Deci presiunea P este aceeași în cele două compartimente

pe care le notăm cu 1 și 2.

Temperaturile pot fi diferite

pentru că contactul, pistonul, este termoizolant,

nu permite trecerea schimbul de temperatură

și volumele sunt oarecare V1 și V2.

La un moment dat, în compartimentului stâng,

i se dă o căldură Q.

Evident, aceasta pune sistemul în stare de neechilibru termic

sau, în general, de neechilibru termodinamic

și el va evolua, mișcând pistonul,

către o nouă stare de echilibru.

Deci avem compartimentele 1 și 2

care se vor afla la presiuni egale,

dar diferite în starea finală

și la temperaturi și volume diferite.

Deci T1' V1'

T2' V2'

Sistemul evoluează datorită căldurii

adăugate în partea stângă

și dorim să calculăm ΔP, adică P'-P.

Plecăm de la definiția căldurii.

Căldura este egală cu

ΔU1 plus ΔU2

plus L1 plus L2.

Aceasta este căldura întregului sistem

care este egală cu căldura compartimentului 1

pentru că nu am adăugat căldura în compartimentul 2.

Deci, căldura totală, care este Q din stânga plus 0,

deci, în dreapta avem căldura 0,

va fi egală cu, conform princepului 1,

variația de energie internă a ambelor compartimente

plus lucru mecanic al ambelor compartimente.

Dar, deoarece volumul nu variază,

deci, V1 plus V2

este egal cu V1' plus V2'

egale cu V0.

Deci, volumul total nu variază, este o constantă.

Asta implică că lucru mecanic este egal cu 0.

După cum știm, lucru mecanic total.

După cum știm, nu putem avea lucru mecanic fără variația volumului.

Lucru mecanic total, bineînțeles, este egal cu L1 plus L2.

Din aceste două ecuații,

obținem că căldura Q

va fi egală cu ΔU1 plus ΔU2.

Deci, Q este egal cu

ν1CVT1' minus T1.

Acesta este ΔU1.

Am folosit ecuația energiei interne.

Energia internă, vă reamintesc, am dovedit că este egal cu νCVT.

Deci, ΔU este νCVΔT

pentru compartimentul din dreapta

plus ecuația echivalentă pentru compartimentul din stânga.

Acesta este ν2CVT2' minus T2.

Folosind ecuația generală a gazilor,

care spune că PV este egal cu νRT,

putem scrie că Q este egal cu

CV împărțit la R

mulțit cu P'V1'

minus PV1

plus P'V2'

minus PV2.

Deci, fiecare produs nu T

a fost scris ca PV împărțit la R.

Și obținem CV împărțit la R

mulțit cu ν1T1'

care va fi P'V1' împărțit la R

care a fost factorizat și așa mai departe.

Deci, aplicăm această relație pentru fiecare produs

de tipul νT din această ecuație.

Observăm că putem grupa termenii după presiune.

Deci, acestea doi cu acestea doi.

Și obținem că Q este egal cu

CV împărțit la R

mulțit cu P'

ori V1'

plus V2'

minus P

mulțit cu V1

plus V2.

Apoi observăm că

deși volumul compartimentului 1 variază

la fel și volumul compartimentului 2

suma dintre V1 și V2 și V1' și V2'

nu poate fi decât volumul total V0.

Deci, ambele sume de volume sunt egale cu V0.

Rezultă că Q

este egal cu

CV

ori V0 împărțit la R

mulțit cu P' minus P

care este delta P.

Și în final,

în final folosim

ecuația ce provine din relația

mare pentru CV. CV este egal cu

I împărțit la 2R

am demonstrat acest lucru puțin mai devreme

iar în cazul heliului

care este un gaz monoatomic, I este egal cu 3

deci avem CV egal cu 3 pe 2R

gazele monoatomice au

3 grade de libertate, cele de translație XYZ

am vorbit despre acest lucru în

prima lecție de teorie cinetico-moleculară.

Combinând aceste ecuații

rezultă că delta P, variația de presiune în acest

caz, este 2Q

supra 3V0.