Interferenţa undelor mecanice. Ventre si noduri.

În cea de-a 10-a lecție de oscilații și unde mecanice,

vom discuta despre interferența undelor mecanice

și despre generarea ventelor și nodurilor în toată astfel de undă.

Interferența, în sensul cel mai general al cuvântului,

este pur și simplu suprapunerea a două sau mai multe unde

într-o regiune din spațiu, numită câmp de interferență.

Două surse se numesc coerente dacă diferența de fază

dintre ele este constantă în timp.

Deci, matematic exprimat,

Fi1 minus Fi2 nu este o funcție de timp.

Poate depinde de alți parametri precum poziția,

dar nu de timp.

Deci acesta este definiția unor surse coerente.

Bineînțeles, obținem interferență și în cazul undelor

generate de surse necoerente,

totuși, în cazul surselor coerente,

obținem un tip particular de interferență,

despre care vom discuta acum, care este foarte important.

Deci, interferența cu surse coerente este o interferență staționară,

adică amplitudinea undei rezultante rămâne constantă în timp.

Ca să arătăm, printr-un desen foarte simplu,

ideea de bază, deci avem o sursă S1

care emite o undă

și avem, de asemenea, o altă sursă

pe care o notăm cu S2,

care emite o altă undă.

Dacă ele se intersectează,

se suprapun într-o anumită regiune din spațiu,

care se numește câmp de interferență,

ele vor genera o undă de interferență,

prin suprapunerea lor,

și dacă cele două surse sunt coerente,

atunci această undă de interferență,

obținută prin suprapunerea celor două unde,

va fi staționară,

adică amplitudinea oscilațiilor

undei de interferență,

va fi constantă în timp.

Un mod practic prin care se pot observa experimental

undele de interferență,

este prin folosirea unei coarde elastice,

folosim o coardă elastică,

care are un capăt liber,

în care primim o oscilație,

adică o perturbație,

și un capăt fix.

Și atunci, bineînțeles că

creăm o undă care se va propaga

prin coarda elastică,

până va ajunge la capătul fix,

să zicem fixat de un perete,

și în care punct se va genera

o undă de reflexie.

Am discutat despre aceste lucruri

în lecțiile trecute.

Deci, obținem două unde,

o undă incidentă,

și o undă reflectată.

Ele sunt coerente prin definiție,

deoarece, sau prin construcție,

deoarece o undă incidentă

și o undă reflectată au aceeași pulsație,

deci Ωi este egal cu Ωr,

și deci avem două surse coerente,

două unde coerente

cu aceeași pulsație,

deci aceeași diferență de fază

sau diferență de fază

independentă de timp.

Și în concluzie, în regiunea în care

cele două unde se intersectează,

obținem o nouă undă

care se numește

undă de interferență și care va fi staționară.

Această undă staționară va avea

așa numite ventre și noduri,

pe care le vom defini imediat,

care nu se deplasează în timp

și o undă obținută

dintr-o interferență staționară

se numește undă staționară.

Ce sunt ventrele și nodurile?

Foarte simplu, ventrele sunt punctele

cu amplitudine de oscilație maximă,

deci punctele din zona de interferență,

în câmpul de interferență,

care au amplitudine maximă,

se numesc ventre.

Nodul sau nodurile, bineînțeles fiind opus,

punctele de amplitudine de oscilație minimă

în câmpul de interferență sau

în unda de interferență.

Haideți să vedem în ce condiții se obține

într-o undă staționară

ventrele și nodurile și mai exact unde se află el.

Considerăm interferența

a două unde plane

cu aceeași pulsație pentru a fi coerentă.

Avem aceste două unde plane

în care am folosit

aceeași pulsație.

Dacă lungimile de undă

sau lungimile de undă a două unde cu aceeași pulsație

deci dacă omega1 este egal cu omega2

cum este cazul undelor noastre, atunci t1

va fi egal cu t2. Reamintesc

prin definiție, omega

este egal cu 2πt.

Deci dacă avem aceeași pulsație, vom avea

și aceeași perioadă.

Dacă în același timp ele se propagă

în același mediu, atunci ele vor avea

aceleași viteze de propagare.

V1 va fi egal cu V2.

Dacă V1 este egal cu V2 și t1 este egal cu t2

atunci lungimile de undă

sunt egale. Reamintesc

prin definiție

lambda

este Vt.

Deci dacă perioada este aceeași

și viteza de propagare a unde este aceeași, atunci vom avea

aceeași lungime de undă. În concluzie

în cazul nostru, cele două unde vor avea

aceleași valori ale numărului de undă

care este 2πlambda.

De aceea, în cazul acesta

am folosit aceeași mărime

pentru numărul de undă. După cum am văzut

în lecțiile în care am

studiat compunerea oscilațiilor

dacă compunem aceste două oscilații

obținem următoarea

expresie pentru amplitudinea rezultantă.

