Introducere în geometria în spațiu

În continuare începem un capitol nou și anume geometria în spațiu.

Pe scurt, putem spune că geometria în spațiu este o ramură a matematicii care studiază figurile geometrice în spațiu

și noi chiar vom lucra cu câteva din aceste figuri, însă mai înainte să vedem care sunt noțiunile de bază ale geometriei în spațiu.

Și avem patru noțiuni. Prima noțiune este punctul pe care îl putem reprezenta prin acest semn și îl denumim folosind litere mari de tipari, de exemplu punctul A.

A doua noțiune de bază este evident dreapta și haide să reprezentăm, să trasăm o dreaptă, o putem nota cu litere mici, de exemplu dreapta de mic

sau o putem nota folosind două puncte. Avem aici punctul A mare și punctul B mare, deci avem aici dreapta AB.

Următoarea noțiune este planul. Acum reprezentarea unui plan se face printr-un paralelogram și îl notăm folosind litere grecești, de exemplu acesta este planul alfa.

Haideți să notăm aici alfa, deci putem să notăm folosind litera alfa sau beta sau gama, teta și așa mai departe ce literă grecească dorim.

Ce înțelegem acum prin plan? Planul este o suprafață plată, perfect întinsă, deci nu avem vreo cută, fără grosime și fără margini.

Deci planul nu are nicio margine, în toate aceste zone el se întinde la nesfârșit, deci nu avem, chiar dacă aici am trasat această latură, să știți că în această zonă planul se întinde la nesfârșit,

la fel și aici și aici și aici. Și ultima noțiune de bază în geometria în spațiu este evident spațiul pe care îl putem reprezenta folosind cele trei axe.

După cum bine știm că orice corp are atât lungime, o putem reprezenta prin axa OX, are lățime, o reprezentăm prin axa OY și are înălțime, o reprezentăm prin axa OZ.

Ne putem imagina, de exemplu, un dulap. Un dulap are lungime, lățime și înălțime. Nu vom lucra cu aceste axe în clasa 8, însă spațiul este o noțiune de bază în această geometrie.

Să vedem acum ce relații avem între aceste patru elemente. Și avem două tipuri de relații, relația de apartenență și relația de incluziune.

Relația de apartenență știm deja cu ce semn se notează, avem semnul de aparține și să vedem între ce noțiuni se stabilește acest semn.

Și avem așa, între punct și dreaptă. Deci spunem că punctul A, să notăm, aparține dreptei de mic. Sau, între punct și plan. Iată, punctul B aparține planului alfa.

Deci nu spunem că B este inclus în planul alfa, ci că punctul B aparține planului alfa. Și mai avem între punct și spațiu. Punctul P, iată aici, aparține spațiului și spațiul se notează cu S mare.

Deci punctul P aparține spațiului S. E foarte important să reținem că întotdeauna între punct și dreaptă sau între punct și plan sau între punct și spațiu se stabilește doar relația de apartenență și nu de incluziune.

A doua relație este relația de incluziune și știm deja ce semn vom folosi. Ea se stabilește între dreaptă și plan. Deci dreapta D este inclusă în planul alfa. Notăm dreapta D inclusă în planul alfa.

Deci nu spunem că dreapta D aparține planului alfa, ci că ea este inclusă în acest plan, pentru că atenție și dreapta și planul sunt mulțimi de puncte și noi știm că între două mulțimi se stabilește relația de incluziune, nu de apartenență.

Avem apoi relația de incluziune între dreaptă și spațiu. De exemplu, dreapta D este inclusă în spațiu. Notăm cu S spațiul și în final între plan și spațiu. Planul beta, să spunem, este inclus în spațiul S.

Și acum haideți să facem o aplicație în care să exersăm aceste relații de incluziune sau de apartenență.

Avem aici planul alfa și observăm că în planul alfa avem dreapta B mic, iată această dreaptă, și mai avem punctul A mare și punctul P mare și avem și această dreaptă, dreapta AP.

Observăm că punctul P se află la intersecția celor două drepte. Și acum să răspundem cu adevărat sau fals la câteva propoziții.

Și avem punctul A mare aparține dreptei B mic. Ia să vedem, punctul A mare nu se află pe dreapta B, deci aceasta este o propoziție falsă. Notăm aici F de la fals.

Punctul P aparține dreptei B. Păi punctul P se află la intersecția celor două drepte. E clar că acest punct se află și pe dreapta B mic, deci el aparține acestei drepte. Avem o relație adevărată.

Dreapta AP este egală cu dreapta B. Cu alte cuvinte, cele două drepte AP și B sunt drepte suprapuse. Păi AP este aceasta iar dreapta B este aceasta.

Vorbim de drepte secante, nu de drepte suprapuse, deci relația este falsă.

Dreapta B aparține planului alfa. Păi observăm că dreapta B se află într-adevăr în acest plan alfa. Însă ce este o dreaptă?

O dreaptă este o mulțime de puncte. Aici avem o mulțime de puncte, la fel și aici. Putem să spunem că între două mulțimi se stabilește relația de apartenență?

Nu. Putem să trecem fie relația de egalitate sau de incluziune. Deci nu putem spune că dreapta B aparține planului alfa. Este o propoziție falsă.

Însă, corect ar fi fost că dreapta B este inclusă în planul alfa. Și în final, A, să vedem dacă aparține planului alfa.

Punctul A este în acest plan. Avem aici un punct. Aici este o mulțime. Între un punct și o mulțime se poate stabili relația de apartenență.

Deci avem o propoziție adevărată.