Efectul Compton. Calculul variaţiei lungimii de undă.

În cea de-a treia lecție de fizică cuantică vom discuta despre efecturi Compton.

În lecțiile precedente am văzut cum efectul fotoelectric extern a forțat lumea fizicii să accepte un nou tip de realitate,

un nou tip de model pentru radiație electromagnetică și anume comportarea corpusculară a radiații electromagnetice și a luminii în particular.

Efectul Compton și experimentul Compton a convins savanții, oamenii de știință, că această comportare corpusculară a luminii și a radiației electromagnetice în general este corectă.

Deci să începem cu descrierea într-o formă simplificată a experimentului Compton.

Deci avem o sursă de radiație monocromatică cu frecvență mare, adică o radiație X sau Gamma, deci avem o anumită sursă S,

care emite această radiație electromagnetică de tip X sau Gamma, deci de frecvență mare.

Și acest fascicul îngust de fotoni va trece printr-un bloc de material cu atomi ușor, spre exemplu grafit și parafina.

Se va împrăștia în interiorul acestui material, pe atomii materialului, și va rezulta o radiație X sau Gamma împrăștiată.

Deci obținem tot o radiație electromagnetică împrăștiată.

Notăm cu Lambda 0 lungimea de undă a radiației incidente și cu Lambda lungimea de undă a radiației împrăștiate.

De ce se folosesc atomii ușor?

Motivul este simplu. Electronii atomilor ușor sunt slab legați de nucleele lor și pot fi considerați aproximativ liberi.

Radiația incidentă se va împrăștia, deci, pe acești electroni aproximativ liberi.

Ce înseamnă asta?

Pur și simplu că electronul se mișcă în atom în jurul unui nucleu, a cărui sarcină este plus Z.

Și deci avem un electron în mișcare în jurul lui.

Dacă Z este mic, adică numărul de protoni care au sarcină 1 și se află în nucleu,

numărul de protoni este mic, atunci forța de atracție a electronului față de nucleu este mică

și atunci, într-o bună aproximație, putem considera electron liber pentru că avem nevoie de o energie mică,

în cazul acesta, pentru a desprinde electronul din atomul său, dacă Z este mic.

Și deci, pentru atomi ușor, putem aproxima electronul ca fiind liber.

Dorim să măsurăm variația lungimii de undă

între radiația emergentă sau împrăștiată, λ, și cea incidentă, λ0.

Deci dorim să măsurăm acest Δλ, definit ca λ-λ0.

Deci, situația schematică arată în felul următor.

În starea inițială avem un foton,

care este incident pe un electron,

care se află în repaus și este liber,

într-o aproximație bună în cazul acestor tipuri de atom.

Energia fotonului E0 este hν0,

iar impulsul fotonului este hν0 împărțit la C.

Aceasta, deoarece, în cazul unui foton,

putem scrie următoarele ecuații E="mc²".

Aceasta este o ecuație pentru orice tip de particulă,

dar, în particular, pentru foton avem impuls="mc".

Bineînțeles, impulsul în general este mv, dar fotonul are întotdeauna viteza c,

și deci impulsul fotonului este mc.

Deci rezultă că relația dintre energie și impuls pentru foton numai este E="mc".

Deci putem scrie P0="hν0 împărțit la C".

În starea finală, bineînțeles, vom obține un foton împrăștiat,

care va avea o energie E="hν",

și un impuls P="hν0 împărțit la C",

și un electron împrăștiat,

deci electronul va avea o energie a electronului mc²,

relația Einstein,

ecuația Einstein,

și un impuls PE="mv".

Nu mai putem scrie energia electronului împărțită la C,

pentru că această relație este adevărată doar pentru foton.

Și deci avem aceste relații între starea inițială și starea finală

a împrăștierii fotonului pe electron,

și vom aplica conservarea impulsului și a energiei în forma lor relativistă,

pentru că atât fotonul cât și electronul când se află în mișcare

au viteze comparabile cu viteza luminii,

pentru a calcula acest delta lambda.

Deci pornim cu conservarea impulsului.

