Transcript: Interferenţa prin reflexie. Unde mecanice staţionare.

În cea de-a 11-a lecție despre oscilații și unde mecanice,
vom discuta despre interferența prin reflexie și despre undele staționar.
Interferența prin reflexie e cel mai natural mod și cel mai simplu mod, totodată,
de a obține două unde coerente.
Spre exemplu, undele dintr-o coardă elastică întinsă, despre care vom discuta imediat.
Spun cel mai natural și simplu mod, pentru că, în acest caz,
folosim o singură sursă de unde și, datorită faptului că interferența are loc între
o undă incidentă și unda ei reflectată, obținem, în mod imediat,
o interferență a două unde coerente,
deoarece pulsatia unde-i incidentă este egală cu pulsatia unde-i reflectată.
Deci, datorită acestui fapt, interferența va fi automat staționară
și undele produse vor fi staționare.
Uzual, capătul corzii este fix a unui corzi elastică întinsă,
deci avem o reflexie cu pierdere de semiundă.
Voi discuta pe scurt și ce se întâmplă dacă capătul nu este fix,
dar, de obicei, în aplicațiile practice, el este.
Deci, situația în care ne găsim este următoarea.
Avem o coardă cu un capăt în care producem perturbația inițială.
Deci, sursa inițială se află în acest capăt al corzii,
unde se produce perturbația,
care se propagă sub forma unei unde prin coardă.
Aceasta până când întâlnim capătul fix,
care nu se poate mișca, al corzii,
unde avem o reflexie cu pierdere de semiundă,
după cum am discutat în lecțiile trecute.
Deci, avem o undă incidentă,
iar la întâlnirea capătului fix, a legăturii,
obținem o undă reflectată,
care este defazată cu 180 de grade,
de aceea este desenată așa,
avem un defazaj de 180 de grade,
sau o pierdere de semiundă.
Cele două unde se propagă în sens contrar,
deci se vor întâlni,
fiind de aceeași pulsație, sunt coerente
și vor genera o undă staționară de interferență în coardă.
Să considerăm un punct P
aflat la o poziție oarecare pe coardă
și la distanța X
de capătul corzii.
De asemenea, notăm cu L lungimea corzii.
Atunci putem scrie următoarele ecuații.
X1, care este distanța parcursă
de unda incidentă până în punctul P,
va fi egal cu lungimea corzii
minus poziția X a punctului P.
X2, care este distanța parcursă
de unda reflectată,
deci X1 este parcursă
de unda incidentă,
iar X2 este parcursă de unda reflectată.
Deci X2 este egal cu L plus X,
care este distanța totală
parcursă de unda reflectată.
Dar, după cum am spus de oarece capătul corzii este fix,
avem o pierdere de semiundă,
deci trebuie să ținem cont de acest fapt
scăzând din X2 un minus lambda P2.
Să calculăm diferența de drum
dintre cele două unde, incidentă și reflectată,
până în punctul P, unde se întâlnesc.
Deci delta X, care este X2 minus X1
prin definiție, va fi
egal cu 2X minus lambda P2.
Efectuăm scăderea.
După cum am văzut în lecția trecută,
cunoaștem deja condițiile pe care
un punct P trebuie să le îndeplinească
din punct de vedere al poziției sale
pentru a se afla pe o ventră
sau pe un not al unde e staționat.
Pentru ventre avem condiția ca diferența de drum
față de cele două surse, în cazul nostru
față de undele incidentă și reflectată,
să fie o multiplu par de semiundă.
Înlocuind valoarea
diferenței de drum, delta X,
în această ecuație, obținem că X,
adică poziția ventrelor
de-a lungul corzii,
este dată de următoarea ecuație,
un multiplu impar de sferturi de undă.
Asta înseamnă că
ventrele vor fi localizate în pozițiile următoare.
Xn este egal pentru n, un număr natural,
bineînțeles. Deci pentru n egal cu 0
obținem λp4, pentru n egal cu 1
obținem 3λp4,
următorul fiind 5λp4 și așa mai departe.
De asemenea, tot în lecția trecută
am dedus ecuația pentru poziția nodurilor.
Și anume, nodurile
se află în poziția
în care diferența de drum este un multiplu
impar de semiunde. Înlocuind iarăși
ecuația pentru diferența de drum
din cazul nostru, obținem
valoarele pentru X, deci
Xn, care sunt pozițiile
nodurilor din
unda staționară de-a lungul corzii
sunt multiple pare
de sferturi de 1. Deci nodurile se vor
afla în pozițiile Xn
0 pentru n egal cu 0
λp2
pentru n egal cu 1
și λ pentru n
egal cu 2 și așa mai departe.
Pentru n egal cu 3
3λp2 și așa mai departe.
Ca și comentariu,
în cazul reflexiei fără pierdere de semiundă,
adică în cazul particular în care acest
capăt nu este fixat
ci este lăsat liber să oscileze,
atunci, după cum spuneam, nu mai avem
o pierdere de semiundă, deci nu mai trebuie
să scădem acest minus λp2
X2 va fi egal cu L plus X
și refăcând calculul
observăm că, în acest caz
ecuația pentru ventre
devine cea pentru noduri, adică
ventrele vor fi localizate la multiple
pare de sferturi de undă și
nodurile vor înlocui ventrele, deci
pur și simplu
în ecuațiile deduse vom avea
noduri în loc de ventre
și ventre
în loc de noduri, în acest caz.
