Transcript: Gruparea generatoarelor. Metoda superpoziţiei.

În cea de-a opta lecție despre
curentul electric continuu vom discuta despre gruparea
generatoarelor. Generatoarele, ca și
celelalte elemente de circuit, precum
rezistoarele sau condensatoarele,
pot fi grupate în două feluri.
În serie, atunci când au polaritate
alternativă, precum generatoarele
din această imagine, din acest desen.
Deci vedem că polurile
generatoarelor sunt grupate plus-minus,
plus-minus, plus-minus.
Iar curentul generat de această
grupare de generatoare
va fi curentul cumulat.
Deci acest tip de grupare a unor
generatoare se numește grupare în serie.
Pentru a calcula
intensitatea curentului generat de un
astfel de grup de generatoare, pur și simplu
aplicăm cea de-a doua lege a lui Kirchhoff.
Deci alegem un sens de parcurgere
al acestui ochi, precum cel pe care
tocmai l-am desenat, și scriem
cea de-a doua lege a lui Kirchhoff, care va spune
în acest caz că suma
tensiunilor electromotoare, toate fiind pozitive
pentru că sensul ales parcurge
întotdeauna generatorul
de la minus la plus, în toate trei cazuri, deci va fi suma
celor trei tensiunile electromotoare
care va fi egală cu intensitatea curentului
I, care este comun,
înmulțită cu toate rezistențele
din circuit, adică rezistența externă R
și rezistențele interne ale
generatoarelor. De aici rezultă că
foarte simplu, în acest caz, intensitatea curentului este
suma tensiunilor electromotoare
împărțită la suma rezistențelor interne
plus rezistența externă. Putem concluziona
că, în acest caz, tensiunea
electromotoare a grupării în serii este
suma pentru toate
generatoarele ale tensiunilor
electromotoare individuale și
rezistența internă
a grupării în serie este la fel suma
rezistențelor interne individuale.
Acest tip de grupare
este foarte desfolosită. Spre exemplu,
o întâlniți în gruparea bateriilor
în diferite aparate
sau chiar jucării din casă.
Vă poate da impresia o imagine
de acest fel, că bateriile sunt grupate
în paralel, dar asta nu este adevărat.
Aceasta este o grupare în serie și aceasta se datorește
faptului că cele două baterii sunt montate
cu polaritățile în sens invers, adică
dacă această baterie are plusul aici
și minusul aici, cealaltă baterie va avea invers
plusul aici și minusul aici și firul
care le leagă, conductorul, va lega
plus de plus și minus de minus.
Deci vom avea un astfel de tip de
grupare în serie.
Și în concluzie
tensiunea totală va fi generată
va fi suma celor două.
În acest caz, fiind baterii de 1,2V
va fi 2,4V.
Gruparea generatoarelor în paralel se face
atunci când polaritățile
de semn plus, polaritățile pozitive sunt legate
împreună și cele negative sunt conectate
împreună, precum cele din această imagine.
Deci avem trei generatoare
E1, E2, E3 cu rezistențele interne R1, R2 și R3
care sunt grupate în paralel pentru că
plusurile sunt conectate împreună și minusurile
la fel sunt conectate împreună.
Dacă notăm cu I1, I2 și I3 curenții
de pe fiecare
ramură și
cu I curentul total
al grupării de generatoare
putem să scriem legile Kirchhoff
pentru
noduri, deci avem două noduri
A și B
și avem patru ochi
acesta este un ochi
apoi acesta este al doilea ochi
al treilea ochi și al patrulea este
ochiul total care include
ochiul cel mai mare.
În concluzie după cum știm
vom avea trei ecuații ce rezultă din
cea de-a doua lege Kirchhoff, avem patru ochiuri
patru ecuații dar una va fi redundantă
adică nu va oferi nicio informație în plus, deci vom avea trei ecuații
rezultând din trei ochiuri
pe care le alegem cum dorim noi
din cea de-a doua lege Kirchhoff și o ecuație
din prima lege Kirchhoff pentru unul din cele două noduri
sunt două noduri A și B
dar după cum este evident
ecuația ce rezultă este aceeași, I1 plus I2 plus I3
egal cu I pentru ambele noduri, deci putem folosi numai una din ele.
Deci să începem cu primul ochi
considerăm acest ochi de deasupra
alegem un sens de parcurgere a lui
după cum am spus această convenție
este doar pentru scrierea
ecuației legii cele de-a doua
dar am putea să alegem invers și am obținut aceeași ecuație.
