Parte stabilă

În acest videoclip voi defini și exemplifica noțiunile de parte stabilă și lege de compoziție indusă.

Considerăm mulțimea numerelor complexe și operația de înmulțire, care este o lege de compoziție pe mulțimea numerelor complexe.

Considerăm două submulțimi.

Prima submulțime este formată din elementele 1, minus 1, i și minus i.

Am numit-o H și în mod evident este inclusă în mulțimea numerelor complexe.

A doua mulțime este mulțimea P.

Ea este formată din elementele 0, 1 și 2 și este de asemenea o submulțime a mulțimii numerelor complexe.

Să realizăm tabla înmulțirii pentru elementele din mulțimea H și apoi să realizăm tabla înmulțirii pentru elementele mulțimii P.

Opriți înregistrarea video și realizați cele două table de operații.

Verificați dacă ați obținut aceste două table ale înmulțirii.

Dacă ați efectuat înmulțirile corect și ați ținut cont că i ori i este i pătrat și este egal cu minus 1, înseamnă că ați obținut aceleași rezultate ca și mine.

Să ne uităm la elementele care apar în cele două table pe care le-am realizat.

Puteți observa că am colorat elementele din fiecare tablă și peste tot unde am avut același element, evident vom vedea aceeași culoare.

În tabla înmulțirii pentru elementele din H, constatăm că toate elementele din interiorul tablei sunt colorate cu cele patru culori, albastru, moch, verde sau beș.

În cazul tablei operației de înmulțire pe mulțimea P, am colorat elementele mulțimii, 0 este albastru, 1 este moch, 2 este verde.

Constatăm că în interiorul tablei avem un element care nu este colorat cu albastru, moch sau verde, este vorba de numărul 4 pe care l-am scris cu alb, acest element nu face parte din mulțimea P.

Am constatat că în interiorul tablei operației de înmulțire pe H avem doar elemente din H și vom spune că H este o parte stabilă a mulțimii C în raport cu operația de înmulțire.

Constatăm că, de fapt, pentru mulțimea H, înmulțirea este o lege de compoziție pentru că ea asociază unei perechi din produsul cartezian HxH un element din mulțimea H.

Spre deosebire de înmulțirea P mulțimea P care nu mai este o lege de compoziție internă pentru că 2 ori 2 este egal cu 4 care nu aparține mulțimii P și evident 2 este un element din P.

Pentru a defini partea stabilă și legea de compoziție indusă să vedem care sunt elementele definitorii ale primei situații pentru că aici o meneam la un moment dat că H este parte stabilă.

În primul rând, trebuie să avem o mulțime și o lege de compoziție definită pe mulțimea C.

În cazul acestei situații, am pornit cu mulțimea numerelor complexe și operația de înmulțire,

apoi am avut o submulțime a lui C,

deci H este submulțimea lui C și ea este parte stabilă

pentru că rezultatul operației dintre oricare două elemente rămâne în H.

Asta am putea să o scriem oricare ar fi X și Y din mulțimea H,

X înmulțit cu Y pentru că în cazul nostru avem operația de înmulțire a parținelui H.

Spuneam că operația de înmulțire este o lege de compoziție pe H

și vom spune că această lege de compoziție, în cazul nostru înmulțirea,

este o lege de compoziție indusă pe mulțimea H de înmulțirea numerelor complexe.

Putem da acum definițiile celor două noțiuni pe care le menționam chiar la începutul videoclipului,

partea stabilă și legea de compoziție indusă.

Dacă M este diferită de mulțimea H și avem stea definită pe M or M cu valori în M,

o lege de compoziție pe M,

submulțimea A inclusă în M este parte stabilă a lui M în raport cu operația stea.

Dacă oricare ar fi X și Y aparținându-i A,

avem X stea Y aparținându-i A.

În această definiție este foarte important să menționăm a cui parte stabilă este,

mulțimea A este parte stabilă a lui M și în raport cu cine, în raport cu operația stea.

În condițiile în care A inclusă în M este o parte stabilă a lui M în raport cu legea de compoziție stea,

spunem că această lege de compoziție definită pe produsul cartezian A or A cu valori în A,

este o lege de compoziție indusă pe A de către legea de compoziție stea.

Voi da acum câteva exemple.

Considerăm mulțimea numerelor complexe și operația de adunare.

N, Z, Q, R toate sunt părți stabile a lui C în raport cu adunarea.

În mod evident toate sunt submulțimii numerelor complexe.

Și, de exemplu, dacă adunăm două numere raționale, rezultatul va fi tot un număr rațional.

Al doilea exemplu, considerăm tot mulțimea numerelor complexe,

de data asta operația de înmulțire, N, Z, Q, R vor fi părți stabile a lui C în raport cu înmulțirea.

Al treilea exemplu, considerăm mulțimea numerelor naturale și operația de adunare.

Notăm cu P mic N mare toate elementele de forma P mic ori N, unde N este un număr natural.

Deci aici este vorba de multiplii lui P,

P fiind la rândul lui un număr natural.

