Limite de funcții 1

Noțiunea de limită a unei funcții este o noțiune fundamentală în analiza matematică,

deoarece ea stă la bază a calculului diferențial și a calculului integral.

Atunci când calculăm limitea unei funcții într-un punct, studiem comportarea funcției în jurul acelui punct.

Mai exact, dacă x ea valori din ce în ce mai apropiate de un punct A,

atunci valorile funcției f se apropie din ce în ce mai mult de același număr l.

Dacă acest lucru are loc, atunci vom spune că numărul l este limita funcției

și scriem limită când x tinde la a din f de x este egală cu l.

Să luăm un exemplu.

Considerăm funcția f de x egal cu x plus 3.

Dorim să studiem ce se întâmplă cu valorile funcției atunci când x

ia valori din ce în ce mai apropiate de 2.

Iată, dacă x este 1.90, f de x este 4.90.

Dacă x este 1.99, f de x este egal cu 4.99.

Dacă x este 1.9999, f de x este egal cu 4.9999.

Să luăm acum și valori mai mari ca 2.

Dacă x este 2.01, f de x este egal cu 5.01.

Iar dacă x este 2.0001, atunci f de x este egal cu 5.0001.

Observăm că atunci când x se apropie de 2, atât prin valori mai mici decât 2,

cât și prin valori mai mari ca 2, funcția ia valori din ce în ce mai apropiate de 5.

Putem vedea acest lucru și pe grafic.

Iată reprezentarea grafică a funcției.

Avem o funcție de gradul 1, prin urmare graficul acesteia este o dreaptă.

Observăm că atunci când x se apropie de numărul 2, atât din partea stângă, în sens crescător,

cât și din partea dreaptă, în sens descrescător, valorile funcției se apropie de 5.

Valorile funcției f de x sunt întotdeauna situate pe axa OY.

Dacă nu vă este clar cum citim valorile funcției de pe grafic, procedeul este următorul.

Ne alegem un punct pe axa OX apropiat de 2.

Urmăriți vă rog punctul roșu de pe grafic.

Ducem o dreaptă verticală, paralelă cu axa OY, până când aceasta intersectează graficul funcției.

Apoi, din punctul situat pe grafic, ducem o dreaptă orizontală, paralelă cu OX,

până când aceasta intersectează axa OY.

Punctul astfel obținut pe axa OY reprezintă valoarea funcției calculată în punctul din care am pornit.

Dacă repetați acest procedeu de câteva ori, veți vedea că pe măsură ce alegem puncte din ce în ce mai apropiate de 2,

valorile funcției vor fi din ce în ce mai apropiate de 5.

Așadar, vom scrie că limită când X tinde la 2 din f de X

este egală cu limită când X tinde la 2 din X plus 3 și egală cu 5.

Observăm că, în acest caz, limita se poate calcula prin substituție directă,

adică îl înlocuim pe X cu valoarea la care tinde și obținem limita.

Dar vor fi și situații când acest lucru nu va fi posibil.

Pentru început, să reținem că o funcție f are limita L într-un punct A

dacă, atunci când X se apropie de A din ambele părți, f de X se apropie de același număr L.

În cazul în care valorile funcției nu se apropie de același număr L,

atunci vom spune că nu există limită în punctul respectiv.

Să vedem un alt exemplu.

Considerăm funcția f de X egal cu X la a doua minus nouă supra X minus 3,

unde X este diferit de 3.

Ne propunem să calculăm limita funcției în punctul 3.

Chiar dacă 3 nu face parte din domeniul de definiție,

putem totuși calcula limita în acest punct,

deoarece aceasta nu se referă la valoarea funcției în punctul 3.

Așa cum am văzut mai devreme, limita se calculează pentru valori care se apropie de 3.

Încercăm mai întâi prin substituție directă, înlocuindu-l pe X cu 3.

Acesta este întotdeauna primul pas în încercarea de a calcula o limită.

3 la a doua este 9, 9 minus 9 este 0,

iar la numitor avem 3 minus 3 egal cu 0.

Observăm că prin înlocuire directă obținem 0 supra 0,

iar acesta nu este un rezultat acceptat pentru calculul unei limite.

0 pe 0 este un caz de nedeterminare sau caz de excepție,

pentru că 0 supra orice număr este 0,

dar, pe de altă parte, orice număr împărțit la el însuși este 1.