Conservarea impulsului se scrie simplu

impulsul fotonului în starea inițială

în principiu ar trebui să scriem plus impulsul electronului,

dar el se află în repaus și deci este 0,

egal cu impulsul final, care este suma dintre

impulsul fotonului în starea finală plus impulsul electronului

după împrăștiere.

Ca să reprezentăm vectorial această ecuație,

avem ceva de genul acesta.

Impulsul P0 al fotonului în starea inițială

va fi suma dintre impulsul fotonului în starea finală

și impulsul electronului în starea finală.

Notăm cu θ unghiul dintre direcția fotonului

în starea finală și în starea inițială.

Deci θ este unghiul de împrăștiere al fotonului.

Și să notăm cu α unghiul de la vârful acestui triunghi.

Vă veți vedea imediat de ce.

Putem scrie imediat relația care leagă

mărimile, magnitudinele sau mărimile celor trei impulsuri,

și anume P e pătrat este egal cu P0 pătrat

plus P pătrat minus 2P îmulțit cu P0 cosinus de θ.

De aici putem scrie explicit impulsurile,

putem înlocui explicit valorile impulsurilor,

și anume, după cum am spus, impulsul electronului este egal cu mv,

impulsul inițial al fotonului P0 este h nu-i-0 împărțit la c

și impulsul final al fotonului este h nu-i-1 împărțit la c.

Prin înlocuire obținem următoarea ecuație.

mv, m pătrat, v pătrat, c pătrat,

c pătrat apare datorită faptului că înmulțim ecuația cu c pătrat,

deci acest c pătrat de la numitor îl aducem în față

și deci obținem m pătrat, v pătrat, c pătrat

este egal cu P0 la pătrat rămâne h pătrat nu-i-0 pătrat,

P pătrat rămâne h pătrat nu-i-pătrat,

minus 2h pătrat nu-i-nu-0 cosinus de theta.

Și acum trecem la conservarea energiei.

Conservarea energiei se scrie în felul următor.

Energia fotonului în stare inițială, h nu-i-0,

plus energia electronului în stare inițială care se află în repaus,

deci va fi doar energia de repaus a electronului,

și anume masa de repaus a electronului m0 mulțuită cu c pătrat

va fi egală cu energia finală, după împrăștiere,

care este h nu, energia fotonului, plus m c pătrat,

de data aceasta masa electronului va fi masa de mișcare

pentru că electronul, după împrăștiere, se mișcă.

Ca și comentariu, dacă atomul ar fi fost un atom greu,

și atunci forța de interacție dintre electron și nucleu

nu mai poate fi neglijată,

nu mai putem lucra în aproximația electronului liber,

atunci această conservare a energiei

va fi trebuit să conțină și un lucru mecanic de extracție.

Deci mai există un termen energetic

care este lucru mecanic de extracție a electronului din atomul

în care el este legat.

Dar, din nou, în cazul atomilor ușori,

acest lucru mecanic de extracție este foarte mic

comparat cu celelalte energii.

Vă amintesc din nou că,

spre exemplu, energia fotonului este foarte mare,

ne aflăm în domeniul radiațiilor X sau gamma.

Nu zero și nu sunt mari.

Deci putem neglija pentru atomii ușori acest L.

Scriem această ecuație în felul următor.

mc² este egal cu h nu zero

minus h nu plus m zero c pătrat

și o ridicăm la pătrat,

obținând următoarea ecuație.

Deci, ridicând această ecuație la pătrat,

obținem m pătrat c la patra,

apoi suma pătratelor fiecărui termen,

deci h nu zero pătrat plus h pătrat

nu zero pătrat plus h pătrat nu pătrat

plus m zero pătrat c la pătrat,

acestea sunt pătratele celor trei termeni,

și apoi combinații de tipul 2ab.

Haideți să scriu undeva mai sus.

Ecoația generală ar fi a plus,

sau haideți să scriem cum este,

a minus b plus c la pătrat,

este egal cu a pătrat plus b pătrat plus c pătrat

minus 2ab minus 2bc plus 2ac.

Și în felul acesta obținem această ecuație.

Haideți să le scădem.

