Grupările de rezistoare serie, paralel, stea şi triunghi.

În cea de-a șaptea lecție despre curentul electric continuu

vom discuta despre gruparea rezistoarelor,

atât grupările în serie și paralel,

cât și grupările mai complexe precum stea și triunchi.

Gruparea rezistoarelor este de două tipuri,

și anume gruparea în serie,

când rezistoarele au același curent trecând prin ele,

precum în această imagine.

Deci avem trei rezistoare, R1, R2 și R3,

și curentul ce trece prin ele va fi același I.

Dorim să găsim o rezistență echivalentă în serie,

care poate înlocui această grupare de rezistoare

în același circuit, adică între aceleași puncte A și B,

având aceleași diferențe de potențial

și același curent trecând prin rezistor.

Observăm că putem scrie

diferența de potențial sau tensiunea dintre punctele U, A, B

în felul următor.

Alegem sau denumim două puncte intermediare,

C și D,

și observăm că U, A, B,

care, prin definiție, este potențialul din punctul A

minus valoarea potențialului din punctul B,

se poate scrie ca Va-Vc

plus Vc-Vd

plus Vd-Vb.

Dar, mai departe, observăm că Va-Vc

este diferența de potențial sau tensiunea

de pe primul rezistor, deci acesta este U1.

La fel, Vc-Vd

este diferența de potențial de la bornele rezistorului 2,

deci este tensiunea U2,

și, în final, Vd-Vb

este diferența de potențial de la bornele rezistorului 3,

deci este U3.

Egalitatea intermediară este evidentă

pentru că toate potențialele intermediare

se simplifică, deci putem vedea că

minus Vc plus Vc este 0 și, la fel, minus Vd plus Vd este 0,

deci obținem Va-Vb.

În concluzie, putem scrie că

tensiunea totală U, care este Uab,

este egal cu suma tensiunilor de la bornele

fiecărui rezistor, U1 plus U2 plus U3.

Dar, tensiunea totală

este rezistența echivalentă mulțită cu curentul I,

deci, vă reamintesc, căutăm un RS astfel

încât Uab și I să fie aceleași,

deci U va fi RS ori I,

iar U1 va fi R1 ori I,

U2 va fi R2 ori I și așa mai departe.

Simplificând curentul I, care este comun în gruparea în serie,

obținem ecuația pentru rezistența echivalentă în gruparea în serie,

care este suma rezistențelor individual.

Dacă rezistențele sunt egale,

atunci rezistența echivalentă în serie

va fi numărul de rezistente, rezistențe mulțită cu rezistența individuală.

Cel de-al doilea tip de grupare este în paralel.

Gruparea rezistoarelor în paralel are loc atunci când ele au aceiași tensiune,

și nu curent, la borne.

Vedem acest tip de grupare în această schemă.

Deci avem trei rezistențe sau rezistoare mai precis,

R1, R2, R3,

ele având aceleași tensiune,

U1 fiind UAB, U2 fiind tot UAB și U3 fiind din nou UAB.

La fel încercăm să găsim o rezistență echivalentă pe care o notăm cu RP,

astfel încât diferența de potențial sau tensiunea dintre punctele A și B să fie aceeași,

iar curentul I să fie și el același, curentul total.

Deci avem un curent I pentru RP și avem același curent I total

pentru gruparea de rezistoare.

Vom avea, bineînțeles, curenți notați cu I1, I2 și I3 pe fiecare ramură.

Din prima lege Kirchhoff pentru nodul A

putem vedea imediat că I este egal cu I1 plus I2 plus I3

și pornim de la această ecuație.

Deci I este egal cu I1 plus I2 plus I3 în acest caz.

Dar din schema sau circuitul echivalent

putem scrie că I este egal cu UAB,

adică U împărțit la rezistență echivalentă în paralel,

și la fel, I1 va fi UAB împărțit la R1,

I2 va fi UAB împărțit la R2 și I3 UAB împărțit la R3.

În concluzie putem scrie că inversul rezistenței echivalente în paralel

este egal cu suma inverselor rezistențelor individual.

Dacă acestea sunt egale,

obținem că rezistența echivalentă a grupării în paralel

va fi rezistența individuală împărțită la numărul de astfel de rezistențe.

Un alt tip de grupare a rezistențelor

sau de grupări a rezistențelor

sunt așa numitele rezistenți în stea și în triunchi.

Gruparea rezistențelor în triunchi se referă la forma geometrică

și ea este aceea de triunchi,

după cum vedem în culoarea albastru deschis.

Deci rezistențele R1, R2, R3 sunt grupate în triunchi,

în această rețea electrică.

Această grupare în triunchi R1, R2, R3

este apoi cuplată la alte rezistențe R4 și R5.

Putem calcula rezistența echivalentă RAB

aplicând legile lui Kirchhoff.

Câteodată, în schimb, este foarte util,

adică mai rapid și mai eficient calculul,

dacă transformăm, spre exemplu, această grupare

în triunchi, din nou în albastru deschis,

într-una în stea.

O grupare în stea este cea în culoarea roșie.

Deci gruparea rezistențelor RAB și RC

din această rețea se va numi o grupare în stea,

pentru motive evidente.

