Gruparea generatoarelor. Metoda superpoziţiei.

În cea de-a opta lecție despre

curentul electric continuu vom discuta despre gruparea

generatoarelor. Generatoarele, ca și

celelalte elemente de circuit, precum

rezistoarele sau condensatoarele,

pot fi grupate în două feluri.

În serie, atunci când au polaritate

alternativă, precum generatoarele

din această imagine, din acest desen.

Deci vedem că polurile

generatoarelor sunt grupate plus-minus,

plus-minus, plus-minus.

Iar curentul generat de această

grupare de generatoare

va fi curentul cumulat.

Deci acest tip de grupare a unor

generatoare se numește grupare în serie.

Pentru a calcula

intensitatea curentului generat de un

astfel de grup de generatoare, pur și simplu

aplicăm cea de-a doua lege a lui Kirchhoff.

Deci alegem un sens de parcurgere

al acestui ochi, precum cel pe care

tocmai l-am desenat, și scriem

cea de-a doua lege a lui Kirchhoff, care va spune

în acest caz că suma

tensiunilor electromotoare, toate fiind pozitive

pentru că sensul ales parcurge

întotdeauna generatorul

de la minus la plus, în toate trei cazuri, deci va fi suma

celor trei tensiunile electromotoare

care va fi egală cu intensitatea curentului

I, care este comun,

înmulțită cu toate rezistențele

din circuit, adică rezistența externă R

și rezistențele interne ale

generatoarelor. De aici rezultă că

foarte simplu, în acest caz, intensitatea curentului este

suma tensiunilor electromotoare

împărțită la suma rezistențelor interne

plus rezistența externă. Putem concluziona

că, în acest caz, tensiunea

electromotoare a grupării în serii este

suma pentru toate

generatoarele ale tensiunilor

electromotoare individuale și

rezistența internă

a grupării în serie este la fel suma

rezistențelor interne individuale.

Acest tip de grupare

este foarte desfolosită. Spre exemplu,

o întâlniți în gruparea bateriilor

în diferite aparate

sau chiar jucării din casă.

Vă poate da impresia o imagine

de acest fel, că bateriile sunt grupate

în paralel, dar asta nu este adevărat.

Aceasta este o grupare în serie și aceasta se datorește

faptului că cele două baterii sunt montate

cu polaritățile în sens invers, adică

dacă această baterie are plusul aici

și minusul aici, cealaltă baterie va avea invers

plusul aici și minusul aici și firul

care le leagă, conductorul, va lega

plus de plus și minus de minus.

Deci vom avea un astfel de tip de

grupare în serie.

Și în concluzie

tensiunea totală va fi generată

va fi suma celor două.

În acest caz, fiind baterii de 1,2V

va fi 2,4V.

Gruparea generatoarelor în paralel se face

atunci când polaritățile

de semn plus, polaritățile pozitive sunt legate

împreună și cele negative sunt conectate

împreună, precum cele din această imagine.

Deci avem trei generatoare

E1, E2, E3 cu rezistențele interne R1, R2 și R3

care sunt grupate în paralel pentru că

plusurile sunt conectate împreună și minusurile

la fel sunt conectate împreună.

Dacă notăm cu I1, I2 și I3 curenții

de pe fiecare

ramură și

cu I curentul total

al grupării de generatoare

putem să scriem legile Kirchhoff

pentru

noduri, deci avem două noduri

A și B

și avem patru ochi

acesta este un ochi

apoi acesta este al doilea ochi

al treilea ochi și al patrulea este

ochiul total care include

ochiul cel mai mare.

În concluzie după cum știm

vom avea trei ecuații ce rezultă din

cea de-a doua lege Kirchhoff, avem patru ochiuri

patru ecuații dar una va fi redundantă

adică nu va oferi nicio informație în plus, deci vom avea trei ecuații

rezultând din trei ochiuri

pe care le alegem cum dorim noi

din cea de-a doua lege Kirchhoff și o ecuație

din prima lege Kirchhoff pentru unul din cele două noduri

sunt două noduri A și B

dar după cum este evident

ecuația ce rezultă este aceeași, I1 plus I2 plus I3

egal cu I pentru ambele noduri, deci putem folosi numai una din ele.

Deci să începem cu primul ochi

considerăm acest ochi de deasupra

alegem un sens de parcurgere a lui

după cum am spus această convenție

este doar pentru scrierea

ecuației legii cele de-a doua

dar am putea să alegem invers și am obținut aceeași ecuație.

Deci alegem acest sens

și scriem cel de-a doua lege Kirchhoff

care este următoarea, E2 minus E1 este egal cu

IR2 minus IR1. Vă reamintesc

sumele sunt algebrice

și pentru generatoare

sensul este plus dacă

îl parcurgem de la minus la plus

precum E2 și este minus dacă îl parcurgem

invers de la plus la minus cum este pentru E1.

