Masa relativistă. Relaţia masă-energie: ecuaţia Einstein.

În cea de-a șasea și ultima lecție despre teoria relativității restrânse,

vom discuta despre dinamica relativistă și despre ecuația anginei.

Dezvoltarea dinamicii relativiste pleacă de la redefinirea conceptului de masă.

Dacă vă aduceți aminte în mecanica clasică newtoniană,

dinamica începea prin introducerea conceptului de masă

a unui sistem fizic, care era legat de proprietatea lui de inerție

și apoi de conceptul sau mărimea vectorială forță,

ce descrie acțiunea unui corp asupra altui corp,

ce era legată de masă și accelerație prin ecuația fundamentală a mecanicii newtoniene,

forță egal cu produse între masă și accelerație.

De asemenea, se introduceau parametrii precum impulsul,

care era produsul dintre masă și viteză,

prin definiție și prin consecință variația impulsului

în unitatea de timp era egală cu forța

și, de asemenea, se introducea energia unui sistem fizic sau unui corp,

care era masă ori viteza la pătrat împărțit la doi

plus energia potențială,

ce depindea de tipul de interacție în care sistemul fizic sau corp era implicat.

Aceste erau noțiunile de bază din mecanica clasică.

Mecanica relativistă pleacă de la definiția impulsului unui corp

sau unui sistem fizic,

care își rămâne aceeași ca aceea din mecanica clasică.

Deci plecăm de la definiția impulsul este egal cu masă ori viteză.

Și mai important,

legea de conservare a impulsului și anume în absența unor forțe externe

impulsul se conservă în sisteme de referință inerțiale, adică neaccelerate,

rămâne valabilă.

De aici observăm imediat că în mecanica relativistă

masa trebuie să fie redefinită.

Într-o transformare Lorentz,

pe care tocmai am văzut-o,

compunerea vitezelor se schimbă

și, în consecință, pentru a păstra aceleași proprietăți ale impulsului,

masa trebuie să aibă o altă...

să fie dependentă de viteză și să aibă o altă comportare.

Fără a face o derivare a acestei ecuații,

în cinematica relativistă se poate demonstra că

masa unui sistem sau unui corp

într-un sistem de referință inerțial aflat în mișcare

este egală cu masa de repaus,

adică masa în sistemul de referință inerțial propriu,

cel legat de sistemul fizic considerat,

împărțit la 1 minus v pătrat pe c pătrat

sau, altfel spus, m este egal cu gamma m0.

Din nou, dăm această formulă foarte importantă

fără demonstrație.

O consecință esențială a acestei formule

este că, în mecanica relativistă,

masa nu mai este o constantă.

Masa, pe care, bineînțeles, o măsurăm tot în kilograme,

depinde de viteza de deplasare a corpului,

care este măsurată în metrii pe secundă, în felul următor.

Avem o valoare egală cu m0,

cu masa în sistemul de referință propriu,

pentru orice viteză

care este mică sau medie.

Totuși, când ajungem la viteze foarte mari,

comparabile cu C, viteza luminii în vid,

adică 300.000 km pe secundă,

dintr-o dată masa devine dependentă

de viteză și obținem această dependență.

Deci, din nou, masa este constantă

pentru viteze mici, medii sau chiar suficient de mari.

Dar când ajungem la viteze de ordinul

zecilor de mii de km pe secundă,

dintr-o dată masa începe să devină puternic dependent

de viteza sistemului.

Relația fundamentală a dinamicii

rămâne adevărată în raport cu impulsul,

dar nu și în raport cu accelerație.

Adică, putem în continuare spune că

forța este variația impulsului în raport cu timpul.

Deci, aveam această definiție care

ducea la această relație dintre impuls și forță,

iar rămâne valabilă

în mecanica relativistă. Ce nu mai este

adevărat este relația fundamentală, ecuația fundamentală

f="ma", nu mai este adevărată și

aceasta putem vedea din această ecuație.

Adică, forța f va fi egală cu

d la dt, derivata în raport cu timpul

a impulsului, care este mv.

Adică, este d la dt

din m0 gamma v.

