Mărimi direct proporţionale

În această lecție o să vedem ce sunt mărimile direct proporționale.

Să presupunem că avem un creion care costă 2 lei.

Atunci două creioane vor costa 4 lei.

Iar trei creioane vor costa 6 lei.

Observăm că dacă numărul de creioane crește, atunci crește și prețul acestora.

Mai exact, dacă numărul de creioane se dublează, atunci și prețul acestora se dublează,

iar dacă numărul de creioane se triplează, atunci și prețul acestora va crește de 3 ori.

În acest caz vom spune că aceste mărimi sunt mărimi direct proporționale.

Două mărimi sunt direct proporționale dacă depind una de alta,

astfel încât dacă una crește de n ori, atunci și cealaltă crește tot de n ori.

Cu aceste mărimi putem să scriem niște rapoarte.

Am văzut că un creion costă 2 lei, așadar putem să scriem raportul 1 supra 2.

Două creioane costă 4 lei, deci avem raportul 2 supra 4.

Iar trei creioane costă 6 lei.

Cu aceste rapoarte putem să formăm niște proporții, pentru că 1 supra 2 este egal cu 2 supra 4.

Sau o altă proporție, 2 supra 4 egal cu 3 supra 6.

Și acum să dăm în continuare definiția pentru mărimile direct proporționale.

Numerele x și y sunt direct proporționale cu numerele a și b, dacă x supra a este egal cu y supra b.

În general, numerele a1, a2, a3...an sunt direct proporționale cu numerele b1, b2, bn,

dacă formează șirul de rapoarte egale a1 supra b1, egal cu a2 supra b2, egal cu puncte puncte an supra bn.

Să facem în continuare o problemă.

Să se afle numerele x și y știind că sunt direct proporționale cu numerele 5 și 8 și că 2x minus y este egal cu 40.

Această relație de proporționalitate se mai poate nota și astfel.

Numerele x și y sunt direct proporționale cu numerele 5 și 8.

Înseamnă că are loc următoarea proporție, x supra 5 este egal cu y supra 8.

Fiind dată această proporție, trebuie să aflăm numerele x și y.

Mai știm și că 2x minus y este egal cu 40.

Ca să putem folosi și această relație dată în problemă, trebuie să amplificăm primul raport cu 2 astfel încât să ne apară 2x.

Așadar, amplificăm primul raport cu 2 și obținem următoarea proporție, 2x supra 10 egal cu y supra 8.

În lecția în care am învățat proporțiile, am văzut că putem să obținem proporții derivate dacă scădem numărătorii între ei și numitorii între ei.

Așadar, aceste rapoarte se pot egala în continuare cu raportul format de diferența a numărătorilor și diferența a numitorilor.

Dar 2x minus y este egal cu 40, iar 10 minus 8 este egal cu 2.

40 supra 2 este egal cu 20.

Și acum, ca să aflăm numerele x și y, egalăm aceste rapoarte cu 20.

Prin urmare, 2x supra 10 va fi egal cu 20, de unde rezultă că 2x este egal cu 10 ori 20, adică 2x este egal cu 200.

Și împărțind la 2 în ambii membrii, obținem că x este egal cu 100.

Acum, ca să aflăm pe y, egalăm acest raport cu 20.

y supra 8 este egal cu 20.

Rezultă că y este egal cu 8 ori 20.

y este egal cu 160.

Așadar, cele două numere sunt x egal cu 100 și y egal cu 160.

Și mai facem o problemă.

Dacă din 120 kg de sfeclă se obțin 40 kg de zahăr, din câte kg de sfeclă se vor obține 60 kg de zahăr.

Acest gen de probleme se rezolvă cu regula de 3 simplă.

Așadar, să scriem regula de 3 simplă astfel.

Dacă din 120 kg de sfeclă se obțin 40 kg de zahăr, din câte kg de sfeclă, adică x kg de sfeclă, se vor obține 60 kg de zahăr.

Numărul de kg de sfeclă și numărul de kg de zahăr sunt mărimi direct proporționale.

Pentru că atunci când numărul de kg de sfeclă va crește, cu siguranță va crește și numărul de kg de zahăr.

Și atunci proporția se scrie în felul următor, 120 supra x este egal cu 40 supra 60.

Trebuie să aflăm necunoscuta x din această proporție.

x va fi egal cu 120 ori 60 supra 40.

Se simplifică 120 cu 40.

120 împărțit la 40 este 3.

Așadar, x este egal cu 3 ori 60, 180 kg de sfeclă.