Transcript: Legile refracţiei undelor mecanice. Seismologia.

În cea de-a noua lecție despre oscilații și unde mecanice
continuăm discuția despre reflexia și refracția undelor mecanice.
În lecția trecută am prezentat principiul Huygens
care ne furnizează un mecanism de generare a fronturilor de undă
ale undelor mecanice
și de asemeni am folosit acest principiu
pentru a studia reflexia undelor mecanice.
Să trecem acum la folosirea principiului Huygens
pentru studiul fenomenului de refracție a undelor mecanice.
Schema simplificată a unui fenomen de refracție
este următoarea, deci avem o undă incidentă
care este la o distanță foarte mare de sursa ei
și atunci, după cum știm, ea poate fi considerată o undă plană
deci suprafețele de undă și frontul undei sunt întotdeauna suprafețe plane
care se propagă către suprafața de separare
între două medii omogene
care este desenată, această suprafață de separare
prin această linie albă îngroșată
deci avem două medii omogene, mediile 1 și 2
cu vitezele de propagare ale undei egale cu V1 și V2.
La suprafața de separare se observă experimental că
pe lângă unda reflectată care se întoarce în mediul de incidență
la un unghi egal, deci unghiul de reflectie, după cum am văzut, este egal
cu unghiul de incidență, deci în afară de această undă
se generează și o a doua undă, numită unda refractată
care trece în mediul al doilea
și dorim să stabilim relațiile de legătură
între unda incidentă și unda refractată
în primul rând relațiile dintre unghiurile lor de propagare
față de normala la suprafața de separare
deci aceste drepte albe întrerupte
sunt normalele, dreptele perpendiculare pe această suprafață de separare
în varii puncte.
Dorim să stabilim relația dintre aceste unghiuri, dar și relația
dintre celelalte proprietăți ale celor două unde, precum pulsatia
și lungimea de undă.
După cum am discutat în lecția trecută,
modalitatea de a genera noi fronturi de undă
plecând de la un anumit front de undă la un moment dat,
precum acest front de undă AB, este
dată de principiul Huygens, și anume, considerăm toate punctele
de pe acest front de undă
ca surse de unde sferice secundare.
Deci din fiecare punct desenăm
o sferă sau în două dimensiuni, precum este
ecranul calculatorului dumneavoastră, cercuri.
Deci desenăm aceste cercuri și apoi desenăm înfășurătoarea
sau suprafața tangentă la toate aceste
unde secundare, care în cazul acesta
va fi un nou plan sau un nou dreaptă în două dimensiuni.
Această nouă dreaptă este noul front de undă
care se va mișca, bineînțeles, în aceeași direcție.
Aceasta este modalitatea prin care generăm noi fronturi de undă
și deci propagăm geometric unda.
În momentul în care frontul de undă atinge
în punctul A1, în desenul nostru, suprafața
de separare, avem următoarea situație.
La fel, toate punctele generează unde secundare.
În particular, punctul B1
vom considera o undă secundară generată
din acest punct, care se va deplasa în aceeași direcție.
La fel, punctul A1 devine și el o sursă
de aceea am pus un punct roșu aici, deci devine și el o sursă pentru o undă
secundară, dar care se va deplasa
în direcția unde e refractate
pentru că intră în noul mediu.
Viteza de deplasare a undei secundare din B1 va fi
V1 în această direcție, iar viteza
de deplasare a undei secundare din A1 va fi
V2, pentru că ea deja trece în mediul 2.
Haideți să
încercăm să calculăm raportul dintre
cele două unde secundare,
și anume cea din B1 și cea din A1. Bineînțeles că toate punctele
de pe frontul de undă A1-B1
vor devine și ele surse de unde secundare,
și deci ce discutăm despre punctele A1 și B1
este adevărat pentru toate punctele intermediar. Și ele
se vor deplasa, undele ce se propagă din sursele secundare,
din aceste puncte, se vor deplasa cu viteza V1
în sprea, în direcția undei incidente,
înspre suprafața de separare, până în momentul în care vor atinge suprafața
de separare, după aceea se vor deplasa cu V2 în direcția
undei refractate. Deci să notăm
cu T, timpul în care unda
plană incidentă parcurge B1-B1',
sau mai exact, timpul în care această undă
secundară, ce pornește din B1, simultan cu
ceea ce pornește din A1, parcurge B1-B1'.