Deci alegem acest sens
și scriem cel de-a doua lege Kirchhoff
care este următoarea, E2 minus E1 este egal cu
IR2 minus IR1. Vă reamintesc
sumele sunt algebrice
și pentru generatoare
sensul este plus dacă
îl parcurgem de la minus la plus
precum E2 și este minus dacă îl parcurgem
invers de la plus la minus cum este pentru E1.
Deci avem E2 minus E1
iar pentru căderile de tensiune
sau diferențe de potențial pe rezistențele interne
sensul este dat de sensul
curentului. I2 are sensul
ales de noi prin convenție, I1 are
sens opus sensului ales prin convenție și deci
va avea minus. După cum am spus putem foarte bine
să alegem prin convenție sensul de parcurgere invers
atunci toate semnele se vor schimba
și vom obține exact aceeași ecuație dar mulțită cu minus 1
deci ecuația rămâne.
Apoi alegem următorul not, deci următorul not
bineînțeles va fi acesta
alegem iarăși un sens de parcurgere a lui
și aplicăm aceeași lege a doua
a lui Kirchhoff pentru acest ochi
și obținem că E3-E2 este egal cu
IR3-IR2
cu aceleași convenții de semn.
Alegem în fine ultimul ochi
cel inferior
din josul paginii
alegem sensul invers pentru că
ambei curenți au același sens
și atunci alegem acest tip de parcurgere
și vom obține că E3
este egal cu I3R3
plus IR.
A mai rămas o singură ecuație de scris
cea din legea întâia a lui Kirchhoff pentru noduri
alegem nodul B pentru care obținem simplu
că I este egal cu I1 plus I2 plus I3
Acesta este un sistem
de patru ecuații cu patru necunoscute
cei patru curenții
adică intensitățile lor
I1, I2, I3 și I
rezolvăm acest sistem și obținem această ecuație
pentru curentul total I
Observăm că în cazul cuplării în paralel
a generatoarelor putem scrie doar
o ecuație pentru rezistența interna
echivalentă, deci putem scrie că 1PRP
poate fi definit ca sumă
după I egal cu 1 la N
din 1PRI
care ar intra aici
Pentru tensiunea electromotoare
echivalentă nu rezultă o ecuație
simplă. Totuși aceasta e mai puțin
important. Important este să știm cum să calculăm
curentul generat de o astfel
de grupare de generatoare
Să trecem la următorul subiect
apropo de gruparea
generatoarelor
După cum am văzut în cazul grupării rezistoarelor
și anume că există
reguli generale ce pot fi întotdeauna
derivate folosind legile Kirchhoff
dar că există cazuri speciale
când putem folosi
reguli de transformare care pot ușura calculul
precum transformarea stea triunghi
același lucru este valabil și pentru gruparea
a două generatoare
Putem întotdeauna folosi legile Kirchhoff
dar în anumite cazuri
putem folosi și metode alternative
precum metoda superpoziției pentru calculul rețelei
Metoda superpoziției
pe care o vom explica
spune că sumarea algebrică
a efectelor pe care le produce fiecare sursă
considerând că e singura sursă din rețea
va da rezultatele corecte
Ce înseamnă acest lucru?
Avem această reță relativ simplă
în care avem două generatoare
E1 și E2
și varii alte consumatoare
Curenții generați sunt I1, I2 și I3
și ne propunem să calculăm acești curenți
fără a aplica legea lui Kirchhoff
ceea ce putem face întotdeauna
Ce spune această metodă?
