Paralelipipedul dreptunghic (aplicații)

Vom face acum două aplicații cu paralelipipedul dreptunghic.

În prima problemă, ni se dă un paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile de 8 centimetri, 6 și 12 centimetri.

Să calculăm area laterală, area totală, volumul și lungimea diagonalei.

Pentru a determina mai întâi area laterală, haideți să trecem aici că avem lungime, lățime și înălțime

și vom trece și dimensiunile date, 8 centimetri, trec așa în paranteză, 6 centimetri și 12 centimetri. Bun.

Area laterală.

Formula arei laterale este egală cu perimetrul bazei ori înălțimea.

Asta înseamnă că area laterală cu cât este egală?

Păi avem perimetrul bazei, adică 2 pe lângă lungime plus lățime înmulțită cu înălțimea, vom avea 2 pe lângă.

Avem 8 plus 6, iată, 8 plus 6 înmulțit cu înălțimea care are 12 centimetri, vom avea 2 ori 14 ori 12, 28 ori 12, ne va da 336 centimetri pătrați.

Ca să calculăm acum area totală, avem suma dintre area laterală și de 2 ori area bazei. Cu cât este egală area bazei?

Avem lungime ori lățime, pentru că baza este dreptunghi, adică 8 ori 6, 48 de centimetri pătrați.

Din aceste două relații obținem că area totală cu cât este egală?

Avem area laterală, adică 336, adunat cu, deci avem aici plus, de 2 ori area bazei, adică 2 înmulțit cu 48.

Facem această înmulțire, apoi facem suma cu 336 și vom obține 432 de centimetri pătrați.

Să calculăm acum volumul. Avem produsul celor 3 dimensiuni, adică lungime ori lățime ori înălțime.

Cu alte cuvinte rezultă că volumul este egal cu 8 ori 6 ori 12.

Facem acest calcul și obținem 576 de centimetri cubi.

Să calculăm acum și lungimea diagonalei.

Să trecem formula.

Diagonala este egală cu radical din, ce vom trece sub radical?

Avem aici L la a doua, L mare la a doua plus R mic la a doua plus H la a doua.

Rezulta că vom avea radical din 8 la pătrat adunat cu 6 la pătrat adunat cu 12 la pătrat.

Și vom obține aici 64 adunat cu 36 adunat cu 144.

Trebuie să facem această sumă de sub radical.

Avem aici 100 cu 144 deci 244 și trebuie să trecem și radicalul.

Radical din 244.

După ce descompunem în factori acest număr vom obține că diagonala ne va da 2 radical din 61 de centimetri.

Următoarea problemă.

Se dă paralel ipipedul dreptunghi ca ABCDA prim B prim C prim D prim cu AB egal 4 centimetri.

Lungimea diagonale este de 10 centimetri și măsura unghiului făcut de o diagonală cu planul bazei ABC este de 60 de grade.

Să găsim area laterală și volumul.

Acum lungimea unei diagonale este de 10 centimetri.

Știm că toate diagonalele sunt congruente.

Deci construim aici diagonala de exemplu D prim B care are lungimea de 10 centimetri.

Mai știm că măsura unghiului făcut de o diagonală cu planul bazei ABC este de 60 de grade.

Păi toate diagonalele fac cu planul bazei ABCD unghiuri care au aceeași măsură.

Asta înseamnă că toate au măsura de 60 de grade.

Deci unghiul făcut de diagonala D prim B cu planul ABCD este de 60 de grade.

Ce înțelegem prin unghiul unei drepte cu un plan?

Păi este unghiul făcut de dreapta respectivă cu proiecția ei pe plan.

Care e proiecția lui D prim B pe planul ABCD?

Foarte simplu punctul B aparține planului înseamnă că proiecția punctului B este chiar punctul B.

D prim D perpendiculară pe acest plan, asta înseamnă că proiecția punctului D prim pe plan este punctul D.

Deci proiecția segmentului D prim B pe planul ABCD este DB.

Ce înțelegem prin acest lucru?

Că măsura unghiului făcut de D prim B cu DB adică unghiul D prim BD acesta are 60 de grade.

Bun și acum haide să scriem ce am discutat până acum și anume vom trece pe scurt că proiecția pe planul ABC a diagonalei D prim B este DB.

Deci măsura unghiului D prim BD este de 60 de grade.

Ca să determinăm acum area laterală și volumul de ce avem nevoie?

