Interferenţa prin reflexie. Unde mecanice staţionare.

În cea de-a 11-a lecție despre oscilații și unde mecanice,

vom discuta despre interferența prin reflexie și despre undele staționar.

Interferența prin reflexie e cel mai natural mod și cel mai simplu mod, totodată,

de a obține două unde coerente.

Spre exemplu, undele dintr-o coardă elastică întinsă, despre care vom discuta imediat.

Spun cel mai natural și simplu mod, pentru că, în acest caz,

folosim o singură sursă de unde și, datorită faptului că interferența are loc între

o undă incidentă și unda ei reflectată, obținem, în mod imediat,

o interferență a două unde coerente,

deoarece pulsatia unde-i incidentă este egală cu pulsatia unde-i reflectată.

Deci, datorită acestui fapt, interferența va fi automat staționară

și undele produse vor fi staționare.

Uzual, capătul corzii este fix a unui corzi elastică întinsă,

deci avem o reflexie cu pierdere de semiundă.

Voi discuta pe scurt și ce se întâmplă dacă capătul nu este fix,

dar, de obicei, în aplicațiile practice, el este.

Deci, situația în care ne găsim este următoarea.

Avem o coardă cu un capăt în care producem perturbația inițială.

Deci, sursa inițială se află în acest capăt al corzii,

unde se produce perturbația,

care se propagă sub forma unei unde prin coardă.

Aceasta până când întâlnim capătul fix,

care nu se poate mișca, al corzii,

unde avem o reflexie cu pierdere de semiundă,

după cum am discutat în lecțiile trecute.

Deci, avem o undă incidentă,

iar la întâlnirea capătului fix, a legăturii,

obținem o undă reflectată,

care este defazată cu 180 de grade,

de aceea este desenată așa,

avem un defazaj de 180 de grade,

sau o pierdere de semiundă.

Cele două unde se propagă în sens contrar,

deci se vor întâlni,

fiind de aceeași pulsație, sunt coerente

și vor genera o undă staționară de interferență în coardă.

Să considerăm un punct P

aflat la o poziție oarecare pe coardă

și la distanța X

de capătul corzii.

De asemenea, notăm cu L lungimea corzii.

Atunci putem scrie următoarele ecuații.

X1, care este distanța parcursă

de unda incidentă până în punctul P,

va fi egal cu lungimea corzii

minus poziția X a punctului P.

X2, care este distanța parcursă

de unda reflectată,

deci X1 este parcursă

de unda incidentă,

iar X2 este parcursă de unda reflectată.

Deci X2 este egal cu L plus X,

care este distanța totală

parcursă de unda reflectată.

Dar, după cum am spus de oarece capătul corzii este fix,

avem o pierdere de semiundă,

deci trebuie să ținem cont de acest fapt

scăzând din X2 un minus lambda P2.

Să calculăm diferența de drum

dintre cele două unde, incidentă și reflectată,

până în punctul P, unde se întâlnesc.

Deci delta X, care este X2 minus X1

prin definiție, va fi

egal cu 2X minus lambda P2.

Efectuăm scăderea.

După cum am văzut în lecția trecută,

cunoaștem deja condițiile pe care

un punct P trebuie să le îndeplinească

din punct de vedere al poziției sale

pentru a se afla pe o ventră

sau pe un not al unde e staționat.

Pentru ventre avem condiția ca diferența de drum

față de cele două surse, în cazul nostru

față de undele incidentă și reflectată,

să fie o multiplu par de semiundă.

Înlocuind valoarea

diferenței de drum, delta X,

în această ecuație, obținem că X,

adică poziția ventrelor

de-a lungul corzii,

este dată de următoarea ecuație,

un multiplu impar de sferturi de undă.

Asta înseamnă că

ventrele vor fi localizate în pozițiile următoare.

Xn este egal pentru n, un număr natural,

bineînțeles. Deci pentru n egal cu 0

obținem λp4, pentru n egal cu 1

obținem 3λp4,

următorul fiind 5λp4 și așa mai departe.

De asemenea, tot în lecția trecută

am dedus ecuația pentru poziția nodurilor.

Și anume, nodurile

se află în poziția

în care diferența de drum este un multiplu

impar de semiunde. Înlocuind iarăși

ecuația pentru diferența de drum

din cazul nostru, obținem

valoarele pentru X, deci

Xn, care sunt pozițiile

nodurilor din

unda staționară de-a lungul corzii

sunt multiple pare

de sferturi de 1. Deci nodurile se vor

afla în pozițiile Xn

0 pentru n egal cu 0

λp2

pentru n egal cu 1

și λ pentru n

egal cu 2 și așa mai departe.

Pentru n egal cu 3

3λp2 și așa mai departe.

Ca și comentariu,

în cazul reflexiei fără pierdere de semiundă,

adică în cazul particular în care acest

capăt nu este fixat

ci este lăsat liber să oscileze,

atunci, după cum spuneam, nu mai avem

o pierdere de semiundă, deci nu mai trebuie

să scădem acest minus λp2

X2 va fi egal cu L plus X

și refăcând calculul

observăm că, în acest caz

ecuația pentru ventre

devine cea pentru noduri, adică

ventrele vor fi localizate la multiple

pare de sferturi de undă și

nodurile vor înlocui ventrele, deci

pur și simplu

în ecuațiile deduse vom avea

noduri în loc de ventre

și ventre

în loc de noduri, în acest caz.