Este în felul următor
eliminăm pe rând una dintre surse
Dacă păstrăm doar E1
eliminăm pur și simplu sursa E2
din circuit și o locuim cu un conductor simplu
atunci vom avea curenții
I1-I1 pe care îi notăm
I1 devine I1-I1
I2 devine I2-I1 și I3 devine I3-I1
și putem
desena acești curenți
I1-I1 care este curentul I1
pentru un circuit în care
doar sursa E1 este prezentă
va avea același sens
vedem însă că în acest caz
I2-I1 are sens opus
I3-I1 are din nou același sens
deci din nou
dacă eliminăm E2
rămâne numai E1
și atunci curentul are acest sens
prin tot circuitul și avem curenții
bineînțeles curenții vor fi alții
și îi notăm cu I1-I1 același sens
I2-I1 se va mișca în sens opus
pentru că sursa are
polaritatea pozitivă în sensul acesta
și I3-I1 va fi în același sens
acesta fie nodul A
dacă invers
eliminăm sursa E1
și păstrăm doar E2
și desenăm curenții din nodul A
vedem că I2-I2
adică curentul 2
în prezența sursei 2
va avea sens spre stânga
I1-I2
adică curentul 1
în prezența sursei 2
va avea sens și el spre stânga
iar I3-I2 adică curentul 3
în prezența sursei 2
va avea același sens
și deci păstrând doar E2
curenții pe care îi notăm cu I1-I2
în aceste notații
cel de-al doilea indice este
numărul sursei păstrate în rețea
adică E1 sau E2
Ei, ideea de bază
a metodei superpoziției poate fi scrisă
matematic în felul următor
că I1 când sunt prezente amândouă sursele
va fi I1-I2
pentru că curenții au sensuri opuse
I2-I2
I2-I2 I2-I2
I3-I3 I3-I3
Revenind, sumarea algebrica
efectelor pe care le produce fiecare sursă
considerând pe rând
că este singura sursă din rețea
Aceste ecuații spun matematic
ideea principală
și pentru a rezolva
acest caz până la capăt
să considerăm anumite valori
pentru parametrii elementelor din rețea
adică luăm două valori
pentru tensiuni electromotoare E1-E2
și dăm valori și rezistențelor consumatoare
celor trei consumatoare din rețea
Considerăm că rezistențele interne
R1-R1-R2
sunt neglijabile
pentru a simplifica calculul
și începem să rezolvăm
Vom considera cazul 1
în care este doare 1
În acest caz putem vedea că
rezistența totală externă
surse E1
rezistența echivalentă totală
este egală cu R1 plus RAB
RAB adică rezistența echivalentă
între punctele A și B
este formată din rezistențele 2 și 3
în paralel
adică 1
pe RAB
este egal cu 1 pe R2
plus 1 pe R3
aceasta înseamnă că rezistența echivalentă
a întregului sistem de rezistențe
va fi R1 plus
R2-R3
împărțit la R2
și R3
Continuăm scriend
cea de-a doua lege
deci legea pentru întregul circuit
dacă vă aduceți aminte
a spune că intensitatea
prin latura ochiului
în care se află generatorul
deci I1
este egală cu
tensiunea electromotoare care este E1
în cazul nostru doar E1 este în circuit
împărțită la rezistența externă totală
plus rezistența internă
care în cazul nostru este R1
și pe care am spus că îl neglijăm
deci rezultă că I1
este egal cu E1
împărțit la rezistența echivalentă
care are această ecuație
introducând toate valorele obținem pentru I1
o valoare de 0.3A
Continuăm pentru calculul
lui I2-I1 și I3-I1
spunând că
sau observând că tensiunea între punctele UAB
este egală cu
R2-I2-I1
și este de asemenea egală cu
R3-I3-I1
De asemenea putem scrie că
pentru nodul A
implică că I1-I1
este egală cu
I2-I1
plus I3-I1
Aceasta este legea pentru acest
caz, bineînțeles. I1-I1 este egal
cu I2-I1 plus I3-I1
De aici rezultă că avem un sistem de
două ecuații cu două necunoscute
I2-I1 plus
I3-I1
este egal cu 0.3
valoarea lui
I1-I1
și
16
I2-I1
este egal cu 14
I3-I1
În concluzie obținem și
valorile celor lasti doi curenți
I2-I1
este egal cu
0.14A
și I3-I1
este egal cu 0.16A
La fel se rezolvă în mod absolut identic
cazul 2 în care avem doar
sursa E2 în sistem
și anume se calculează o rezistență
echivalentă dar plecând
în cazul acesta în care am eliminat E1
și păstrăm doar E2
în sistem
vom avea rezistența echivalentă
egală cu R2 plus rezistența
echivalentă în paralel a lui R1 cu R3
deci rezistența echivalentă
în acest caz va fi R2 plus
R1-R3
împărțit la
R1 plus R3
și la fel I2-I2
care devine
noul curent prin
latura ochiului în care se află
sursa deci I2-I2
va fi egal cu E2
împărțit la acest R echivalent unde din nou am neglijat
rezistența internă R2
substituind obținem valoarea
pentru I2-I2
egală cu 0.35A
la fel pornind de la
faptul că UAB este același
pentru ambele laturi
putem scrie că
R2
I2-I1
că R2
R
putem scrie că R1
I1-I2
este egal cu R3
I3-I2
și din prima
lege a lui Kirchhoff putem scrie
că I1-I2
plus I3-I2
este egal cu I2-I2
adică 0.35A
rezolvând acest
sistem de ecuație obținem următoarele valori
I1-I2
este egal cu 0.19A
și I3-I2
este egal
cu 0.16A
și în fine
după ce am calculat
aceste două perechi de câte trei curenți
putem să înlocuim toate aceste valori
în ecuație de bază obținând
valorile curenților pe care le căutăm
și anume că obținem că I1 este egal cu
0.11A
I2 este egal cu
0.21A
și I3 este egal cu
0.32A
în felul acesta
putem calcula această rețea
prin metoda superpoziției
și nu folosind direct legile Kirchhoff.