Atunci, raza undei
secundare emisă de A1, parcursă
în acest timp, este cea descrisă de acest cerc.
Deci, cercul albastru
este raza la care ajunge
unda secundară ce pornește din A1, în timpul în care
unda secundară ce pornește din B1, ajunge în B1'.
De data aceasta, ele nu mai sunt egale
pentru că au viteze de deplasare diferite.
Unda din B1
are viteza V1, unda din A1 are viteza V2
pentru că se propagă în mediul 2. Deci, raza
notată cu R
aceste unde secundare, în timpul în care
unda din B1 ajunge în B1' este V2t.
În concluzie, putem scrie că B1
B1' este V1t, iar A1
A1' este V2t.
Deoarece unghiurile
A1, A1' B1'
și A1, B1
B1' sunt de 90 de grade
putem scrie următoarele ecuații.
Haideți să explicăm de ce.
În primul rând, de ce aceste unghiuri sunt de 90 de grade?
Aceste unghiuri sunt de 90 de grade datorită proprietății
simple și fundamentale a undelor plane
de a avea o viteză
perpendiculară pe suprafața lor. Deci, suprafața
sau frontul de undă plan este perpendicular pe direcția
de propagare a undei. Deci,
frontul A1, B1 va fi perpendicular pe
direcția undei incidente, care este această linie roșie. Deci,
acest unghi este de 90 de grade. Din exact aceleași motive,
acest unghi trebuie să fie și el de 90 de grade. Din nou, pentru că
frontul de undă refractat
este perpendicular pe direcția de propagare
a undei refractate. Deci, linia
albastru deschis este perpendiculară pe săgeata
albastru deschis. Deci, acest unghi este de 90 de grade.
Apoi,
datorită faptului că
A1, B1 este perpendicular pe A1
A1 este perpendicular pe A1, B1 și A1, B1
prim este perpendicular pe normală, prin definiție.
Această dreaptă întreruptă este normală. Deci, acest
unghi este de 90 de grade. Deci, cele două laturi ale unghiului
B1, A1, B1 prim sunt perpendiculare pe laturile
unghiului I. Rezultă că unghiul A1
B1, B1 prim este I. Și în concluzie
putem scrie prima relație. Sinus de I
este egal cu cateta opusă B1, B1 prim, care am
văzut că este V1T, împărțită la ipotenuză, care este
A1, B1 prim. De asemenea, unghiul A1
B1 prim, A1 secund
deci acest unghi, este egal cu
acest unghi. Deci este R2.
Motivele sunt aceleași.
A1, B1 prim este perpendicular pe
normală în punctul B1 prim și
A1 secund, B1 prim este perpendicular pe
dreapta roșie. Deci acest
unghi este egal cu acest unghi. Și în concluzie putem spune că
sinus de R2, unghiul de refracție
este egal cu cateta opusă, care este A1, A1 secund,
care este V2T, împărțită la ipotenuză, care este
A1, B1 prim. Și în sfârșit,
folosind aceste două relații, putem face
raportul dintre ele și obținem că sinus de I,
unghiul de incidență împărțită la sinusul
unghiului de refracție R2 este egal cu raportul vitezelor
de propagare ale undei în cele două medii,
care prin definiție se notează
cu N21 și se numește indiciile de refracție
al mediului 2 relativ la mediul 1. Aceasta este legea
a doua a refracției. Prima lege a refracției spune că
unda incidentă și unda refractată sunt coplanare
cu normala la suprafață, în punctul de incidență.
Alte proprietăți importante se referă la
proprietățile intrinseci
ale celor două unde, pulsații și lungii undeunde.
Refracția nu modifică pulsăția.
Deci pulsăția undei refractate
este egală cu pulsăția undei incidente.
În concluzie și perioada și frecvența vor fi aceleași.
