Permutări

În această lecție vom discuta despre permutări, iar pentru a înțelege ce este o permutare,

trebuie mai întâi să definim noțiunea de mulțime ordonată.

Știm de la teoria mulțimilor că atunci când scriem o mulțime, nu contează ordinea în care sunt scrise elementele acesteia.

De exemplu, mulțimea 1, 2, 3 este același lucru cu mulțimea 3, 2, 1.

În această lecție vom introduce noțiunea de mulțime ordonată.

O mulțime ordonată este o mulțime pe care am stabilit o ordine bine determinată de dispunere a elementelor sale.

Cu alte cuvinte, o mulțime ordonată este o mulțime în care contează ordinea în care sunt scrise elementele ei.

Astfel, două mulțime ordonate sunt diferite dacă sunt formate din elemente diferite

sau dacă se deosebesc prin ordinea în care sunt scrise elementele lor.

Ne propunem în continuare să verificăm în câte moduri se pot așeza doi elevi pe o bancă.

Dacă notăm elevii cu a și b, atunci o modalitate ar fi aceasta, a, b,

sau a doua variantă ar fi b, a.

Cu alte cuvinte, în cazul în care avem o mulțime formată din două elemente a și b,

aceasta a va conduce la două mulțimi ordonate.

Cele două mulțimi ordonate sunt a, b, respectiv b, a.

Mulțimile ordonate se notează în paranteze rotunde.

Dacă sunt trei elevi, în câte moduri se pot așeza aceștia pe o bancă?

Să vedem.

În cazul în care avem o mulțime cu trei elemente a, b, c,

atunci există șase mulțimi ordonate.

Iată a, b, c, a, c, b, b, a, c, b, c, a, c, a, b și c, b, a.

Așadar, în cazul în care avem o mulțime cu trei elemente,

aceasta va conduce la șase mulțimi ordonate.

În situația în care sunt patru elevi, să verificăm în câte moduri se pot așeza aceștia pe bancă.

Începem mai întâi cu mulțimile ordonate care conțin a pe prima poziție.

a, b, c, d, a, b, d, c, a, c, b, d, a, c, d, b, a, d, b, c și a, d, c, b.

Sunt șase mulțimi ordonate în care a este pe prima poziție.

La fel vom avea șase mulțimi ordonate care conțin b pe prima poziție,

șase mulțimi ordonate care încep cu c și șase mulțimi ordonate care încep cu d.

În total vom avea șase ori patru, douăzeci și patru de mulțimi ordonate.

Așadar, patru elevi se pot așeza pe bancă în douăzeci și patru de moduri.

Mulțimea tuturor mulțimilor ordonate de n elemente se numește mulțimea permutărilor de n elemente.

Astfel, fiecare mulțime ordonată este o permutare a mulțimii date.

O mulțime de două elemente poate fi ordonată în două moduri.

Deci obținem astfel două permutări.

Cele două permutări sunt a, b și b, a.

Permutările mulțimii de două elemente se notează cu p de 2 și acest număr este egal cu 2.

Permutările mulțimii de trei elemente se notează cu p de 3 iar p de 3 este egal cu 6.

Iar permutările mulțimii de patru elemente se notează cu p de 4.

În cazul în care avem o mulțime formată dintr-un singur element, atunci există un singur mod de a aranja această mulțime.

Cu alte cuvinte, avem o singură permutare iar p de 1 va fi egal cu 1.

Am obținut așadar că p de 1 este egal cu 1, p de 2 este egal cu 2, p de 3 este egal cu 6 iar p de 4 este egal cu 24.

Aceste numere pot fi scrise sub forma unor produse astfel.

2 poate fi scris 1 ori 2, 6 poate fi scris 1 ori 2 ori 3 iar 24 se scrie 1 ori 2 ori 3 ori 4.

Aceste produse se pot scrie prescurtat folosind următoarea notație.

1 se va scrie 1 factorial, 1 ori 2 este 2 factorial, 1 ori 2 ori 3 va fi egal cu 3 factorial iar 1 ori 2 ori 3 ori 4 este egal cu 4 factorial.

În cazul în care avem permutări de n elemente, vom avea produsul 1 ori 2 ori 3 ori puncte puncte ori n iar acest produs se va nota prescurtat n factorial.

Această formulă se poate demonstra prin inducție matematică.

În continuare să vedem câteva formule importante.

Așa cum am văzut n factorial este produsul numerelor naturale de la 1 și până la n, 1 ori 2 ori 3 ori puncte puncte.

Penultimul număr va fi n minus 1 ori n.

Produsul primelor n minus 1 numere poate fi scris n minus 1 factorial și atunci se ajunge la următoarea formulă n factorial se poate scrie n minus 1 factorial înmulțit cu n.

De asemenea n factorial poate fi scris astfel 1 ori 2 ori 3 ori puncte puncte ori n ori n plus 1 supra n plus 1.

Având în vedere că se simplifică n plus 1 cu n plus 1 ne rămâne la numărător produsul primelor n numere naturale.

Cu alte cuvinte n factorial poate fi scris sub forma aceasta n plus 1 factorial supra n plus 1.

Să dăm și câteva exemple 80 factorial se poate scrie 79 factorial înmulțit cu 80

sau 80 factorial poate fi scris 81 factorial supra 81.

Să rezolvăm în continuare un mic exercițiu.

Vom calcula permutări de 98 minus permutări de 99 supra permutări de 100.

Permutări de 98 va fi egal cu 98 factorial minus permutări de 99 este egal cu 99 factorial supra 100 factorial.

În continuare vom exprima numerele 99 factorial și 100 factorial cu ajutorul lui 98 factorial

pentru a putea da factor comun și pentru a putea simplifica ulterior.

Avem așadar 98 factorial minus 98 factorial ori 99 iar 100 factorial se poate scrie 98 factorial ori 99 ori 100.

Egal dăm factor comun 98 factorial pe lângă 1 minus 99 supra 98 factorial ori 99 ori 100.

Se simplifică 98 factorial 1 minus 99 va fi minus 98 supra 9900.

În continuare se mai pot face simplificări.

Are loc următoarea convenție 0 factorial este egal cu 1.