Deci dacă o coardă
este supusă unei
astfel de perturbații, o coardă
elastică cu un capăt fix
deci cu capăt fix aici
obținem următoarele unde
următorul tip de undă
în care, bineînțeles, acești doi
λp sunt egali, deci obținem noduri
în pozițiile 0
λp2
și λ, și așa mai departe
și ventre, adică maxime
în pozițiile
λp4 și
3λp4
acestea sunt pozițiile punctelor
de maxime și minime de-a lungul
axei OX
aleasă de-a lungul corzii, bineînțeles.
Unde staționare?
Haideți să discutăm proprietățile
în general ale undelor staționare.
Într-o undă staționare, toate
oșilatoarele au amplitudini constante
în timp, după cum am discutat atât
în lecția trecută cât și în lecția aceasta.
Amplitudinea
undelor staționare depinde
doar de poziția lor în undă.
Asta nu înseamnă, bineînțeles, că punctele
oșilatoarele sunt fixe. Avem oșilația corzii
doar amplitudinea, valoarea maximă a elongației
este constantă în timp, ceea ce face ca
unda, anvelopa ei sau înfășuratoarea ei
să rămână constantă în timp.
Aplicațiile undelor staționare sunt multiple.
Instrumentele muzicale care sunt de vari tipuri
instrumente cu corzi, instrumente cu tuburi
sau membrane
cu corzi, vioara, chitară
și așa mai departe, cu tuburi, toate
instrumentele de suflat cu membrane, tobele
și altele. De asemenea, acustica
încăperilor și a incintelor
în general. De asemenea, după cum am discutat
acum 3 lecții
undele seismice de tip L
undele seismice lungi, care sunt formate
din interferența
undelor transversale și undelor
longitudinale seismice, sunt
de asemenea scrise prin
aceste unde staționare de interferență.
Pentru formarea undelor staționare
lungimea mediului
care este coardă, tub sau
ce tip de mediu avem
trebuie să fie o multiplu
al distanței NOT VENTRU
care este un sfert de undă.
Aceasta am discutat în minutele precedente
mai exact dorim ca
într-un astfel de mediu, coardă, tub
sau așa mai departe, să începem cu
un nod și să terminăm cu un nod
sau o ventră sau invers
să începem cu o ventră și să terminăm cu un nod sau o ventră.
Deci vrem ca la capetele mediului, la capetele corzii
sau tubului să avem ori
noduri, ori ventre.
Să vedem ce înseamnă această
condiție și anume ca lungimea mediului
să fie multiplu de distanța
NOT VENTRU, adică lambda pe 4.
În cazul în care
avem un capăt liber și celălalt fix
vorbim despre o coardă
dacă vorbim despre un tub, bineînțeles
asta înseamnă că un capăt al tubului este deschis
și celălalt închis.
Obținem următoarele ecuații.
Înainte de a descrie ecuațiile
să notăm că această situație
se întâmplă, spre exemplu, în instrumentul
numit NAI. Într-un NAI
capetele în care se suflă sunt deschise
iar capetele opuse sunt închise.
Atunci această condiție ca lungimea mediului
să fie o multiplu de distanță NOT VENTRU
înseamnă că lungimea tubului, sau acorzii
dacă vorbim despre o coardă
este o multiplu impar de sfert de undă.
Folosind relația
de definiție a lungimii de undă
și anume lungimea de undă este definită ca viteza de propagare
a undei în mediul respectiv omulțită
cu perioada undei, putem scrie că
λ este egal cu V împărțit la ν
viteza de propagare împărțită la frecvență
înlocuind λ cu această
ecuație, V împărțit la ν, obținem
frecvențele de oscilație
ale undei într-un astfel de mediu
cu capăt liber și cel al fix
lungimea multiplu de distanța
NOT VENTRU și obținem aceste frecvențe
adică un multiplu impar de o frecvență
fundamentală în I1 care este
definită ca raportul dintre
viteza de propagare prin mediul V și de patru ori
lungimea. Aceasta se numește frecvența
fundamentală.
Observăm că lungimea tuburilor
dintr-un nai crește într-o anumită
progresie. Ea este aleasă
lungimea acestor tuburi este
aleasă încât fiecare din tuburile
naiului să corespundă unei
anumite frecvențe. Deci suflând
printr-un tub anume, obținem
anumite frecvențe de
oscilație ale undei produse
în tub. După cum știți
lungimi mai mari
ale tubului sau corzi mai lungi dacă vorbim
despre un instrument cu coarde înseamnă
frecvențe
lungimi mai mari înseamnă
frecvențe mai mici și lungimi
mai mici, tuburi mai scurte sau coarde
mai scurte înseamnă frecvențe mai
înalte.
Ceea ce se poate observa și experimental.
Cealaltă situație este în care ambele
capete sunt libere dacă ne referim la corzi
sau deschise dacă ne referim la tuburi
sau ambele capete sunt fixe
dacă ne referim la corzi sau închise dacă ne referim la tuburi.
O astfel de situație întâlnim
într-un instrument numit țambal
în care avem corzi fixate la ambele
capete, în particular fixate
în cazul acesta și la mișloc
dar corzile sunt fixate la ambele capete.
și atunci
obținem următoarele ecuații
lungimea este un multiplu par în cazul acesta
de sferturi de undă
și la fel înlocuind lambda
lungimea de undă cu viteza
de propagare împărțită la nu obținem și ecuația
pentru frecvențele nu produce
care sunt egale cu un multiplu par
de frecvența fondamentală nu 1
la fel dacă
țambalul are corzi de lungime diferite
după cum are și în acest caz
țambalul are o formă de evantai
deci lungimea corzilor crește
atunci fiecare
coardă va vibra
la o frecvență
ce depinde de lungimea ei