Legile refracţiei undelor mecanice. Seismologia.

În cea de-a noua lecție despre oscilații și unde mecanice

continuăm discuția despre reflexia și refracția undelor mecanice.

În lecția trecută am prezentat principiul Huygens

care ne furnizează un mecanism de generare a fronturilor de undă

ale undelor mecanice

și de asemeni am folosit acest principiu

pentru a studia reflexia undelor mecanice.

Să trecem acum la folosirea principiului Huygens

pentru studiul fenomenului de refracție a undelor mecanice.

Schema simplificată a unui fenomen de refracție

este următoarea, deci avem o undă incidentă

care este la o distanță foarte mare de sursa ei

și atunci, după cum știm, ea poate fi considerată o undă plană

deci suprafețele de undă și frontul undei sunt întotdeauna suprafețe plane

care se propagă către suprafața de separare

între două medii omogene

care este desenată, această suprafață de separare

prin această linie albă îngroșată

deci avem două medii omogene, mediile 1 și 2

cu vitezele de propagare ale undei egale cu V1 și V2.

La suprafața de separare se observă experimental că

pe lângă unda reflectată care se întoarce în mediul de incidență

la un unghi egal, deci unghiul de reflectie, după cum am văzut, este egal

cu unghiul de incidență, deci în afară de această undă

se generează și o a doua undă, numită unda refractată

care trece în mediul al doilea

și dorim să stabilim relațiile de legătură

între unda incidentă și unda refractată

în primul rând relațiile dintre unghiurile lor de propagare

față de normala la suprafața de separare

deci aceste drepte albe întrerupte

sunt normalele, dreptele perpendiculare pe această suprafață de separare

în varii puncte.

Dorim să stabilim relația dintre aceste unghiuri, dar și relația

dintre celelalte proprietăți ale celor două unde, precum pulsatia

și lungimea de undă.

După cum am discutat în lecția trecută,

modalitatea de a genera noi fronturi de undă

plecând de la un anumit front de undă la un moment dat,

precum acest front de undă AB, este

dată de principiul Huygens, și anume, considerăm toate punctele

de pe acest front de undă

ca surse de unde sferice secundare.

Deci din fiecare punct desenăm

o sferă sau în două dimensiuni, precum este

ecranul calculatorului dumneavoastră, cercuri.

Deci desenăm aceste cercuri și apoi desenăm înfășurătoarea

sau suprafața tangentă la toate aceste

unde secundare, care în cazul acesta

va fi un nou plan sau un nou dreaptă în două dimensiuni.

Această nouă dreaptă este noul front de undă

care se va mișca, bineînțeles, în aceeași direcție.

Aceasta este modalitatea prin care generăm noi fronturi de undă

și deci propagăm geometric unda.

În momentul în care frontul de undă atinge

în punctul A1, în desenul nostru, suprafața

de separare, avem următoarea situație.

La fel, toate punctele generează unde secundare.

În particular, punctul B1

vom considera o undă secundară generată

din acest punct, care se va deplasa în aceeași direcție.

La fel, punctul A1 devine și el o sursă

de aceea am pus un punct roșu aici, deci devine și el o sursă pentru o undă

secundară, dar care se va deplasa

în direcția unde e refractate

pentru că intră în noul mediu.

Viteza de deplasare a undei secundare din B1 va fi

V1 în această direcție, iar viteza

de deplasare a undei secundare din A1 va fi

V2, pentru că ea deja trece în mediul 2.

Haideți să

încercăm să calculăm raportul dintre

cele două unde secundare,

și anume cea din B1 și cea din A1. Bineînțeles că toate punctele

de pe frontul de undă A1-B1

vor devine și ele surse de unde secundare,

și deci ce discutăm despre punctele A1 și B1

este adevărat pentru toate punctele intermediar. Și ele

se vor deplasa, undele ce se propagă din sursele secundare,

din aceste puncte, se vor deplasa cu viteza V1

în sprea, în direcția undei incidente,

înspre suprafața de separare, până în momentul în care vor atinge suprafața

de separare, după aceea se vor deplasa cu V2 în direcția

undei refractate. Deci să notăm

cu T, timpul în care unda

plană incidentă parcurge B1-B1',

sau mai exact, timpul în care această undă

secundară, ce pornește din B1, simultan cu

ceea ce pornește din A1, parcurge B1-B1'.

