Metoda integrării prin părți - exerciții

În acest videoclip vă propun spre rezolvare câteva exerciții de calcul de integrale nedefinite care se rezolvă cu metoda integrării prin părți.

Vom începe cu prima integrală, să se calculeze integrală din x sinx dx.

Fiindcă am zis de la bun început că vom folosi metoda integrării prin părți, ar fi bine să scriem formula de integrare prin părți pentru a ne fi mai ușor să o folosim.

Avem că integrală din f or g derivat este egal cu f or g minus integrală din f derivat or g.

Să rezolvăm primul exercițiu.

Primul lucru pe care trebuie să-l facem este să alegem cine este funcția f și cine este funcția g.

Noi aici avem deja un produs de două funcții. O funcție este x, cealaltă funcție este sinx. Probabil că una dintre ele va fi f, cealaltă va fi g derivat.

Pentru că prin derivare exponentului x scade, aici având exponentul 1 înseamnă că f derivat va fi o constantă, va fi 1.

Sinx, fie că îl derivez, fie că îl integrez, mă duce la funcția cosx cu un plus sau minus în față.

Probabil că cea mai bună alegere este să considerăm f de x egal cu x și g derivat de x egal cu sinx.

Vom obține f derivat de x egal cu 1 și g de x, care este o primitivă a funcției sinx, va fi egală cu minus cosx.

Rescriem integrala punând în evidență funcțiile f și g și obținem integrală din x ori minus cosx derivat de x.

Folosim acum formula integrării prin părți și vom obține mai departe că este egal cu x ori minus cosx f or g, minus integrală din 1, care este f derivat de x, or g, care este minus cosx de x.

Și acum facem pur și simplu calculele, această integrală se calculează ușor, avem formulă pentru ea și vom obține minus x ori cosx plus integrală din cosx de x, minusul am scos în fața integralei, adică minus x cosx plus sinx plus mulțimea constantelor.

Trecem acum la rezolvarea celui de-al doilea exercițiu, integrală din x pătrat logaritm natural din x de x, când x este mai mare ca 0.

Primul lucru pe care trebuie să-l facem este să identificăm funcția f și funcția g derivat din această expresie de subintegrală.

Până acum a fost convenabil să-l alegem pe f ca fiind x pentru că prin derivare exponentul lui x scade.

Și aici ar fi frumos dacă am derivat și de exemplu am obținut un 2x, în loc de x pătrat avem doar x, poate s-ar calcula ușor.

Adică, dacă f de x este x pătrat, atunci derivata lui f de x este 2x, sigur că atunci g derivat de x ar trebui să fie logaritm natural din x,

doar că pentru a determina funcția g, noi ar trebui să știm o primitivă a funcției logaritmice.

Dacă ar fi să calculăm integrală din logaritm natural din x de x, deocamdată nu chiar știm cum să o facem, pentru că nu avem o formulă de integrare pentru calculul acestei integrale.

Înseamnă că alegerea aceasta nu este cea mai bună variantă și atunci vom face o altă alegere.

Dacă f egal cu x pătrat și g derivat egal cu logaritm din x nu a fost o alegere bună, hai să vedem ce se întâmplă dacă îl alegem pe f să fie logaritm natural din x și pe g derivat să fie x pătrat.

Să vedem ce obținem.

Vom avea f de x egal cu logaritm din x și f derivat de x egal cu 1 pe x.

g derivat de x egal cu x pătrat g, o primitivă a lui x pătrat, va fi x la treia pe 3.

Rescriem integrala punând în evidență funcțiile f și g și apoi folosim formula de la metoda integrării prin parți.

Și obținem că integrala din logaritm din x ori x la treia pe 3 derivat de x, f este logaritm, g este x la treia pe 3, este egal cu logaritm natural din x ori x la treia pe 3, f ori g, minus integrala din f derivat ori g de x.

Subintegrala putem simplifica cu x și putem scoate 1 pe 3 în fața integralei.

Vom obține x la treia pe 3 ori logaritm natural din x minus 1 pe 3 integrală din x pătrat de x.

Integrala din x pătrat de x o calculăm, este x la treia pe 3.

Și obținem rezultatul final al acestui exercițiu.

Să rezolvăm acum exercițiul al treilea, integrală din logaritm din x de x, când x este mai mare decât 0.

Dacă ne uităm atent la această integrală, constatăm că sub integrală nu avem un produs de două funcții, sau cel puțin nu vedem deocamdată două funcții.

Avem doar funcția logaritm natural din x.

Cum am putea găsi totuși cele două funcții pentru ca să putem aplica metoda integrării prin părți?

Am putea să punem sub integrală în evidență un 1 pentru că integrală din logaritm natural din x de x este egală cu integrală din 1 ori logaritm natural din x de x.

Dacă e să rezolvăm exercițiul cu ajutorul metodei integrării prin părți, atunci ar trebui ca să alegem logaritm din x să fie funcția f de x,

ceea ce în contextul acestui exercițiu ar însemna că 1 trebuie să fie g derivat de x.

Să vedem ce obținem.

Vom avea f de x egal cu logaritm natural din x, f derivat de x egal cu 1 pe x, g derivat de x egal cu 1, înseamnă că g de x este egal cu x.

Rescriem integrala punând în evidență funcțiile f și g derivat și vom obține integrală din logaritm natural de x ori x derivat de x.

Acum trebuie să continuăm rezolvarea exercițiului cu utilizarea formulei de integrare prin părți.

Opriți înregistrarea video și faceți singur acest lucru.

Ar fi trebuit să obțineți logaritm natural din x ori x minus integrală din 1 pe x ori x de x.

Sub integrală facem simplificarea și vom obține x ori logaritm natural din x minus integrală din dx adică x logaritm natural din x minus x plus c.

Și cu asta am rezolvat și acest exercițiu. Am găsit mulțimea primitivelor funcției logaritm din x.

O observație legată de rezolvarea acestui ultim exercițiu.

Spuneam la începutul lecției despre metoda integrării prin părți că această metodă se folosește în calculul integralei unui produs de două funcții și în câteva alte situații.

Integrală din logaritm natural de x de x este una din aceste alte situații, pentru că noi sub integrală nu avem de fapt un produs de două funcții,

dar această metodă a integrării prin părți ne ajută să putem determina mulțimea primitivelor funcției logaritm natural de x.

Este aceeași situație și în cazul integralei din arctangentă de x de x.

Nici aici nu avem sub integrală un produs, dar metoda integrării prin părți ne este utilă pentru determinarea mulțimii primitivelor funcției arctangentă.

Și în acest caz vom pune în evidență un 1 ca factor sub integrală.

Arctangentă de x știm să o derivăm, deci înseamnă că aceasta va trebui să fie funcția f

Și de aici încolo ar trebui să puteți calcula singur integrala, pentru că tot demersul este foarte asemănător cu cel pe care l-am făcut la calculul integralei din logaritm natural de x de x.