Funcția arccosinus

Discutăm în acest videoclip despre funcțiile cosinus și arccosinus.

Avem în imagine un cerc trigonometric în care am reprezentat unghiul alfa, cărvia îi corespunde punctul M de pe cerc.

Între unghiul dreptunghii care s-a format, putem calcula cosinus de alfa.

Acesta este cateta alăturată supraipotenuză.

Ipotenuza este OM, iar lungimea acestui segment este egală cu 1.

În consecință, avem cosinus de alfa egal cu a mic.

Așadar, cosinusul unghiului alfa este abscisa punctului M.

Funcția trigonometrică cosinus este definită pe mulțimea numerelor reale și cu valori în intervalul închis (-1, 1).

Graficul acestei funcții se va realiza prin puncte.

Să facem un tabel de valori.

Iată, ne uităm și pe cercul trigonometric.

Pentru x egal cu 0, cosinus de 0 este egal cu 1.

Pentru unghiul pi pe 2, avem cosinus egal cu 0.

Apoi, cosinus de pi este minus 1.

Cosinus de 3pi supra 2 este egal cu 0.

Iar cosinus de 2pi este egal cu 1.

Funcția cosinus este periodică, având perioada principală 2pi.

Din acest motiv, putem construi graficul funcției pe un interval de lungimea unei perioade, de exemplu 0, 2pi.

Restul graficului se obține prin translație la stânga și la dreapta de-a lungul axei OX.

Iată graficul funcției cosinus.

Cosinus de 0 este 1.

Cosinus de pi supra 2 este 0.

Cosinus de pi este minus 1.

Cosinus de 3pi supra 2 este 0.

Iar cosinus de 2pi este egal cu 1.

Putem observa că funcția cosinus nu este bijectivă,

deoarece, ducând o paralelă la axa OX prin elementele codomeniului,

aceasta ar intersecta graficul funcției în mai multe puncte.

Dacă însă vom considera restricția acestei funcții la intervalul 0pi,

atunci se obține o funcție bijectivă și inversabilă.

Iată!

Observăm că în această situație, orice paralelă am duce la axa OX prin punctele codomeniului,

aceasta va intersecta graficul funcției în exact un punct.

Așadar, obținem o funcție bijectivă.

Inversa acestei funcții va fi funcția arccosinus.

Definită pe intervalul închis (-1,1), și cu valori în intervalul 0pi,

arccosinusul unui număr real beta

este un număr real x, pentru care cosinus de x este egal cu beta.

Beta este o valoare cuprinsă în intervalul (-1,1),

iar x este un unghi din intervalul 0pi.

Să vedem câteva exemple.

Să calculăm arccosinus de 0.

Trebuie să ne gândim care este unghiul din intervalul 0pi, pentru care cosinusul este egal cu 0.

Ne putem uita și în tabelul alăturat.

Observăm că avem două unghiuri pentru care cosinusul este egal cu 0,

însă vom lua în considerare unghiul din intervalul 0pi,

iar acesta este egal cu pi supra 2.

Așadar, arccosinus de 0 este pi supra 2,

deoarece cosinus de pi supra 2 este egal cu 0.

Vom calcula în continuare arccosinus de radical din 3 pe 2.

Ne gândim care este unghiul pentru care cosinusul este egal cu radical din 3 pe 2.

Acest unghi este pi supra 6,

deoarece cosinus de pi supra 6 este radical din 3 pe 2.

Graficul funcției arccosinus se poate realiza prin puncte,

așadar, fie întocmim un tabel de valori,

fie prin simetrie față de prima bisectoare.

Iată, avem reprezentat cu roz graficul funcției cosinus de x,

iar cu galben este graficul funcției arccosinus de x.

Se poate observa că cele două grafice sunt simetrice față de

dreapta de ecuație y egal cu x.

Atunci când compunem o funcție cu inversa ei, se obține funcția identică.

Așadar, are loc relația cosinus de arccosinus de beta este egal cu beta.

Să reținem această relație.

Vom da imediat și un exemplu.

Haideți să calculăm cosinus de arccosinus de 1x2.

Pentru a calcula arccosinus de 1x2, ne gândim care este unghiul pentru care cosinus este egal cu 1x2.

Acesta este pi supra 3.

Avem așadar, egal cosinus de pi supra 3,

iar cosinus de pi supra 3 este egal cu 1x2.

Să vedem în continuare cum calculăm arccosinus de minus 1 supra 2.

Ne propunem să calculăm în continuare arccosinus de minus 1 supra 2.

Ne uităm pe cercul trigonometric.

Valoarea minus 1 supra 2 este la jumătatea distanței dintre 0 și minus 1.

Aici avem minus 1, iar aici va fi minus 1 supra 2.

Să construim acest unghi.

Dacă notez cu M acest punct, atunci cosinusul unghiului alfa va fi proiecția punctului M pe axa OX.

Întotdeauna axa OX este axa cosinusului, iar axa OY este axa sinusurilor.

Așadar, cosinus de alfa va fi minus 1 pe 2.

În consecință, arccosinus de minus 1 supra 2 va fi egal cu alfa.

În continuare ne propunem să calculăm valoarea unghiului alfa.

Mai întâi vom calcula măsura acestui unghi pe care îl notesc cu θ.

În triunghiul dreptunghic care s-a format, cosinus de θ este ca θ alăturată minus 1 supra 2 în modul, adică 1 pe 2,

supra ipotenuza OM.

OM este rază în cercul trigonometric, iar lungimea acesteia este egală cu 1.

Avem așadar, cosinus de θ egal cu 1 pe 2.

În consecință, θ este arccosinus de 1 pe 2 și egal cu pi supra 3 radiani.

Deci măsura unghiului θ este egală cu pi supra 3.

Pentru a calcula unghiul alfa, din pi radiani scădem unghiul θ.

Și obținem pi minus pi supra 3, egal cu 2 pi supra 3.

În consecință, arccosinus de minus 1 supra 2 este egal cu 2 pi supra 3.

La final este bine să reținem că arccosinus de minus beta va fi egal cu pi minus arccosinus de beta.

Pentru orice beta, din intervalul închis, minus 1, 1.