Deci amplitudinea rezultantă care va fi

amplitudinea undei de interferență

este radical din suma pătratelor

amplitudinilor undelor

individuale plus de două ori

produsul lor mulțit cu cosinus de Δφ

unde Δφ este diferența de fază

dintre cele două unde și în cazul acesta

este egală cu 2π

mulțit cu Δr, diferența de drum

dintre cele două unde și punctul

considerat împărțit la λ.

În general, după cum am discutat în lecții trecute

există și un termen dependent de timp

dar pentru surse coerente acesta dispare

deci pentru surse coerente obținem

o diferență de fază care nu depinde

de timp.

Acum suntem gata să vedem

concret unde sunt plasate

și care sunt proprietățile ventrilor și nodurilor.

Deci, după cum am spus, nodurile

prin definiție sunt punctele de amplitudine minimă

ceea ce înseamnă

că ele sunt punctele în care

diferența de drum Δr

a punctului considerat față de cele două surse

este o multiplu împar de semiuni.

Haideți să demonstrăm acest lucru plecând de la definiția

nodurilor și anume puncte de amplitudine minimă.

Din această ecuație observăm că amplitudinea

totală de interferență este minimă când cosinus

de Δf este minus 1. Valoarea minimă

al unui cosinus de un înghi oarecare

este minusul. Deci punem condiția ca

cosinus de Δf să fie minus 1.

Asta înseamnă că faza relativă

este o multiplu împar de π.

Înlocuind această ecuație

în ecuația fazei relative

a celor două unde, obținem că Δr

este o multiplu împar

de semiuni. Deci acesta este

poziția relativă

a punctelor în care

se formează nodurile undei staționare

de interferență. Similar,

ventrele sunt definite ca punctele de amplitudine

maximă și vom demonstra imediat

că acestea sunt punctele în care diferența de drum Δr

față de cele două surse este o multiplu

împar de semiundă.

La fel, observăm că amplitudinea

de undei

de interferență

are un maxim când cosinus de Δf

are un maxim și, după cum știm,

cosinusul oricălui unghi este

definit între valorile minus 1

și plus 1. Deci cosinus de Δf este maxim

când are valoarea plus 1. Punem această condiție

pentru a obține o amplitudine maximă

și atunci Δf

trebuie să aibă următoarele valori

și anume un multiplu împar de π.

Înlocuind în această ecuație obținem că

diferența de drum este într-adevăr un multiplu împar

de semiundă.

Modurile se formează

prin interferență destructivă.

Aceasta, deoarece când punem

cosinus de Δf egal cu minus 1

obținem că amplitudinea rezultantă

este egală

cu diferența dintre

amplitudine undelor individuale

luată ca modul pentru că amplitudinea este

pozitiv definită. Pe de altă parte

ventrele sunt punctele în care

interferența este constructivă, pentru că

cosinus de Δf egal cu plus 1

înseamnă că a este egal cu a1 plus a2.

Deci, în ventre obținem

amplitudinea maximă, pe când în noduri

obținem amplitudinea minimă

ceea ce este ce ne așteptam

prin definiția nodurilor și ventelor.

Câteva comentarii.

În primul rând, observați că

aceste valori ale diferenței de drum

Δr, atât pentru noduri cât și pentru

ventre, nu depind de timp.

Adică sunt staționare.

Deci, Δr nu depinde

de timp în niciunul din cazuri.

Aceasta înseamnă o undă staționară,

care are atât maximile cât și minimile

în poziții ce nu depind de timp.

În general, întreaga undă

obținută prin interferență

este staționară și asta

deoarece am folosit două unde coerente.

Deci, recapitulând, două unde coerente

înseamnă fază relativă

independentă de timp, ceea ce implică

că atât nodurile cât și ventrele

vor avea poziții independente

de timp.

Ca să refacem desenul din

minutele trecute

și să arătăm

vizual ce se întâmplă, avem două surse

din nou, S1 și S2

care generează

două unde. Ele se propagă

și într-o anumită zonă din spațiu

se vor suprapune.

În această zonă avem

un fenomen de interferență,

o undă de interferență. Dacă cele două

unde sunt coerente, atunci obținem

o undă staționară

care va avea maxime și minime

legate între ele prin

aceste două relații, ΔR

date de cele două ecuații, unde

ΔR este, prin definiție

R1 minus R2

deci R1 și R2 sunt pozițiile

unui punct P din câmpul

de interferență. Deci, dacă dorim

să vedem dacă P

este o ventră sau

un nod, calculăm ΔR

împărțim la semiundă și dacă obținem

un multiplu par, un număr par

atunci P se află într-o ventră

dacă obținem

un număr impar, atunci P

se află într-un nod.