Deci avem E2 minus E1

iar pentru căderile de tensiune

sau diferențe de potențial pe rezistențele interne

sensul este dat de sensul

curentului. I2 are sensul

ales de noi prin convenție, I1 are

sens opus sensului ales prin convenție și deci

va avea minus. După cum am spus putem foarte bine

să alegem prin convenție sensul de parcurgere invers

atunci toate semnele se vor schimba

și vom obține exact aceeași ecuație dar mulțită cu minus 1

deci ecuația rămâne.

Apoi alegem următorul not, deci următorul not

bineînțeles va fi acesta

alegem iarăși un sens de parcurgere a lui

și aplicăm aceeași lege a doua

a lui Kirchhoff pentru acest ochi

și obținem că E3-E2 este egal cu

IR3-IR2

cu aceleași convenții de semn.

Alegem în fine ultimul ochi

cel inferior

din josul paginii

alegem sensul invers pentru că

ambei curenți au același sens

și atunci alegem acest tip de parcurgere

și vom obține că E3

este egal cu I3R3

plus IR.

A mai rămas o singură ecuație de scris

cea din legea întâia a lui Kirchhoff pentru noduri

alegem nodul B pentru care obținem simplu

că I este egal cu I1 plus I2 plus I3

Acesta este un sistem

de patru ecuații cu patru necunoscute

cei patru curenții

adică intensitățile lor

I1, I2, I3 și I

rezolvăm acest sistem și obținem această ecuație

pentru curentul total I

Observăm că în cazul cuplării în paralel

a generatoarelor putem scrie doar

o ecuație pentru rezistența interna

echivalentă, deci putem scrie că 1PRP

poate fi definit ca sumă

după I egal cu 1 la N

din 1PRI

care ar intra aici

Pentru tensiunea electromotoare

echivalentă nu rezultă o ecuație

simplă. Totuși aceasta e mai puțin

important. Important este să știm cum să calculăm

curentul generat de o astfel

de grupare de generatoare

Să trecem la următorul subiect

apropo de gruparea

generatoarelor

După cum am văzut în cazul grupării rezistoarelor

și anume că există

reguli generale ce pot fi întotdeauna

derivate folosind legile Kirchhoff

dar că există cazuri speciale

când putem folosi

reguli de transformare care pot ușura calculul

precum transformarea stea triunghi

același lucru este valabil și pentru gruparea

a două generatoare

Putem întotdeauna folosi legile Kirchhoff

dar în anumite cazuri

putem folosi și metode alternative

precum metoda superpoziției pentru calculul rețelei

Metoda superpoziției

pe care o vom explica

spune că sumarea algebrică

a efectelor pe care le produce fiecare sursă

considerând că e singura sursă din rețea

va da rezultatele corecte

Ce înseamnă acest lucru?

Avem această reță relativ simplă

în care avem două generatoare

E1 și E2

și varii alte consumatoare

Curenții generați sunt I1, I2 și I3

și ne propunem să calculăm acești curenți

fără a aplica legea lui Kirchhoff

ceea ce putem face întotdeauna

Ce spune această metodă?

