Marginile unei mulțimi de numere reale

Vom discuta în cele ce urmează despre marginile unei mulțime de numere reale.

Vom considera mulțimea A o mulțime de numere reale, nevidă și mărginită.

Fiind o mulțime mărginită, înseamnă că A are cel puțin un minorant și cel puțin un majorant.

Vom defini în continuare noțiunea de margine inferioră, respectiv margine superioră a unei mulțimi.

micul număr real se numește marginea inferioră a mulțimii A dacă îndeplinește două condiții.

Prima condiție este aceea de a fi minorant al mulțimii A, iar a doua condiție este ca M să fie cel mai mare minorant al mulțimii A.

Marginea inferioră a unei mulțimi se mai notează cu inf de A.

Asta înseamnă că M este marginea inferioră a mulțimii A.

Număr real M se numește marginea superioară a mulțimii A dacă

de data asta trebuie să îndeplinească două condiții, dacă M mare este majorant al mulțimii A și dacă M mare este cel mai mic majorant al mulțimii A.

Marginea superioară a unei mulțimi se notează cu sub A.

Vom lua în continuare un exemplu, un exercițiu în care să determinăm marginea inferioră respectiv marginea superioară a unei mulțimi de numere reale.

Vom considera mulțimea A egală cu interval deschis minus 1 închis 1 reunit cu interval închis 2 închis 3.

Pentru ca să determinăm marginile acestei mulțimi trebuie prima dată să determinăm mulțimea minoranților, apoi mulțimea majoranților

și după ce știm cele două mulțimi putem determina marginea inferioră respectiv marginea superioară.

Vom reprezenta pe axă mulțimea A.

Mulțimea minoranților mulțimii A include toate numerele reale mai mici sau egale cu minus 1

inclusiv minus 1.

Deci vom nota mulțimea minoranților, o notăm tot cu M1

egală cu interval minus infinit minus 1 inclusiv minus 1.

Mulțimea majoranților include toate numerele reale mai mari sau egale cu 3

M1, M2 este intervalul închis 3 plus infinit.

Pentru ca să determinăm marginea inferioră a mulțimii A trebuie să alegem cel mai mare minorant,

adică cel mai mare număr din mulțimea minoranților,

cel mai mare număr din mulțimea minoranților este minus 1,

deci M1 este egal cu minus 1.

Pentru ca să determinăm marginea superioară a mulțimii A

trebuie să alegem cel mai mic element al mulțimii majoranților mulțimii A,

adică cel mai mic element al mulțimii M2.

Acesta va fi M mare egal cu 3.

Aceasta este modalitatea în care se determina marginile unei mulțimi de numere reale.

Ce ar mai fi de menționat referitor la marginile unei mulțimi de numere reale este axioma lui Cantor.

Cantor este un matematician german care a trăit în 1845-1918

și el este creatorul teoriei mulțimilor.

Axioma lui Cantor ne spune că orice mulțime de numere reale marginită inferior

admite o margine inferioară.

Fiind vorba de o axiomă, în mod evident aceasta nu trebuie demonstrată

și ce ne asigură această axiomă este că de fapt

orice mulțime de minoranți va avea un cel mai mare element.

Axioma lui Cantor ne permite să afirmăm și că orice mulțime marginită

are atât margine inferioară cât și margine superioară.

O observație care merită să o rețineți este

faptul că dacă marginile unei mulțimi există,

deci dacă o mulțime de numere reale are margini,

atunci acestea sunt unice.

Nu se poate întâmpla ca o mulțime să aibă

două margini inferioare sau mai multe

sau două sau mai multe margini superioare.