Haideți să vedem cum se calculează rezistența

echivalentă dintre punctele A și B

folosind o transformare triunchi-stea.

Foarte simplu, relația de la care plecăm

pentru a rezolva acest caz

este aceea că rezistența totală

sau echivalentă între punctele AM în gruparea triunchi

trebuie să fie egală cu rezistența

între aceleași puncte AM în gruparea stea.

La fel, rezistența între punctele A și N

în gruparea triunchi trebuie să fie egală cu rezistența

între aceleași puncte AN în gruparea stea

și rezistența între punctele M și N

în gruparea triunchi trebuie să fie egală cu rezistența

între M și N în gruparea stea.

În felul acesta, vedem că dacă rezistențele

în cele două grupări între AM, AN și MN

sunt egale, atunci bineînțeles că cele două grupări de rezistoare

cea triunchi în albastru deschis și cea stea în roșu

vor fi echivalente.

Haideți să vedem ce înseamnă asta.

Pentru a calcula rezistența în gruparea triunchi

între punctele A și M, vedem că există două grupări.

Există gruparea R1 cu o singură rezistență

și apoi gruparea cu două rezistențe R2 și R3

între punctele A și M.

Deci, între punctele A și M există o grupare în paralel

între R1 pe de-o parte și R2 și R3 pe de cealaltă parte.

Folosind relația pentru gruparea în paralel,

putem spune că 1 împărțit la RAM triunchi

va fi egal cu 1 pe R1 plus 1 pe R2 plus R3.

Asta înseamnă din nou că între punctele A și M

R1 pe de-o parte și R2 și R3 pe de cealaltă parte

sunt în paralel, iar R2 și R3 sunt în serie.

Deci, asta înseamnă această ecuație.

Deci, de aici putem scrie că RAM în gruparea triunchi

este egal cu R1 pe lângă R2 plus R3

împărțit la R1 plus R2 plus R3.

Iar RAM în gruparea triunchi trebuie să fie egal cu RAM în gruparea stea.

Dar RAM în gruparea stea este RA plus RB.

Deci, putem scrie mai departe că acesta este egal cu RA plus RB.

Astfel, avem o primă relație care leagă rezistențele stea A și B

de rezistențele triunchi 1, 2, 3.

La fel, între punctele A și N din motive identice

putem scrie același set de ecuații.

RAN triunchi este egal cu 1 supra R2 plus 1 supra R1 plus R3.

Din nou, pentru a ajunge de la A la N între aceste două puncte

avem două laturi, două trasee.

Unul, cel direct care trece prin rezistența R2

celălalt care trece prin R1 și apoi R3.

Deci, R2 este în paralel cu gruparea serie R1-R3.

Gruparea serie are rezistența echivalentă R1 plus R3.

Deci, o grupare în serie a lui R1 cu R3

va rezulta într-o rezistență echivalentă R1 plus R3.

Iar această grupare R1 plus R3 se află în paralel cu R2

în raport cu punctele A și N.

Deci, rezistența totală echivalentă între punctele A și N

va fi inversul ei, va fi 1 pe R2 plus 1 pe R1 plus R3.

Deci, RAN triunghi va fi egal cu R2

pe lângă R1 plus R3

împărțit la R1 plus R2 plus R3

iar acesta va fi egal cu rezistența echivalentă în stea

între A și N, deci va fi egal cu RA plus RC.

Avem al doilea set de ecuații

și, în mod evident, fără a mai explica

din ceea de a trei egalitate

aplicând același raționament pentru punctele M și N

vom obține că RN triunghi va fi egal cu R3

pe lângă R1 plus R2

împărțit la R1 plus R2 plus R3

care este egal cu rezistența MN în stea

care este RB plus RC.

Aceasta este ceea de-al treilea set de ecuații.

Deci avem trei ecuații cu trei necunoscute

RA, RB, RC

și din acest sistem de trei ecuații cu trei necunoscute

se află RA, RB și RC.

Și apoi, în final, putem calcula rezistența dintre A și B

dar, de data aceasta, folosind valorile pentru rezistențele în stea.

Deci eliminăm rezistența în triunghi

și obținem pentru cele în stea că RAB

care este format din rezistența RA în serie cu restul

deci este RA

plus rezistența echivalentă, să numim punctul acesta, cu C

cu O

deci rezistența echivalentă dintre O și B

iar neuitându-le la rețea, la circuit

observăm că între O și B

avem rezistențele RB și R4 în serie

RC și R4 tot în serie

iar aceste grupări sunt în paralel între ele.

Deci putem scrie că 1PROB

este egal cu 1PRB plus R4

plus 1PRC plus R5

Deci, din nou, B și 4 sunt evident în serie

C și 5 sunt evident în serie

deci rezistențelor echivalente sunt sumele

iar cele două rezistențe echivalente

sunt în paralel între punctele O și B

deci avem această relație

și în concluzie putem scrie că

RAB

este egal cu RA plus

RB plus R4

înmulțit cu RC plus R5

împărțit la

RB plus RC plus R4 plus R5

și în felul acesta am aflat rezistența echivalentă

dintre punctele A și B

dar nu am folosit relațiile sau legile Kirchhoff

ci am folosit relația dintre grupările Stea și Triunchi