Transcript: Interferenţa undelor mecanice. Ventre si noduri.

În cea de-a 10-a lecție de oscilații și unde mecanice,
vom discuta despre interferența undelor mecanice
și despre generarea ventelor și nodurilor în toată astfel de undă.
Interferența, în sensul cel mai general al cuvântului,
este pur și simplu suprapunerea a două sau mai multe unde
într-o regiune din spațiu, numită câmp de interferență.
Două surse se numesc coerente dacă diferența de fază
dintre ele este constantă în timp.
Deci, matematic exprimat,
Fi1 minus Fi2 nu este o funcție de timp.
Poate depinde de alți parametri precum poziția,
dar nu de timp.
Deci acesta este definiția unor surse coerente.
Bineînțeles, obținem interferență și în cazul undelor
generate de surse necoerente,
totuși, în cazul surselor coerente,
obținem un tip particular de interferență,
despre care vom discuta acum, care este foarte important.
Deci, interferența cu surse coerente este o interferență staționară,
adică amplitudinea undei rezultante rămâne constantă în timp.
Ca să arătăm, printr-un desen foarte simplu,
ideea de bază, deci avem o sursă S1
care emite o undă
și avem, de asemenea, o altă sursă
pe care o notăm cu S2,
care emite o altă undă.
Dacă ele se intersectează,
se suprapun într-o anumită regiune din spațiu,
care se numește câmp de interferență,
ele vor genera o undă de interferență,
prin suprapunerea lor,
și dacă cele două surse sunt coerente,
atunci această undă de interferență,
obținută prin suprapunerea celor două unde,
va fi staționară,
adică amplitudinea oscilațiilor
undei de interferență,
va fi constantă în timp.
Un mod practic prin care se pot observa experimental
undele de interferență,
este prin folosirea unei coarde elastice,
folosim o coardă elastică,
care are un capăt liber,
în care primim o oscilație,
adică o perturbație,
și un capăt fix.
Și atunci, bineînțeles că
creăm o undă care se va propaga
prin coarda elastică,
până va ajunge la capătul fix,
să zicem fixat de un perete,
și în care punct se va genera
o undă de reflexie.
Am discutat despre aceste lucruri
în lecțiile trecute.
Deci, obținem două unde,
o undă incidentă,
și o undă reflectată.
Ele sunt coerente prin definiție,
deoarece, sau prin construcție,
deoarece o undă incidentă
și o undă reflectată au aceeași pulsație,
deci Ωi este egal cu Ωr,
și deci avem două surse coerente,
două unde coerente
cu aceeași pulsație,
deci aceeași diferență de fază
sau diferență de fază
independentă de timp.
Și în concluzie, în regiunea în care
cele două unde se intersectează,
obținem o nouă undă
care se numește
undă de interferență și care va fi staționară.
Această undă staționară va avea
așa numite ventre și noduri,
pe care le vom defini imediat,
care nu se deplasează în timp
și o undă obținută
dintr-o interferență staționară
se numește undă staționară.
Ce sunt ventrele și nodurile?
Foarte simplu, ventrele sunt punctele
cu amplitudine de oscilație maximă,
deci punctele din zona de interferență,
în câmpul de interferență,
care au amplitudine maximă,
se numesc ventre.
Nodul sau nodurile, bineînțeles fiind opus,
punctele de amplitudine de oscilație minimă
în câmpul de interferență sau
în unda de interferență.
Haideți să vedem în ce condiții se obține
într-o undă staționară
ventrele și nodurile și mai exact unde se află el.
Considerăm interferența
a două unde plane
cu aceeași pulsație pentru a fi coerentă.
Avem aceste două unde plane
în care am folosit
aceeași pulsație.
Dacă lungimile de undă
sau lungimile de undă a două unde cu aceeași pulsație
deci dacă omega1 este egal cu omega2
cum este cazul undelor noastre, atunci t1
va fi egal cu t2. Reamintesc
prin definiție, omega
este egal cu 2πt.
Deci dacă avem aceeași pulsație, vom avea
și aceeași perioadă.
Dacă în același timp ele se propagă
în același mediu, atunci ele vor avea
aceleași viteze de propagare.
V1 va fi egal cu V2.
Dacă V1 este egal cu V2 și t1 este egal cu t2
atunci lungimile de undă
sunt egale. Reamintesc
prin definiție
lambda
este Vt.
Deci dacă perioada este aceeași
și viteza de propagare a unde este aceeași, atunci vom avea
aceeași lungime de undă. În concluzie
în cazul nostru, cele două unde vor avea
aceleași valori ale numărului de undă
care este 2πlambda.
De aceea, în cazul acesta
am folosit aceeași mărime
pentru numărul de undă. După cum am văzut
în lecțiile în care am
studiat compunerea oscilațiilor
dacă compunem aceste două oscilații
obținem următoarea
expresie pentru amplitudinea rezultantă.