Deci suntem într-o situație ambiguă,

așa că matematicienii au decis că 0 pe 0 rămâne un caz de nedeterminare.

Pentru a rezolva această situație, trebuie să prelucrăm funcția astfel încât să eliminăm numitorul.

Se poate observa că la numărător avem diferența a două pătrate perfecte

și vom descompune expresia în factori utilizând formula

a la a doua minus b la a doua egal cu a minus b pe lângă a plus b.

Deci x la a doua minus nouă este egal cu x minus 3 pe lângă x plus 3.

În felul acesta vom putea simplifica fracția cu x minus 3 întrucât x este diferit de 3

și obținem că f de x este egal cu x plus 3.

Am eliminat în felul acesta factorul x minus 3 care a condus la nedeterminare

și în continuare se poate calcula limita prin substituție directă.

Limită când x tinde la 3 din x la a doua minus nouă supra x minus 3

este egal cu limită când x tinde la 3 din x plus 3 și egal cu 6.

Așadar când x este apropiat de 3, valorile funcției sunt din ce în ce mai apropiate de 6.

Să vedem un ultim exemplu.

Considerăm funcția f de x egal cu 1 supra x plus 2 cu x diferit de minus 2.

Ne propunem să calculăm limită când x tinde la minus 2 din f de x.

Prin înlocuire directă obținem 1 supra 0.

Și acum urmează partea interesantă.

Ce semn are 0?

Într-un alt context, întrebarea ce semn are 0 ar părea absurdă,

dar la analiza matematică 0 are semn, pentru că vorbim de fapt de o valoare apropiată de 0

și aceasta poate să fie pozitivă sau negativă.

Să luăm câteva valori care se apropie de minus 2 atât din partea stângă cât și din partea dreaptă

și să calculăm valoarea expresiei x plus 2 în aceste puncte.

Dacă x este minus 2,1, atunci x plus 2 va fi minus 0,1.

Dacă x este minus 2,05, x plus 2 va fi minus 0,05.

Pentru x egal cu minus 1,90, x plus 2 va fi 0,1.

Iar pentru x egal cu minus 1,95, x plus 2 este egal cu 0,05.

Pentru că am obținut atât valori pozitive apropiate de 0 cât și valori negative,

va trebui să calculăm două limite.

Atunci când x se apropie de minus 2 din partea stângă,

adică din valori mai mici decât minus 2, calculăm limita la stânga.

Iar când x se apropie de minus 2, având valori mai mari decât minus 2, calculăm limita la dreapta.

Limita la stânga și limita la dreapta se numesc limite laterale,

iar condiția ca o funcție să aibă limite într-un punct este ca cele două limite să fie egale.

Și acum haideți să calculăm aceste limite.

Limita la stânga este egală cu 1 supra 0 negativ,

pentru că, așa cum am văzut în tabel, când x ea valori la stânga lui minus 2,

numitorul x plus 2 ea valori negative.

Atunci când împărțim 1 la o valoare foarte apropiată de 0, obținem infinit,

iar pentru că avem 0 negativ, rezultatul este minus infinit.

Pentru a înțelege mai bine de ce 1 pe 0 este infinit,

vă invit să vizionați filmul Împărțirea la 0 și Simbolul infinit.

Pentru limita la dreapta, obținem 1 supra 0 pozitiv, iar rezultatul va fi plus infinit.

Observăm că cele două limite sunt diferite.

Având în vedere că f de x nu se apropie de aceeași valoare,

vom spune că nu există limită când x tinde la minus 2 din 1 supra x plus 2.

Pentru a înțelege mai bine aceste aspecte, vom vizualiza și graficul funcției.

Iată, când x se apropie de minus 2 din stânga, y tinde spre minus infinit,

iar când x se apropie din dreapta, y tinde spre plus infinit.

Vă rog să rețineți că pentru existența limitei unei funcții într-un punct,

limitele laterale trebuie să fie egale.

În continuare vor urma o serie de filme cu limite de funcții.

Un prim pas în calculul limitelor este substituția directă.

Dacă aceasta conduce la un caz de nedeterminare,

vom folosi diverse procedee pentru eliminarea nedeterminării.

Cazurile de nedeterminare sunt 0x0, infinitxinfinit, infinit-infinit, 0xinfinit, 0x0, infinitx0 și 1xinfinit.