Este în felul următor

eliminăm pe rând una dintre surse

Dacă păstrăm doar E1

eliminăm pur și simplu sursa E2

din circuit și o locuim cu un conductor simplu

atunci vom avea curenții

I1-I1 pe care îi notăm

I1 devine I1-I1

I2 devine I2-I1 și I3 devine I3-I1

și putem

desena acești curenți

I1-I1 care este curentul I1

pentru un circuit în care

doar sursa E1 este prezentă

va avea același sens

vedem însă că în acest caz

I2-I1 are sens opus

I3-I1 are din nou același sens

deci din nou

dacă eliminăm E2

rămâne numai E1

și atunci curentul are acest sens

prin tot circuitul și avem curenții

bineînțeles curenții vor fi alții

și îi notăm cu I1-I1 același sens

I2-I1 se va mișca în sens opus

pentru că sursa are

polaritatea pozitivă în sensul acesta

și I3-I1 va fi în același sens

acesta fie nodul A

dacă invers

eliminăm sursa E1

și păstrăm doar E2

și desenăm curenții din nodul A

vedem că I2-I2

adică curentul 2

în prezența sursei 2

va avea sens spre stânga

I1-I2

adică curentul 1

în prezența sursei 2

va avea sens și el spre stânga

iar I3-I2 adică curentul 3

în prezența sursei 2

va avea același sens

și deci păstrând doar E2

curenții pe care îi notăm cu I1-I2

în aceste notații

cel de-al doilea indice este

numărul sursei păstrate în rețea

adică E1 sau E2

Ei, ideea de bază

a metodei superpoziției poate fi scrisă

matematic în felul următor

că I1 când sunt prezente amândouă sursele

va fi I1-I2

pentru că curenții au sensuri opuse

I2-I2

I2-I2 I2-I2

I3-I3 I3-I3

Revenind, sumarea algebrica

efectelor pe care le produce fiecare sursă

considerând pe rând

că este singura sursă din rețea

Aceste ecuații spun matematic

ideea principală

și pentru a rezolva

acest caz până la capăt

să considerăm anumite valori

pentru parametrii elementelor din rețea

adică luăm două valori

pentru tensiuni electromotoare E1-E2

și dăm valori și rezistențelor consumatoare

celor trei consumatoare din rețea

Considerăm că rezistențele interne

R1-R1-R2

sunt neglijabile

pentru a simplifica calculul

și începem să rezolvăm

Vom considera cazul 1

în care este doare 1

În acest caz putem vedea că

rezistența totală externă

surse E1

rezistența echivalentă totală

este egală cu R1 plus RAB

RAB adică rezistența echivalentă

între punctele A și B

este formată din rezistențele 2 și 3

în paralel

adică 1

pe RAB

este egal cu 1 pe R2

plus 1 pe R3

aceasta înseamnă că rezistența echivalentă

a întregului sistem de rezistențe

va fi R1 plus

R2-R3

împărțit la R2

și R3

Continuăm scriend

cea de-a doua lege

deci legea pentru întregul circuit

dacă vă aduceți aminte

a spune că intensitatea

prin latura ochiului

în care se află generatorul

deci I1

este egală cu

tensiunea electromotoare care este E1

în cazul nostru doar E1 este în circuit

împărțită la rezistența externă totală

plus rezistența internă

care în cazul nostru este R1

și pe care am spus că îl neglijăm

deci rezultă că I1

este egal cu E1

împărțit la rezistența echivalentă

care are această ecuație

introducând toate valorele obținem pentru I1

o valoare de 0.3A

Continuăm pentru calculul

lui I2-I1 și I3-I1

spunând că

sau observând că tensiunea între punctele UAB

este egală cu

R2-I2-I1

și este de asemenea egală cu

R3-I3-I1

De asemenea putem scrie că

pentru nodul A

implică că I1-I1

este egală cu

I2-I1

plus I3-I1

Aceasta este legea pentru acest

caz, bineînțeles. I1-I1 este egal

cu I2-I1 plus I3-I1

De aici rezultă că avem un sistem de

două ecuații cu două necunoscute

I2-I1 plus

I3-I1

este egal cu 0.3

valoarea lui

I1-I1

și

16

I2-I1

este egal cu 14

I3-I1

În concluzie obținem și

valorile celor lasti doi curenți

I2-I1

este egal cu

0.14A

și I3-I1

este egal cu 0.16A

La fel se rezolvă în mod absolut identic

cazul 2 în care avem doar

sursa E2 în sistem

și anume se calculează o rezistență

echivalentă dar plecând

în cazul acesta în care am eliminat E1

și păstrăm doar E2

în sistem

vom avea rezistența echivalentă

egală cu R2 plus rezistența

echivalentă în paralel a lui R1 cu R3

deci rezistența echivalentă

în acest caz va fi R2 plus

R1-R3

împărțit la

R1 plus R3

și la fel I2-I2

care devine

noul curent prin

latura ochiului în care se află

sursa deci I2-I2

va fi egal cu E2

împărțit la acest R echivalent unde din nou am neglijat

rezistența internă R2

substituind obținem valoarea

pentru I2-I2

egală cu 0.35A

la fel pornind de la

faptul că UAB este același

pentru ambele laturi

putem scrie că

R2

I2-I1

că R2

R

putem scrie că R1

I1-I2

este egal cu R3

I3-I2

și din prima

lege a lui Kirchhoff putem scrie

că I1-I2

plus I3-I2

este egal cu I2-I2

adică 0.35A

rezolvând acest

sistem de ecuație obținem următoarele valori

I1-I2

este egal cu 0.19A

și I3-I2

este egal

cu 0.16A

și în fine

după ce am calculat

aceste două perechi de câte trei curenți

putem să înlocuim toate aceste valori

în ecuație de bază obținând

valorile curenților pe care le căutăm

și anume că obținem că I1 este egal cu

0.11A

I2 este egal cu

0.21A

și I3 este egal cu

0.32A

în felul acesta

putem calcula această rețea

prin metoda superpoziției

și nu folosind direct legile Kirchhoff.