Dar amândouă

atât gamma cât și v sunt dependente de timp, deci obținem

doi factori și anume avem un m0

de gamma la dt

de gamma la dt mulțit cu v

plus un al doilea termen care este

m0 gamma dv

la dt, care este accelerația. Deci, vedem

că obținem o ecuație mai complicată

a forței în mecanica relativistă.

De asemeni, bineînțeles, principiul

corespondenței funcționează. Adică, pentru viteze mult mai mic decât

c, în acest regim de viteze

masa

gamma devine aproximativ egal cu 1

deci m devine aproximativ egal cu m0, ceea ce înseamnă că

recuperăm ecuațiile din mecanica clasică

pentru impuls și forță.

În fizica relativistă, accelerația și forța devin mărimi secundare.

Asta înseamnă că, bineînțeles, le putem calcula și le putem

folosi, dar devin secundare, ele fiind înlocuite

de mărimile impuls, energie și intensitate

a câmpului. Pentru motive asupra cărora nu insist,

ele se comportă diferit la transformările

Lorentz. Să trecem la următoarea

etapă în dezvoltarea mecanicii relativiste

și anume energia. Energia relativistă.

Ecoația pentru energia

relativistă se numește ecuația Einstein. Ea este o ecoație

faimoasă și ea stabilește relația dintre masă

relativistă și energia relativistă, fiind în modul

cel mai simplu următoarea E egal cu MC pătrat.

Aceasta stabilește o relație directă între energie și masă pentru

că C pătrat este, bineînțeles, o constantă.

Dăm această ecoație fără demonstrație.

În mod evident, ea se poate demonstra plecând de la principiile

Einstein și transformările Lorentz,

dar demonstrația este complicată și nu vă este

cerută dumneavoastră, deci numai o dăm fără demonstrație

și discutăm implicațiile ei. În primul rând, asta înseamnă că vom avea

o energie de repaus. Energia unui sistem sau unui

corp în sistemul de referință propriu. Ea se va natua cu E zero

și va fi egală cu masa de repaus mulțită cu C la pătrat.

De asemenea, o altă implicație

este că orice variație a energiei e însuțită

de o variație a masei și invers. Pur și simplu,

din nou, pentru că C pătrat este o constantă, deci dacă E variază,

singurul fel în care o poate face este printr-o variație a lui M.

De asemenea, putem defini

și definim energia cinetică relativistă ca diferența

dintre energia în sistemul de referință propriu

E zero și energia în orice alt sistem de referință.

Asta pentru că în sistemul de referință

propriu, bineînțeles prin definiție, corpul sau

sistemul este în repaus și el se află în mișcare

în orice alt sistem de referință inerțial. Deci diferența dintre

sistemul de referință propriu și alt sistem de referință este mișcarea.

În consecință, diferența dintre energiile, între cele două energii,

va fi o energie cinetică și deci energia cinetică

este egală cu M minus M zero mulți cu C la pătrat.

În fine, un alt comentariu este legat

de principiul de corespondență și anume,

se poate demonstra că în limita vitezelor mult mai mici

decât viteza lui un vid, această ecuație

se reduce la ecuația bine cunoscută în mecanica

newtoniană pentru energia cinetică și anume 1 pe 2

M zero V pătrat, masa de repaus mulți cu viteza la pătrat.

Nu vom demonstra această

deducție, numai întreagă

să spunem că ea pleacă de la faptul că pentru V

mult mai mic decât C, se poate aproxima

factorul gamma ca fiind 1 plus V pătrat

împărțit la 2C pătrat. Până acum am

spus că în această limită gamma este aproximativ egal cu 1

și asta rămâne în continuare adevărat pentru că această

corecție, acest factor adițional care l-am adăugat

este în limita V mult mai mic decât C egal cu 0.

Dacă V mult mai mic decât C, atunci cu atât mai mult V pătrat va fi

mult mai mic decât 2C pătrat, deci tind de la 0.

Totuși se poate demonstra folosind o așa numită

expansiune într-o serie Taylor alui gamma

în cazul acesta această formulă. Plecând de la această formulă

se poate deduce imediat această aproximație în

limita vitezelor mici pentru energia cinetică relativistă care este

energia cinetică din mecanica clasică.