Deci scădem din această ecuație

ecuație obținută din conservare a impulsului,

adică aceasta.

Scădem această ecuație minus această ecuație

și obținem m pătrat c pătrat

îmulțit cu c pătrat minus v pătrat

din partea stângă a celor două ecuații.

Din partea dreaptă observăm

că avem câteva simplificări.

Acesta se simplifică cu acesta,

acest termen se simplifică cu acesta.

Obținem în continuare m zero pătrat c la a patra.

Apoi din acești doi termeni putem scrie

2h pătrat nu nu zero

îmulțit cu 1 minus cosinus de theta.

De aici ne rămâne 1

și de aici ne rămâne 1 cosinus de theta.

Deci grupând acești doi termeni

obținem acest termen.

Și apoi ne mai rămân în sfârșit

acești doi termeni din cea de a doua ecuație

din conservare a energiei,

pe care îi rescriem în formă următoare

2h îmulțit cu nu zero minus nu

m zero c pătrat.

În următorul pas vom demonstra

că, de fapt, acești doi termeni sunt egale.

Acest termen este egal cu acest termen

și pot fi simplificați.

Pentru aceasta plecăm de la

ecuația relativista a masei.

Și anume că masa într-un sistem de referință

este egală cu gamma

îmulțită cu masa de repaus

sau masa în sistemul de referință propriu, m zero.

Gamma, vă reamintiți, era definit

ca 1 împărțit la radical

din 1 minus v pătrat pe c pătrat.

Deci putem rescrie ca m zero

este egal cu m ori radical

din 1 minus v pătrat pe c pătrat.

Ridicăm la pătrat și aducem c pătrat în față

și obținem m zero pătrat

îmulțit cu acest c pătrat

va fi egal cu m pătrat

îmulțit cu c pătrat minus v pătrat.

Pe care ecuație o mulțim?

Deci ultimul pas este

mulțit cu c pătrat.

Și atunci observăm că obținem

m zero pătrat c la a patra,

adică acest termen,

este egal cu m pătrat c pătrat

îmulțit cu c pătrat minus v pătrat, adică acest termen.

În concluzie

putem simplifica

acest termen cu acest termen.

Ceea ce înseamnă

putem scrie

mai simplificăm, deci rămânem cu acești

doi termeni aici

și putem simplifica din nou

cu 2h. Avem un termen comun

de 2h pe care îl simplificăm

și deci obținem că

h nu nu zero

mulțit cu 1 minus cosinus de theta

este egal cu nu zero minus nu

m zero c pătrat.

Împărțim la acest

m zero c pătrat și obținem

h nu nu zero

împărțit la m zero c

scuzați, împărțit la m zero c

nu m zero c pătrat, deci m zero c

mulțit cu 1 minus cosinus

de theta, va fi egal

cu un c care rămâne

îmulțit cu

nu zero minus nu.

Deci aceasta este ultima ecuație

pe care am dedus-o.

În pasul următor

folosim

identitatea

1 minus cosinus de theta

este egal cu 2 sinus pătrat

de theta pe 2 și deci

avem h nu nu zero

împărțit la m zero c

mulțit cu 2 sinus

pătrat de theta pe 2. Aceasta este

o identitate trigonometrică.

Deci

acest factor este

egal cu acest factor

din trigonometrie, egal cu c

nu zero minus nu.

În ultimul pas al demonstrației

împărțim prin

produsul

nu zero nu.

Deci sau dacă vreți

înmulțim cu

1 pe nu nu zero

întreaga ecuație.

Și atunci obținem

2 h împărțit

la m zero c

mulțit cu sinus pătrat de theta pe 2

egal cu c împărțit

la nu minus

c împărțit la nu zero.

Și apoi folosim definiția

lungimei de undă.

Vă aduc aminte, lungimea de undă

era egal cu viteza

îmulțită cu perioada

definiția generală.

În cazul unui foton

viteza este c, deci c

c împărțit la frecvență.

Deci c împărțit la frecvență

pentru un foton este lungimea de undă.