Deci amplitudinea rezultantă care va fi
amplitudinea undei de interferență
este radical din suma pătratelor
amplitudinilor undelor
individuale plus de două ori
produsul lor mulțit cu cosinus de Δφ
unde Δφ este diferența de fază
dintre cele două unde și în cazul acesta
este egală cu 2π
mulțit cu Δr, diferența de drum
dintre cele două unde și punctul
considerat împărțit la λ.
În general, după cum am discutat în lecții trecute
există și un termen dependent de timp
dar pentru surse coerente acesta dispare
deci pentru surse coerente obținem
o diferență de fază care nu depinde
de timp.
Acum suntem gata să vedem
concret unde sunt plasate
și care sunt proprietățile ventrilor și nodurilor.
Deci, după cum am spus, nodurile
prin definiție sunt punctele de amplitudine minimă
ceea ce înseamnă
că ele sunt punctele în care
diferența de drum Δr
a punctului considerat față de cele două surse
este o multiplu împar de semiuni.
Haideți să demonstrăm acest lucru plecând de la definiția
nodurilor și anume puncte de amplitudine minimă.
Din această ecuație observăm că amplitudinea
totală de interferență este minimă când cosinus
de Δf este minus 1. Valoarea minimă
al unui cosinus de un înghi oarecare
este minusul. Deci punem condiția ca
cosinus de Δf să fie minus 1.
Asta înseamnă că faza relativă
este o multiplu împar de π.
Înlocuind această ecuație
în ecuația fazei relative
a celor două unde, obținem că Δr
este o multiplu împar
de semiuni. Deci acesta este
poziția relativă
a punctelor în care
se formează nodurile undei staționare
de interferență. Similar,
ventrele sunt definite ca punctele de amplitudine
maximă și vom demonstra imediat
că acestea sunt punctele în care diferența de drum Δr
față de cele două surse este o multiplu
împar de semiundă.
La fel, observăm că amplitudinea
de undei
de interferență
are un maxim când cosinus de Δf
are un maxim și, după cum știm,
cosinusul oricălui unghi este
definit între valorile minus 1
și plus 1. Deci cosinus de Δf este maxim
când are valoarea plus 1. Punem această condiție
pentru a obține o amplitudine maximă
și atunci Δf
trebuie să aibă următoarele valori
și anume un multiplu împar de π.
Înlocuind în această ecuație obținem că
diferența de drum este într-adevăr un multiplu împar
de semiundă.
Modurile se formează
prin interferență destructivă.
Aceasta, deoarece când punem
cosinus de Δf egal cu minus 1
obținem că amplitudinea rezultantă
este egală
cu diferența dintre
amplitudine undelor individuale
luată ca modul pentru că amplitudinea este
pozitiv definită. Pe de altă parte
ventrele sunt punctele în care
interferența este constructivă, pentru că
cosinus de Δf egal cu plus 1
înseamnă că a este egal cu a1 plus a2.
Deci, în ventre obținem
amplitudinea maximă, pe când în noduri
obținem amplitudinea minimă
ceea ce este ce ne așteptam
prin definiția nodurilor și ventelor.
Câteva comentarii.
În primul rând, observați că
aceste valori ale diferenței de drum
Δr, atât pentru noduri cât și pentru
ventre, nu depind de timp.
Adică sunt staționare.
Deci, Δr nu depinde
de timp în niciunul din cazuri.
Aceasta înseamnă o undă staționară,
care are atât maximile cât și minimile
în poziții ce nu depind de timp.
În general, întreaga undă
obținută prin interferență
este staționară și asta
deoarece am folosit două unde coerente.
Deci, recapitulând, două unde coerente
înseamnă fază relativă
independentă de timp, ceea ce implică
că atât nodurile cât și ventrele
vor avea poziții independente
de timp.
Ca să refacem desenul din
minutele trecute
și să arătăm
vizual ce se întâmplă, avem două surse
din nou, S1 și S2
care generează
două unde. Ele se propagă
și într-o anumită zonă din spațiu
se vor suprapune.
În această zonă avem
un fenomen de interferență,
o undă de interferență. Dacă cele două
unde sunt coerente, atunci obținem
o undă staționară
care va avea maxime și minime
legate între ele prin
aceste două relații, ΔR
date de cele două ecuații, unde
ΔR este, prin definiție
R1 minus R2
deci R1 și R2 sunt pozițiile
unui punct P din câmpul
de interferență. Deci, dacă dorim
să vedem dacă P
este o ventră sau
un nod, calculăm ΔR
împărțim la semiundă și dacă obținem
un multiplu par, un număr par
atunci P se află într-o ventră
dacă obținem
un număr impar, atunci P
se află într-un nod.