Un ultim comentariu este

legătura dintre masă și energie

implicată de ecuația Einstein și anume, în modul

cel mai direct și profund, ecuația Einstein

implică că masa se transformă în energie,

energia se transformă în masă și

astfel masa este o formă particulară de energie.

Trebuie să menționez la acest moment

că manualul dumneavoastră, ce puțin manualul pe care îl am eu în față

de fizică clasa 12-a, afirmă contrarul

și anume că nu ar trebui să interpretăm ecuația Einstein

ca implicând o echivalență a masei cu energiei

în sensul că ele se pot transforma una într-alta.

Eu afirm contrarul din fizica pe care o știu eu

și am învățat-o eu, ecuația Einstein implică exact

acest lucru. Mai mult pot să și

dau exemple în care acest lucru se întâmplă

în universul din jurul nostru. În particular

anumite ramuri ale fizicii și anume

fizica subatomică, fizica cuantică, fizica nucleară, astrofizica

abundă în astfel de procese în care masa

se transformă în energie, masa de repaus în particular

și invers. Un astfel de exemplu este următorul, un

proces în care două particule numite fotoni

despre care vom vorbi imediat, deci în lecțiile următoare

vom introduce particula numită foton în două sau trei lecții

de acum încolo. Deci

doi fotoni se combină formând un electron

și o altă particulă numită pozitron ce are aceeași masă

ca și electronul. Deci dacă vreți din punct de vedere al masei

doi fotoni se combină în doi electroni. La fel

un electron și un pozitron se combină

și dispărând, formându-se în

faza finală a acestui proces, în starea

finală a acestui proces, doi fotoni. De ce

aceste procese sunt foarte importante, în particular

acest proces ne spune că în starea inițială

avem o formă de energie numai

o energie numai sub formă de masă de repaus. Deci avem

doi electroni foarte apropiați cu masa

2m0, unde m0 este masa de repaus a electronului

și nu avem o energie cinetică, iar în faza finală avem o masă

0. Fotonii, prin definiție, au masă de repaus

0 și în acest proces ei vor avea o energie cinetică.

Deci avem, în consecință, o transformare directă

a masei de repaus în starea inițială în energie

cinetică în starea finală. Poate și mai relevant

un altfel de proces este

următorul. Există o particulă, nu contează exact

care sunt proprietățile ei, dar există o particulă care se numește P0

care este instabilă, deci după un anumit timp

se dezintegrează. Deci acest P0, stând pe loc, stând

în repaus, se dezintegrează în doi fotoni. Ce este

important din nou este că acest P0 are o masă

destul de mare pentru lumea subatomică, deci aproape

o șeptime din masa atomului de hidrogen

este masa de repaus a acestui P0.

Deci avem o masă de repaus semnificativă în starea

inițială și nu avem o energie cinetică. În starea finală obținem

din nou doi fotoni. Asta înseamnă din nou masă de repaus 0

și energie cinetică. Singura concluzie posibilă este

că avem o transformare a masei de repaus

în energie cinetică. Un alt proces

foarte important care vine din altă ramură

fizică și anume astrofizică, se referă la radiație

electromagnetică produsă de soare și orice altă stea

în fazele principale al evoluției unei stele, care are

loc prin procesul de fuziune nucleară. În particular

avem un nucleu de hidrogen și un

alt nucleu de triton, deci

H2 plus H3, adică hidrogen cu masa 2 și hidrogen

cu masa 3, fuzionează, se combină și rezultă

un nucleu de helium și o radiație

electromagnetică, adică o particulă numită foton.

După cum se vede, în acest proces are loc

o pierdere de masă. Din chimie știm că acest număr

este masa atomică A, deci avem

o masă atomică totală, egală cu 5 în starea inițială

și egală cu 4 în starea finală. Avem o pierdere de masă.

Și avem un câștig de energie pentru că acest

foton pleacă din această reacție,

din acest proces, cu o energie cinetică substanțială.

Acesta este procesul cel mai important, nu singurul, dar cel mai important

prin care o stea și în particular soarele nostru

produce energie pe care apoi o excluzează

în spațiu și, spre exemplu, o recepționăm noi pe pământ

sub formă de radiație electromagnetică, adică foton.