Ceea ce înseamnă că

lambda minus

lambda zero este

egal cu 2 h împărțit la

m zero c sinus pătrat de theta

pe 2. Aceasta este

după o demonstrație destul

de laborioasă,

ecuația care o doream și anume

pentru delta lambda. Prin definiție

acesta este delta lambda, deci

variația de lungime de undă

a fotonului în procesul de împrăștiere

pe electronul unui atom

ușor va fi egală cu 2

ori un factor lambda

sinus pătrat de theta pe 2, unde

acest lambda, bineînțeles,

este

definit ca h

împărțit la m zero

constantă a Planck împărțită la masa electronului

mulțită cu viteza luminiei vid

și se numește lungimea de undă Compton.

În cazul

particular al unui electron

m zero

are această

valoare și deci putem calcula

direct lungimea de undă Compton a

electronului ca fiind 2,42

picometri.

Proprietatea cea mai importantă

ce rezultă din această ecuație

este că delta lambda este

mai mare sau egal cu 0.

Deci avem o mărime

pozitivă, lungimea de undă

Compton este pozitiv definită

mulțită cu un sinus la

pătrat, care este și el

pozitiv. Deci delta

lambda este mai mare sau egal cu 0.

Acest

fapt este

esența

efectului Compton. Și anume, variația

lungimii de undă crește

continuu de la valoarea minimă

0 pentru

teta egal cu 0 la teta egal cu 0

adică împrăștiere înainte

a fotonului

sinus de

teta împărțit la 2 este sinus

de 0 care e 0, deci obținem

delta lambda 0 și

apoi ea crește până

la valoarea maximă

care are loc pentru un teta

egal cu 180 de grade. Deci la 180

de grade teta pe 2 devine 90 de grade

când sinus

devine, sinusul acestui

deci valoarea maximă a lui

delta lambda este

2 lambda electron

care are loc

la lungimea de undă

Compton a electronului, care are loc

la împrăștirea înapoi

a fotonului.

Deci delta lambda

este mai mare sau egal cu 0?

Egal cu 0 pentru teta egal cu 0

și maxim pentru teta

egal cu 180. Efectul

Compton este această

apariție a radiațiilor emergente

cu lungime de undă mai mare

decât a radiațiilor

incidente la împrăștirea

razelor X sau gamma într-o substanță

cu atomi ușori. Deci

delta lambda, care este lambda minus

lambda 0, este mai mare sau

egal cu 0? Asta implică,

bineînțeles, că lambda

în efectul Compton este mai mare

sau egal cu lambda 0.

Aceasta este un

fapt esențial, deoarece

în modelul

ondulatoriu al luminii

nu putem avea un astfel

de efect. Într-un model

ondulatoriu al acestui tip de

interacție, delta lambda

trebuie să fie egal cu 0,

indiferent de valoarea unghiului

teta sau a altor parametrii.

Fac ce se întâmplă

într-o modelare

cu ajutorul modelului ondulatoriu,

am avea radiația

care ar

interacționa

cu electronul, l-ar

pune pe acesta, pe

electron, într-o mișcare

oscilatorie

de frecvență egală cu

nu 0

și când

energia transferată de foton

electronului aflat

în această mișcare

oscilatorie e suficientă pentru

a rupe din atom, acest electron

se va desprinde

și

va ieși din material.

Radiația împrăștiată,

având și ea tot

valoarea nu 0.

Într-un model ondulatoriu

delta lambda

este egal cu 0

sau dacă ținem cont

de faptul că electronul

are o interacție

cu nucleul său, ar putea

adică aceste ocații

induse ale electronului, induse

de către fotonul

incident sunt

amortizate,

atunci acest delta

lambda poate scădea ușor, dar

niciun caz într-un model ondulatoriu

nu putem avea

o creștere

substanțială a

lui lambda

după împrăștiere.

Modelul ondulatoriu

eșuiază

fundamental

în a explica

rezultatele experimentului

Compton, pe când,

după cum vedem din toate aceste

demonstratii, modelul corpuscular

al radiații electromagnetice

verifică

sau explică

foarte ușor

rezultatele experimentale,

care sunt în concordanță cu aceste formule.