Trebuie să găsim dimensiunile acestui paralelipiped, deci avem nevoie și de lățime și de înălțime.

Cum putem să găsim de exemplu înălțimea?

Păi e foarte simplu pentru că triunghiul D prim DB este un triunghi dreptunghi, că avem aici un unghi de 90 de grade.

Asta înseamnă că în acest triunghi putem să aplicăm formule trigonometrice.

Deci nu vom mai scrie că D prim D e perpendiculară pe acest plan.

DB e inclus în planul acesta înseamnă că D prim D e perpendiculară pe DB, ci trecem direct că măsura unghiului D prim DB este de 90 de grade.

Și atunci putem să aplicăm formule trigonometrice în acest triunghi.

Rezultă să aplicăm mai întâi formula sinusului pentru că astfel vom găsi lungimea segmentului D prim D.

Iată, sinus, să scriem ceva mai jos, deci sinus de unghiul B cu cât este egal.

Păi ne uităm pe figură, cateta opusă unghiului B, adică D prim D, supra lungimea ipotenuzei, adică D prim B.

De unde? Rezultă că avem sinus de 60 de grade, ne dă D prim D, supra D prim B, care are 10 centimetri, cât este sinus de 60 de grade?

Păi ne dă radical din 3 pe 2, deci avem că radical din 3 supra 2 egal cu D prim D supra 10.

Rezultă că D prim D cu cât va fi egal? Cu 10 ori radical din 3 pe 2, adică 5 ori radical din 3.

Și venim aici și trecem 5 ori radical din 3.

Să găsim acum pe D B, fie aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul D prim D B, fie putem să aplicăm formula cosinusului, cosinus de unghiul B.

Cosinus de B este egal cu, trecem formula, lungimea catetei alăturate unghiului trecut aici, deci D B, supra lungimea ipotenuzei D prim B.

Rezultă cosinus de 60 de grade este egal cu D B, ceea ce vrem să aflăm, D prim B are 10 centimetri.

Cât este cosinus de 60 de grade? 1 pe 2 egal cu D B supra 10, de unde rezultă că D B are 10 centimetri.

Sigur, nu era singura variantă, pentru că acest unghi are 30 de grade și puteam să folosim în triunghiul D prim D B, teorema unghiului de 30 de grade,

asta înseamnă că D B este jumătate din lungimea ipotenuzei, adică jumătate din 10, deci are 5 centimetri.

Aici trebuie să scriem că avem 10 supra 2, adică 5 centimetri.

Și am găsit că D B are 5 centimetri, avem înălțimea, avem lungimea, ne mai trebuie lățimea, adică lungimea segmentului A D.

Cum o determinăm? Foarte simplu, avem aici un triunghi dreptunghic, măsura unghiului A are 90 de grade, deci putem să trecem aici și fie aplicăm,

nu arată bine deloc, deci avem aici un unghi de 90 de grade și fie aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul D A B,

fie putem să folosim numerele pitagoreice, astfel avem așa triunghiul D A B cu măsura unghiului A de 90 de grade,

mai știm că ipotenuza D B are 5 centimetri, A B o catetă are 4 centimetri, asta înseamnă că lungimea celeilalte catete este de 3 centimetri,

deci rezultă că A D are 3 centimetri pentru că numerele 3, 4 și 5 sunt numere pitagoreice.

Sau, cum am spus, aplicăm teorema lui Pitagora și găsim că avem aici 3 centimetri.

Avem toate dimensiunile, să calculăm area laterală, deci cergem tot ce am scris aici.

Area laterală este egală cu perimetrul bazei ori înălțimea, deci area laterală va fi egală cu perimetrul bazei.

Avem 2 pe lângă L mare plus L mic ori H, înlocuim 2 înmulțit cu, lungimea este 4, lățimea este 3, deci 4 plus 3 ori înălțimea care este 5 radical din 3.

Și vom avea așa, 7 ori 5, 35 ori 2, 70 radical din 3 centimetri pătrați și să aflăm și volumul, area totală nu ni se cere, să găsim și volumul,

area bazei ori înălțimea sau altfel spus pentru un paralelipiped dreptunghic am spus că trecem direct lungime ori lățime ori înălțime.

Deci volumul este egal cu 4 ori 3, deci avem aici 4 înmulțit cu 3 înmulțit cu înălțimea adică 5 radical din 3.

Și avem 4 ori 5 ne dă 20 ori 3, 60 ori radical din 3, deci 60 radical din 3 centimetri cubii și s-a încheiat.