Deci dacă o coardă

este supusă unei

astfel de perturbații, o coardă

elastică cu un capăt fix

deci cu capăt fix aici

obținem următoarele unde

următorul tip de undă

în care, bineînțeles, acești doi

λp sunt egali, deci obținem noduri

în pozițiile 0

λp2

și λ, și așa mai departe

și ventre, adică maxime

în pozițiile

λp4 și

3λp4

acestea sunt pozițiile punctelor

de maxime și minime de-a lungul

axei OX

aleasă de-a lungul corzii, bineînțeles.

Unde staționare?

Haideți să discutăm proprietățile

în general ale undelor staționare.

Într-o undă staționare, toate

oșilatoarele au amplitudini constante

în timp, după cum am discutat atât

în lecția trecută cât și în lecția aceasta.

Amplitudinea

undelor staționare depinde

doar de poziția lor în undă.

Asta nu înseamnă, bineînțeles, că punctele

oșilatoarele sunt fixe. Avem oșilația corzii

doar amplitudinea, valoarea maximă a elongației

este constantă în timp, ceea ce face ca

unda, anvelopa ei sau înfășuratoarea ei

să rămână constantă în timp.

Aplicațiile undelor staționare sunt multiple.

Instrumentele muzicale care sunt de vari tipuri

instrumente cu corzi, instrumente cu tuburi

sau membrane

cu corzi, vioara, chitară

și așa mai departe, cu tuburi, toate

instrumentele de suflat cu membrane, tobele

și altele. De asemenea, acustica

încăperilor și a incintelor

în general. De asemenea, după cum am discutat

acum 3 lecții

undele seismice de tip L

undele seismice lungi, care sunt formate

din interferența

undelor transversale și undelor

longitudinale seismice, sunt

de asemenea scrise prin

aceste unde staționare de interferență.

Pentru formarea undelor staționare

lungimea mediului

care este coardă, tub sau

ce tip de mediu avem

trebuie să fie o multiplu

al distanței NOT VENTRU

care este un sfert de undă.

Aceasta am discutat în minutele precedente

mai exact dorim ca

într-un astfel de mediu, coardă, tub

sau așa mai departe, să începem cu

un nod și să terminăm cu un nod

sau o ventră sau invers

să începem cu o ventră și să terminăm cu un nod sau o ventră.

Deci vrem ca la capetele mediului, la capetele corzii

sau tubului să avem ori

noduri, ori ventre.

Să vedem ce înseamnă această

condiție și anume ca lungimea mediului

să fie multiplu de distanța

NOT VENTRU, adică lambda pe 4.

În cazul în care

avem un capăt liber și celălalt fix

vorbim despre o coardă

dacă vorbim despre un tub, bineînțeles

asta înseamnă că un capăt al tubului este deschis

și celălalt închis.

Obținem următoarele ecuații.

Înainte de a descrie ecuațiile

să notăm că această situație

se întâmplă, spre exemplu, în instrumentul

numit NAI. Într-un NAI

capetele în care se suflă sunt deschise

iar capetele opuse sunt închise.

Atunci această condiție ca lungimea mediului

să fie o multiplu de distanță NOT VENTRU

înseamnă că lungimea tubului, sau acorzii

dacă vorbim despre o coardă

este o multiplu impar de sfert de undă.

Folosind relația

de definiție a lungimii de undă

și anume lungimea de undă este definită ca viteza de propagare

a undei în mediul respectiv omulțită

cu perioada undei, putem scrie că

λ este egal cu V împărțit la ν

viteza de propagare împărțită la frecvență

înlocuind λ cu această

ecuație, V împărțit la ν, obținem

frecvențele de oscilație

ale undei într-un astfel de mediu

cu capăt liber și cel al fix

lungimea multiplu de distanța

NOT VENTRU și obținem aceste frecvențe

adică un multiplu impar de o frecvență

fundamentală în I1 care este

definită ca raportul dintre

viteza de propagare prin mediul V și de patru ori

lungimea. Aceasta se numește frecvența

fundamentală.

Observăm că lungimea tuburilor

dintr-un nai crește într-o anumită

progresie. Ea este aleasă

lungimea acestor tuburi este

aleasă încât fiecare din tuburile

naiului să corespundă unei

anumite frecvențe. Deci suflând

printr-un tub anume, obținem

anumite frecvențe de

oscilație ale undei produse

în tub. După cum știți

lungimi mai mari

ale tubului sau corzi mai lungi dacă vorbim

despre un instrument cu coarde înseamnă

frecvențe

lungimi mai mari înseamnă

frecvențe mai mici și lungimi

mai mici, tuburi mai scurte sau coarde

mai scurte înseamnă frecvențe mai

înalte.

Ceea ce se poate observa și experimental.

Cealaltă situație este în care ambele

capete sunt libere dacă ne referim la corzi

sau deschise dacă ne referim la tuburi

sau ambele capete sunt fixe

dacă ne referim la corzi sau închise dacă ne referim la tuburi.

O astfel de situație întâlnim

într-un instrument numit țambal

în care avem corzi fixate la ambele

capete, în particular fixate

în cazul acesta și la mișloc

dar corzile sunt fixate la ambele capete.

și atunci

obținem următoarele ecuații

lungimea este un multiplu par în cazul acesta

de sferturi de undă

și la fel înlocuind lambda

lungimea de undă cu viteza

de propagare împărțită la nu obținem și ecuația

pentru frecvențele nu produce

care sunt egale cu un multiplu par

de frecvența fondamentală nu 1

la fel dacă

țambalul are corzi de lungime diferite

după cum are și în acest caz

țambalul are o formă de evantai

deci lungimea corzilor crește

atunci fiecare

coardă va vibra

la o frecvență

ce depinde de lungimea ei