Atunci, raza undei

secundare emisă de A1, parcursă

în acest timp, este cea descrisă de acest cerc.

Deci, cercul albastru

este raza la care ajunge

unda secundară ce pornește din A1, în timpul în care

unda secundară ce pornește din B1, ajunge în B1'.

De data aceasta, ele nu mai sunt egale

pentru că au viteze de deplasare diferite.

Unda din B1

are viteza V1, unda din A1 are viteza V2

pentru că se propagă în mediul 2. Deci, raza

notată cu R

aceste unde secundare, în timpul în care

unda din B1 ajunge în B1' este V2t.

În concluzie, putem scrie că B1

B1' este V1t, iar A1

A1' este V2t.

Deoarece unghiurile

A1, A1' B1'

și A1, B1

B1' sunt de 90 de grade

putem scrie următoarele ecuații.

Haideți să explicăm de ce.

În primul rând, de ce aceste unghiuri sunt de 90 de grade?

Aceste unghiuri sunt de 90 de grade datorită proprietății

simple și fundamentale a undelor plane

de a avea o viteză

perpendiculară pe suprafața lor. Deci, suprafața

sau frontul de undă plan este perpendicular pe direcția

de propagare a undei. Deci,

frontul A1, B1 va fi perpendicular pe

direcția undei incidente, care este această linie roșie. Deci,

acest unghi este de 90 de grade. Din exact aceleași motive,

acest unghi trebuie să fie și el de 90 de grade. Din nou, pentru că

frontul de undă refractat

este perpendicular pe direcția de propagare

a undei refractate. Deci, linia

albastru deschis este perpendiculară pe săgeata

albastru deschis. Deci, acest unghi este de 90 de grade.

Apoi,

datorită faptului că

A1, B1 este perpendicular pe A1

A1 este perpendicular pe A1, B1 și A1, B1

prim este perpendicular pe normală, prin definiție.

Această dreaptă întreruptă este normală. Deci, acest

unghi este de 90 de grade. Deci, cele două laturi ale unghiului

B1, A1, B1 prim sunt perpendiculare pe laturile

unghiului I. Rezultă că unghiul A1

B1, B1 prim este I. Și în concluzie

putem scrie prima relație. Sinus de I

este egal cu cateta opusă B1, B1 prim, care am

văzut că este V1T, împărțită la ipotenuză, care este

A1, B1 prim. De asemenea, unghiul A1

B1 prim, A1 secund

deci acest unghi, este egal cu

acest unghi. Deci este R2.

Motivele sunt aceleași.

A1, B1 prim este perpendicular pe

normală în punctul B1 prim și

A1 secund, B1 prim este perpendicular pe

dreapta roșie. Deci acest

unghi este egal cu acest unghi. Și în concluzie putem spune că

sinus de R2, unghiul de refracție

este egal cu cateta opusă, care este A1, A1 secund,

care este V2T, împărțită la ipotenuză, care este

A1, B1 prim. Și în sfârșit,

folosind aceste două relații, putem face

raportul dintre ele și obținem că sinus de I,

unghiul de incidență împărțită la sinusul

unghiului de refracție R2 este egal cu raportul vitezelor

de propagare ale undei în cele două medii,

care prin definiție se notează

cu N21 și se numește indiciile de refracție

al mediului 2 relativ la mediul 1. Aceasta este legea

a doua a refracției. Prima lege a refracției spune că

unda incidentă și unda refractată sunt coplanare

cu normala la suprafață, în punctul de incidență.

Alte proprietăți importante se referă la

proprietățile intrinseci

ale celor două unde, pulsații și lungii undeunde.

Refracția nu modifică pulsăția.

Deci pulsăția undei refractate

este egală cu pulsăția undei incidente.

În concluzie și perioada și frecvența vor fi aceleași.