Vă aduc aminte că omega este egal cu 2pi
împărțit la T, pulsăția este egal cu 2pi împărțit la perioadă
și egal cu 2pi îmulțită cu frecvență.
În concluzie, dacă pulsăția este aceeași și perioada și frecvența
celor două unde vor fi aceleași.
Totuși, prin refracție lungimea de undă se modifică.
Unda refractată nu are aceeași lungime de undă
cu unda incidentă și asta pur și simplu
deoarece vitezele sunt diferite.
V1 este diferit de V2.
Deci vitezele de propagare ale celor două unde sunt diferite.
Vă aduc aminte că lungimea de undă
prin definiție este egală cu produsul dintre viteză și perioadă.
Perioadele sunt egale, dar vitezele nu sunt egale.
Și mai exact, λ incident
împărțit la λ refractat este egal cu
V1 împărțit la V2.
O ultimă proprietate importantă a refracției undelor
este așa numita reflexie totală.
Vedem din această relație că putem avea
o situație în care unghiul de refracție să fie
în 90 de grade. Dacă punem această condiție
și anume că sin i, pe care îl notăm în acest caz
cu L, este egal cu V1
împărțit la V2 sinus
de 90 de grade, observăm că
obținem o valoare a unghiului limită egală cu
arc sinus de V1 împărțit la V2
pentru că sinus de 90 de grade este egal cu 1.
Deci putem avea un unghi de incidență
notat cu L și care este
soluția acestei ecuații, sinus de L egal cu V1
împărțit la V2, pentru care
fenomenul de refracție dispare.
Deci, în concluzie, dacă V1
este mai mic de V2 pentru că această ecuație are
o soluție numai în cazul în care
acest raport este mai mic decât 1, sinusul oricărui unghi
este prin definiție mai mic decât 1, deci această ecuație
are o soluție numai dacă V1 este mai mic decât V2.
Deci revenind, dacă V1 este mai mic decât V2,
ceea ce înseamnă că avem o soluție a acestei ecuații și
unghiul de incidență este mai mare decât acest unghi limită, care este
soluția ecuației, atunci fenomenul de refracție
dispare, nu mai avem refracție.
Și în concluzie,
singurul fenomen este de reflexie la suprafața de
separare. De aici numele de reflexie totală.
Seismologia este un domeniu
al fizicii în care studiul proprietăților
undelor mecanice este foarte utilizat
pentru studierea propagării
acestor unde produse prin cutremure în varii medii ale pământului.
Scoarța terestră, oceane, mantaua pământului
și așa mai departe. În particular se observă
că există trei tipuri de unde seismice pe care le veți recunoaște
din discuțiile pe care le-am avut în
lecțiile trecute despre undele mecanice și anume
undele seismice sunt
de tip P și anume longitudinale care sunt
cele mai rapide, au viteze de propagare tipice de
ordinul 7-13 km pe secundă.
Apoi experimental se observă unde seismice
numite de tip S care sunt transversale
care sunt mai încete decât cele longitudinale având viteze
între 4 și 7 km pe secundă și care apar doar
în scoarța terestră, nu în oceane sau în manta. Dacă vă aduceți aminte
când am discutat în lecțiile trecute despre unde longitudinale și unde transversale
am spus că undele transversale apar doar în solide.
De asemeni se observă și
așa numitele unde L sau unde lungi care sunt cele
mai încete având viteze între 3 și 4 km
pe secundă. Ele apar din interferența undelor P și S
vom discuta imediat despre interferența
undelor și apar doar la suprafața
scoarței terestre.
Magnitudinea unui cutremur
măsurată pe scara Richter este definită
prin această ecuație unde A este componenta
orizontală măsurată amplitudii maxime a deplasării solului
și T este perioada acestei componente
a acestei unde mecanice.
A0 și T0 sunt valori etalon de stabilirea scale.
Deci ele sunt constante. Toate aceste unde mecanice
generate de cutremure se pot măsura și se măsoară
experimental cu aparate numite seismografe.
În această imagine vedeți o undă mecanică produsă de un cutremur
măsurată cu un seismograf.