Logaritmarea unei expresii

Vom discuta în această secvență despre logaritmarea unei expresii.

A logaritma un număr sau o expresie înseamnă a calcula logaritmul acelei expresii.

Am trecut în partea dreaptă principalele proprietăți ale logaritmilor pe care le-am discutat în lecțiile trecute

și avem un prim exercițiu să se logaritmeze în baza a doi expresiile.

Prima expresie, 3x pătrat supra y. Așadar, va trebui să calculăm logaritmul în baza a doi

din e1.

Și vom avea logaritmul în baza a doi din 3x pătrat supra y.

Folosim a doua formulă scrisă în dreapta.

Logaritmul unui raport este egal cu diferența dintre logaritmul numărătorului și cel al numitorului.

Prin urmare vom avea logaritmul în baza a doi din 3x pătrat minus logaritmul în baza a doi din y.

Egal.

Logaritmul unui produs este egal cu suma logaritmilor factorilor.

Așadar, vom avea logaritmul în baza a doi din 3 plus logaritmul în baza a doi din x pătrat minus

logaritmul în baza a doi din y.

Egal cu logaritmul în baza a doi din 3 plus acel exponent trece în fața logaritmului

2 logaritmul în baza a doi din x minus logaritmul în baza a doi din y.

A doua expresie.

Logaritmul în baza a doi din e2 va fi egal cu logaritmul în baza a doi din fracția 4a la 3a radical din b supra c pătrat.

Mai întâi folosim a doua relație logaritmului raportului și vom avea logaritmul în baza a doi

din 4a la 3a radical din b minus logaritmul în baza a doi din c pătrat.

Egal.

Pentru a calcula acest logaritm aplicăm prima relație scrisă mai sus.

Logaritmul unui produs este suma logaritmilor.

Deci vom avea logaritmul în baza a doi din 4 plus logaritmul în baza a doi din a la 3a

plus logaritmul în baza a doi din radical din b minus

exponentul trece în fața logaritmului și avem 2 logaritmul în baza a doi din c.

Egal.

Logaritmul în baza a doi din 4 este 2 plus 3 logaritmul în baza a doi din a plus

Radical din b se poate scrie b la puterea 1 pe 2.

Acel exponent va trece în fața logaritmului și vom avea 1 pe 2 logaritmul în baza a doi din b

minus 2 logaritmul în baza a doi din c.

Observăm că prin operația de logaritmare a unei expresii ridicarea la putere se transformă în înmulțire

iar înmulțirea se transformă în adunare.

Acesta e și motivul pentru care au apărut de fapt logaritmii.

E mult mai ușor să faci adunări și scădări decât înmulțiri sau ridicări la putere.

La început, astronomia a fost un domeniu care a beneficiat major de apariția logaritmilor.

Matematicianul francez Laplace a spus că inventarea logaritmilor a redus la câteva zile o muncă de luni întregi,

a dublat viața astronomului și l-au scăpat de greșel și de dezgust.

Continuăm cu a treia expresie.

Calculăm logaritmul în baza a doi din e trei.

Egal cu logaritmul în baza a doi.

Avem aici un radical de ordinul cinci.

Acesta se va scrie sub forma unei puteri cu exponent rațional.

Avem așadar toată această fracție.

A la treia, B la a doua, radical din C,

supra radical de ordinul trei din D la pătrat

și totul la puterea 1 pe 5.

Egal.

Exponentul trece în fața logaritmului.

1 supra 5.

Logaritmul în baza a doi.

Din a la a treia, B la a doua, radical din C,

supra radical de ordinul trei din D la pătrat.

Acum aplicăm a doua formulă.

Pentru că avem aici logaritmul unui raport.

Acesta se va scrie 1 pe 5 pe lângă.

Logaritmul în baza a doi.

Din a la a treia, B la a doua, radical din C,

minus logaritmul în baza a doi,

din radical indice trei, din D la pătrat.

Egal.

Cu 1 supra 5 pe lângă.

Logaritmul unui produs este suma logaritmilor.

Și avem logaritmul în baza a doi din a la a treia,

plus logaritmul în baza a doi din B la a doua,

plus logaritmul în baza a doi din radical din C,

pe care o să-l scriu C la puterea 1 pe 2,

minus 1 supra 5, logaritmul în baza a doi,

radical de ordinul trei din D la pătrat,

este D la puterea 2 pe 3.

Egal. Continuăm mai jos.

Acum o să desfac această paranteză

înmulțind numărul 1 pe 5 cu fiecare termen din paranteză,

iar acești exponenți vor trece în fața logaritmului.

Și vom avea 1 supra 5, ori 3,

logaritmul în baza a doi din A,

plus 1 pe 5, ori 2,

logaritmul în baza a doi din B,

plus 1 pe 5, înmulțit cu 1 pe 2,

logaritmul în baza a doi din C,

minus 1 pe 5, ori,

la fel exponentul se scrie în față, 2 pe 3,

logaritmul în baza a doi din D.

Cu 3 supra 5,

logaritmul în baza a doi din A,

plus 2 supra 5,

logaritmul în baza a doi din B,

plus 1 supra 10,

logaritmul în baza a doi din C,

minus 2 supra 15,

logaritmul în baza a doi din D.

Acestea au fost câteva exemple de logaritmare a unor expresii.

Continuăm cu un alt tip de exerciții.

Vom face acum drumul invers,

adică, având o sumă algebrică cu mai mulți logaritmi,

să încercăm să o scriem sub forma unui singur logaritm,

adică restrângem această expresie

folosind aceste proprietăți ale logaritmilor,

însă de data aceasta le vom citi invers,

de la dreapta spre stânga, adică le restrângem.

Să se scrie sub formă mai simplă expresiile,

E1

este logaritm în baza 7 din X,

plus

logaritm în baza 7 din Y,

minus logaritm în baza 7 din Z.

Avem o sumă de 2 logaritmi cu aceeași bază,

această sumă se poate scrie sub forma logaritmului unui produs,

folosind această primă formulă,

și vom avea logaritm în baza 7 din XY,

minus logaritm în baza 7 din Z.

Acum avem o diferență de 2 logaritmi cu aceeași bază,

aceasta se va scrie sub forma logaritmului unui raport,

deci avem logaritm în baza 7 din XY,

supra Z.

Am restrâns așadar expresia E1 sub forma unui singur logaritm.

A doua expresie

O să mai scriem încă o dată

Ne uităm la primii 2 logaritmi,

avem o sumă de logaritmi cu aceeași bază,

ne gândim să folosim această primă formulă,

și voi scrie logaritm decimal din produsul,

radical din a la a treia,

ori radical din a,

minus pe lângă.

Acest coeficient 4 devine exponentul puterii,

vom avea așadar logaritm decimal din a la puterea a patra,

și plus, pentru că l-am scos pe minus în fața parantezei,

logaritm decimal din 1 pe a,

egal,

cu logaritm decimal din radical din a la a patra, minus.

Avem iarăși o sumă de 2 logaritmi cu aceeași bază,

aceasta se va scrie sub forma logaritmului produsului,

deci logaritm din a la a patra,

ori 1 pe a,

egal,

radical din a la a patra este a la a doua,

așadar avem logaritm decimal din a la a doua,

minus logaritm decimal din a la a treia,

am simplificat aici cu a.

Diferența logaritmilor se va scrie sub forma logaritmului unui raport,

vom avea așadar logaritm decimal din a la a doua,

supra a la a treia,

și egal cu logaritm decimal din 1 supra a.

Așadar am restrâns expresia E2 sub forma unui singur logaritm.