Metoda integrării prin schimbare de variabilă - Exerciții

În cadrul acestui videoclip voi calcula câteva integrale folosind schimbarea de variabilă.

Pentru început vă propun două exerciții.

Să calculăm integrală din e la 2x plus 1 dx și integrală din cosinus de 4x plus 3 dx.

Voi începe cu primul exercițiu, să calculăm integrală din e la 2x plus 1 dx.

Pentru a rezolva acest exercițiu, așa cum am spus în lecția anterioară, începem prin a căuta funcția a cărei derivată se află la același nivel cu dx.

O căutăm noi, dar nu chiar o găsim, pentru că noi la același nivel cu dx avem doar e la 2x plus 1.

Văzându-le însă pe e la 2x plus 1 sub integrală, ne reamintim că știm două formule care conține exponențiala de bază e sub integrală.

Este vorba despre integrală din e la x dx care este egal cu e la x plus c și integrală din e la u dx ori u derivat de x dx care este egală cu e la u dx plus c.

Prima formulă nu poate fi utilizată pentru calculul acestei integrale pentru că noi în exercițiul pe care îl avem la exponent nu avem doar x ci avem 2x plus 1.

Să vedem dacă putem utiliza a doua formulă.

Din moment ce la exponentul lui e se găsește 2x plus 1, atunci am putea anota u dx cu 2x plus 1.

U derivat de x va fi derivat alui 2x plus 1 care este 2.

Noi nu îl avem pe 2 sub integrală dar îl putem pune în evidență fără a modifica integrala astfel.

Integrală din e la 2x plus 1 dx este egală cu integrală din e la 2x plus 1 ori 2 ori 1 pe 2 dx.

Aici am înmulțit și împărțit cu un 2, ceea ce nu modifică deloc integrala pe care trebuie să o calculăm.

De 2 avem nevoie sub integrală pentru că este derivata lui u dx.

De 1 pe 2 însă nu avem nevoie sub integrală și atunci putem rescrie integrală 1 pe 2.

Îl punem pe 1 pe 2 în față.

Integrală din e la 2x plus 1 ori 2x plus 1 derivat de x.

Și acum putem aplica această formulă pentru că avem e la u dx ori u derivat de x.

Eventual să rescriem integrala punând u dx în loc de 2x plus 1.

Deci vine e la u dx ori u derivat de x de x egal cu 1 pe 2 și aplicând acum această formulă

1 pe 2 ori e la u dx plus multimea constantelor și îl înlocuim pe u dx cu cine este el adică e la 2x plus 1.

Să nu uităm 1 pe 2, 1 pe 2 ori e la 2x plus 1 plus multimea constantelor.

Și cu aceasta calculul acestei integrale este finalizat.

Putem generaliza acest rezultat.

Dacă avem f mic o funcție care admite primitive și f mare este o primitivă a lui f mic.

Dacă avem de calculat integrala din f de ax plus b dx, a trebuie să fie diferit de 0.

Atunci această integrală va fi egală cu integrala din f de ax plus b ori a ori 1 pe a de x.

Îl punem în evidență pe a care este derivata lui ax plus b.

Care este egal mai departe cu 1 pe a integrală din f de ax plus b ori ax plus b derivat de x.

Observăm că ax plus b se repetă sub semnul integralei.

Notăm u dx cu ax plus b.

Și atunci integrala noastră devine 1 supra a integrală din f de u dx.

Ori u derivat de x dx.

Care potrivit formulei de schimbare de variabilă va fi egală cu 1 pe a f mare de u dx plus c.

Nu am uitat, f mare este primitivă a lui f mic.

Înlocuim acum pe u dx cu ax plus b.

Și atunci vom obține că integrala din f de ax plus b dx este egală cu 1 pe a f mare de ax plus b plus mulțimea constantelor.

Înseamnă că schimbarea de variabilă u dx egal cu ax plus b cu a diferit de 0 poate fi folosită ori de câte ori este nevoie.

Integralele funcțiilor uzuale rămân valabile și în cazul în care x este înlocuit cu un termen de gradul întâi în x.

Împărțind însă rezultatul final prin coeficientul lui x.

Coeficientul lui x este a și rezultatul final îl împărțim prin a.

Să calculăm acum cea de a doua integrală.

Integrală din cosinus de 4x plus 3 dx.

Vom folosi rezultatul pe care l-am demonstrat anterior.

Deoarece avem integrală din cosinus de x de x

egal cu sinus de x plus c.

Și pentru că în exercițiu x, x din formulă este înlocuit cu o expresie de gradul întâi în x.

4x plus 3.

Coeficientul lui x este 4.

Înseamnă că rezultatul calculului acestei integrale va fi

1 supra 4 sinus de 4x plus 3 plus mulțimea constantelor.

Vă mai propun un exercițiu.

Să calculăm integrală din dx supra x pătrat plus 2x plus 3.

Să analizăm ce avem sub semnul integralei.

La numărător avem doar dx.

La numitor avem o expresie de gradul 2x pătrat plus 2x plus 3.

Dacă derivăm numitorul, adică x pătrat plus 2x plus 3 derivat,

obținem 2x plus 2,

care este o expresie de gradul întâi

ce nu apare sub semnul integralei.

Dacă derivata numitorului ar fi o constantă,

ar fi foarte simplu de rezolvat.

Dar derivata lui x pătrat plus 2x plus 3

conține și variabila x.

Cum calculăm, totuși, această integrală?

Vom scrie expresia de gradul 2 de la numitor,

adică pe x pătrat plus 2x plus 3,

sub formă canonică, adică punând în evidență un pătrat perfect.

x pătrat și 2x ar putea fi primii doi termeni ai pătratului perfect,

2x ar fi, de fapt, 2 ori x ori 1,

înseamnă că trebuie să îl scriem și pe 1 la pătrat, care este 1.

Și pentru că noi în expresia de gradul al doilea îl aveam pe 3,

mai trebuie să adăugăm un 2.

Primii trei termeni

reprezintă x plus 1 la pătrat

și mai trebuie să îl adăugăm pe 2.

Adică integrala va fi integrală din dx supra

x plus 1 la pătrat plus 2.

Putem calcula această integrală,

fie folosind formula pe care am demonstrat-o anterior,

fie folosind formulele de integrare ale funcțiilor compuse.

Vom calcula integrala folosind această formulă.

Avem că integrala din dx supra x pătrat plus a pătrat

este egal cu 1 supra a arctangentă de x pe a

plus mulțimea constantelor cu a pozitiv

și cum noi în integrala pe care o avem de calculat în loc de x

avem x plus 1, adică o expresie de gradul întâi cu coeficientul lui x egal cu 1,

această integrală conform rezultatului pe care l-am precizat anterior

va fi egal cu 1 supra radical din 2

radical din 2 este a pentru că a pătrat este 2

arctangentă de x plus 1

supra radical din 2 plus mulțimea constantelor

Vă las pe voi să calculați integrala folosind formula de integrare a funcțiilor compuse pe care am scris-o aici

în care u de x este egal cu x plus 1