Vă aduc aminte că omega este egal cu 2pi

împărțit la T, pulsăția este egal cu 2pi împărțit la perioadă

și egal cu 2pi îmulțită cu frecvență.

În concluzie, dacă pulsăția este aceeași și perioada și frecvența

celor două unde vor fi aceleași.

Totuși, prin refracție lungimea de undă se modifică.

Unda refractată nu are aceeași lungime de undă

cu unda incidentă și asta pur și simplu

deoarece vitezele sunt diferite.

V1 este diferit de V2.

Deci vitezele de propagare ale celor două unde sunt diferite.

Vă aduc aminte că lungimea de undă

prin definiție este egală cu produsul dintre viteză și perioadă.

Perioadele sunt egale, dar vitezele nu sunt egale.

Și mai exact, λ incident

împărțit la λ refractat este egal cu

V1 împărțit la V2.

O ultimă proprietate importantă a refracției undelor

este așa numita reflexie totală.

Vedem din această relație că putem avea

o situație în care unghiul de refracție să fie

în 90 de grade. Dacă punem această condiție

și anume că sin i, pe care îl notăm în acest caz

cu L, este egal cu V1

împărțit la V2 sinus

de 90 de grade, observăm că

obținem o valoare a unghiului limită egală cu

arc sinus de V1 împărțit la V2

pentru că sinus de 90 de grade este egal cu 1.

Deci putem avea un unghi de incidență

notat cu L și care este

soluția acestei ecuații, sinus de L egal cu V1

împărțit la V2, pentru care

fenomenul de refracție dispare.

Deci, în concluzie, dacă V1

este mai mic de V2 pentru că această ecuație are

o soluție numai în cazul în care

acest raport este mai mic decât 1, sinusul oricărui unghi

este prin definiție mai mic decât 1, deci această ecuație

are o soluție numai dacă V1 este mai mic decât V2.

Deci revenind, dacă V1 este mai mic decât V2,

ceea ce înseamnă că avem o soluție a acestei ecuații și

unghiul de incidență este mai mare decât acest unghi limită, care este

soluția ecuației, atunci fenomenul de refracție

dispare, nu mai avem refracție.

Și în concluzie,

singurul fenomen este de reflexie la suprafața de

separare. De aici numele de reflexie totală.

Seismologia este un domeniu

al fizicii în care studiul proprietăților

undelor mecanice este foarte utilizat

pentru studierea propagării

acestor unde produse prin cutremure în varii medii ale pământului.

Scoarța terestră, oceane, mantaua pământului

și așa mai departe. În particular se observă

că există trei tipuri de unde seismice pe care le veți recunoaște

din discuțiile pe care le-am avut în

lecțiile trecute despre undele mecanice și anume

undele seismice sunt

de tip P și anume longitudinale care sunt

cele mai rapide, au viteze de propagare tipice de

ordinul 7-13 km pe secundă.

Apoi experimental se observă unde seismice

numite de tip S care sunt transversale

care sunt mai încete decât cele longitudinale având viteze

între 4 și 7 km pe secundă și care apar doar

în scoarța terestră, nu în oceane sau în manta. Dacă vă aduceți aminte

când am discutat în lecțiile trecute despre unde longitudinale și unde transversale

am spus că undele transversale apar doar în solide.

De asemeni se observă și

așa numitele unde L sau unde lungi care sunt cele

mai încete având viteze între 3 și 4 km

pe secundă. Ele apar din interferența undelor P și S

vom discuta imediat despre interferența

undelor și apar doar la suprafața

scoarței terestre.

Magnitudinea unui cutremur

măsurată pe scara Richter este definită

prin această ecuație unde A este componenta

orizontală măsurată amplitudii maxime a deplasării solului

și T este perioada acestei componente

a acestei unde mecanice.

A0 și T0 sunt valori etalon de stabilirea scale.

Deci ele sunt constante. Toate aceste unde mecanice

generate de cutremure se pot măsura și se măsoară

experimental cu aparate numite seismografe.

În această imagine vedeți o undă mecanică produsă de un cutremur

măsurată cu un seismograf.