Această mulțime va fi parte stabilă a lui N în raport cu adunarea.

În primul rând este o submulțime a mulțimii numerelor naturale,

pentru că, de fapt, fiecare element al acestei mulțimi se obține ca produs de două numere naturale.

Și, dacă adunăm două elemente din P, N, rezultatul rămâne în P, N.

Dacă adunăm doi multiplii de P, vom obține tot un multiplu de P.

Al patrulea exemplu, considerăm mulțimea numerelor naturale și operația de înmulțire.

Aceeași mulțime va fi parte stabilă a lui N în raport cu înmulțirea.

Spuneam înainte că este submulțimea mulțimii numerelor naturale

și, dacă înmulțim doi multipli de P, rezultatul va fi de asemeni un multiplu de P.

Al cincelea exemplu, considerăm mulțimea matricilor pătratice de ordine N

cu elemente din mulțimea numerelor complexe

și operația de înmulțire.

Mulțimea S, care este mulțimea matricilor inversabile,

este o parte stabilă a mulțimii matricilor pătratice

în raport cu operația de înmulțire.

Este evident că S este o submulțime a mulțimii matricilor pătratice

și, dacă înmulțim două matrici inversabile, rezultatul va fi tot o matrice inversabilă.

Voi discuta în continuare despre cum abordăm rezolvarea exercițiilor

în care se cere să demonstrăm că o mulțime este parte stabilă

a unei alte mulțimi în raport cu o lege de compoziție.

În primul rând depinde de mulțime.

Dacă mulțimea este finită,

atunci procedăm ca și în cazul acestui exemplu.

Scriem tabla operației

și ne uităm dacă în interiorul tablei

avem doar elemente din mulțimea care trebuie să arătăm că este parte stabilă.

Pentru a arăta cum procedăm în cazul unei mulțimi infinite,

voi considera următorul exercițiu.

Se consideră mulțimea numerelor reale

și legea de compoziție

Se consideră S

intervalul închis 2 plus infinit

o submulțime a lui R.

Să se arate că S este parte stabilă a lui R

în raport cu operația CERC.

Pentru a rezolva acest exercițiu

ne vom folosi de definiția părții stabile.

Adică știm că S este parte stabilă a lui R

în raport cu operația CERC

dacă pentru orice x și y din S

rezultă că x compus cu y aparține lui S.

Adică noi avem de arătat această implicație.

Pentru a demonstra implicația

să apunctăm ceea ce știm.

Se dă că x este un element oarecare din S

S fiind intervalul 2 plus infinit

înseamnă că x aparține intervalului închis 2 plus infinit

adică x mai mare sau egal cu 2

adică x minus 2 este mai mare sau egal cu 0.

Același lucru și pentru y.

Știm că y este un element oarecare din S

adică aparține intervalului închis 2 plus infinit

ceea ce înseamnă că y este mai mare sau egal cu 2

adică y minus 2 mai mare sau egal cu 0.

Și ni se mai dă definiția legii de compoziție

x compus cu y este egal cu x y minus 2

pe lângă x plus y plus 6.

Ce trebuie să demonstrăm?

Noi trebuie să arătăm că x compus cu y

este din mulțimea S

S fiind intervalul închis 2 plus infinit

înseamnă că trebuie să arătăm că x compus cu y

aparține intervalului închis 2 plus infinit

adică x compus cu y este mai mare sau egal cu 2

adică x compus cu y minus 2 este mai mare sau egal cu 0.

Deci trebuie să arătăm că x compus cu y minus 2

este mai mare sau egal cu 0

ceea ce este echivalent cu x y

locuim x compus cu y cu

x y minus 2 pe lângă x plus y plus 6

deci vom avea x y minus 2 pe lângă x plus y plus 6

minus 2 mai mare sau egal cu 0.

Desfacem paranteza

și efectuăm 6 minus 2

și obținem x y minus 2 x minus 2 y plus 4

mai mare sau egal cu 0.

Grupăm primii doi termeni și dăm factor pe x

grupăm ultimii doi termeni și dăm factor pe minus 2

vom obține x pe lângă y minus 2

minus 2 pe lângă y minus 2 mai mare sau egal cu 0

adică y minus 2 ori x minus 2

mai mare sau egal cu 0.

Deci de fapt noi ca să arătăm că x compus cu y

aparține lui S trebuie să arătăm că

y minus 2 pe lângă x minus 2

este mai mare sau egal cu 0.

Dar noi știm că

x minus 2 este mai mare sau egal cu 0

și y minus 2 este mai mare sau egal cu 0.

Deci avem un produs de doi factori

în care știm că fiecare factor este pozitiv

înseamnă că relația este adevărată

ceea ce înseamnă că

x compus cu y

aparține lui S.

Să nu uităm

x compus cu y aparține lui S

pentru orice x

și y

din S.

Înseamnă că am arătat că

S este parte stabilă a lui R

în raport cu operația de compunere

cu operația CERC.