Ecuaţia undei plane. Proprietăţile undei plane.

În cea de-a șaptea lecție despre oscilații și unde mecanice vom discuta despre ecuația undei plane.

În lecția precedentă am introdus modelul undei plane,

care conține două condiții.

Prima condiție, asupra mediului, este ca el să fie elastic, nedisipativ și omogen.

Cea de-a doua condiție este ca unda să fie plană,

ceea ce se întâmplă, după cum am discutat, la distanțe suficient de mari de sursă.

La distanțe suficient de mari de sursă, situația reprezentată prin partea roșie acestui desen,

deci se consideră că aer este suficient de mari față de sursa de unde pornește unda,

se poate aproxima suprafața de undă, care este întotdeauna sferică,

se poate aproxima aceasta printr-o suprafață plană.

În acest caz, viteza undei, numită și viteză de fază,

e constantă și perpendiculară pe suprafața plană de undă,

după cum este reprezentat aici.

Deci viteza V este aceeași pentru toți oscilatorii de pe suprafață de undă

și este perpendiculară pe suprafața de undă, care este plană.

Ca și observație, noțiunile de viteza undei și viteză de oscilație a unui oscilator din undă

sunt principial diferite, ele reprezintă mărimi diferite.

În acest desen, viteza undei este cu săgeată albastră și reprezintă viteza de propagare a undei,

iar viteza de oscilație a unui oscilator individual este reprezentată cu roșu.

Haideți să discutăm care sunt implicațiile asupra undei plane

a faptului că mediul are aceste trei proprietăți.

Dacă mediul este elastic, unda este formată din oscilații armonice.

Toate aceste oscilații individuale sunt armonice.

După cum am discutat în lecțiile despre oscilatori, lecțiile precedente,

dacă forța ce acționează asupra unui oscilator este de tip elastic,

atunci oscilatorul se numește armonic și are această formă sau formulă a elongații.

Asta înseamnă că dacă considerăm un oscilator,

oarecare, spre exemplu acesta, aflat în poziția R față de sursa care se află în centru,

elongația lui Yt are forma A, amplitudinea, care este dependentă de poziția R,

sinus de omega, pulsatia, care și ea depinde în principiu de poziția R mulțită cu timp.

Putem avea și o fază fii 0, o fază inițială fii 0 în argumentul funcției sinus,

dar o considerăm aici egală cu 0, faza inițială.

Dacă mediul este nedisipativ,

asta înseamnă că unda nu pierde energie pe măsură ce se propagă în mediu,

atunci amplitudinea oscilațiilor individuale este constantă pentru toți oscilatorii undei,

după cum e reprezentat în acest desen.

Mărimea acestor săgeți verticale roșii nu scade pe măsură ce ne îndepărtăm de sursa.

Deci, în acest caz al mediului nedisipativ,

amplitudinea nu depinde de poziție și este o constantă.

Dacă mediul este și omogen, atunci pulsatia nu depinde de poziție,

este o constantă pentru toți oscilatorii undei și deci, în acest caz,

omega nu depinde de R.

Deci, în cazul unui mediu elastic, nedisipativ și omogen,

avem următoarea formulă pentru elongația oscilatorilor,

Y la momentul t, care corespunde unei poziții R,

este egal cu A, același A, sinus de omega, aceloși omega,

singura diferență fiind timpul t.

Pentru că diferiți oscilatori sunt porniți în oscilația lor la diferite momente,

și anume momentele în care unde a ajuns în poziția oscilatorului respectiv.

Deci, la un moment dat t, elongația perturbației la sursă,

Y în S de t, este A sinus de omega t,

iar elongația perturbației într-un punct P, să notăm cu P

acest punct la o poziție oarecare, R sau X.

Elongația perturbației într-un punct P aflat la distanța X de sursă

este Y la momentul t prim,

egal cu A sinus de omega t prim,

același A, același omega, diferența este t prim,

unde t prim este timpul t minus timpul care îi trebuie unde-i,

timpul necesar unde-i pentru a ajunge din sursă în P.

Pur și simplu, oscilația din punctul P începe mai târziu față de oscilația din sursă,

și anume, diferența de timp între cele două oscilații este X,

distanța de la sursă la punctul P, împărțită la viteza de propagare.

Deci, Y în punctul P de t, va fi A sinus de omega,

înmulțit cu t minus X pe V.

Funcția ce descrie perturbația provocată de undă

într-un punct aflat la distanța X față de sursă la momentul t,

este în concluzie această.

Deci, am notat cu U de X și t

elongația noastră a punctului P la momentul t prim,

despre care am discutat.

Deci, U de X și t are această dependență.

Dar, omega împărțit la viteza, viteza undei,

poate fi scris ca 2 pi împărțit la perioada oscilației,

omega, pulsația, este 2 pi împărțit la t.

De asemeni, prin definiție, viteza undei mulțită cu perioada oscilației

este lungimea de undă.

Deci, omega împărțit la V este 2 pi pe lambda.

Notăm această mărime, 2 pi pe lambda, cu k

și o numim număr de undă.

Deci, prin definiție, 2 pi pe lambda se numește număr de undă

și se notează cu k.

În concluzie, forma undei,

într-un punct X oarecare și la un moment dat t,

este egală cu a sinus de omega t minus kx.

Aceasta este ecuația undei plane.

Într-un mediu omogen, nedisipativ și elastic.

Dacă mediul este disipativ, adică apar forțe rezistente,

care au, după cum am discutat în lecția despre oscilatorii amortizații,

forțele rezistive sau rezistente au această formă.

Ele sunt proporționale cu viteza, au semn opus

și constanta de proporționalitate este R.

Deci, dacă pe lângă forța elastică apare și o forță rezistivă,

atunci ecuația undei plane este următoarea.

Pur și simplu, amplitudinea, care este o constantă,

devine dependentă de timp și printr-o funcție exponențială,

e la minus alfa t.

Pentru a revedea cazul mediulor disipative

și al oscilațiilor amortizate,

vă rog să revedeți lecția despre oscilatori amortizați.

Unde a0 este amplitudinea oscilației la sursă,

la timpul 0,

și alfa este un coeficient de atenuare

care este legat de constanta R a forței rezistive

prin următoarea ecuație.

Deci alfa, prin definiție, este R împărțit la 2M.

Unde R este această constantă ce apare în forța rezistivă.

Haideți să discutăm acum despre proprietățile

ce rezultă din ecuația undei plane.

Deci proprietățile undei plane.

În primul rând, proprietățile de periodicitate în spațiu și timp.

Punctele de pe o undă plană oscilează în fază,

adică ating simultan aceeași poziție a elongației,

au, spre exemplu, simultan maximum,

sau au simultan minimum,

sau au simultan valoarea 0 a elongației,

dacă fazele lor diferă prin un multiplu par de pi.

Deci delta fi, diferența de fază dintre două puncte, oarecare,

este egală cu omega delta t minus k delta x.

Asta vine din definiția fazei.

Deci faza undei plane într-o poziție x și la un moment dat t,

datorită ecuației undei plane,

este omega t minus k x.

Deci delta fi va fi omega delta t minus k delta x.

Și punem condiția că această diferență de fază să fie

un multiplu par de pi pentru a avea oscilație în fază,

sinusul fiind 0.

Deci, dacă oscilațiile sau punctele

se află la același moment dat t, în cazul acesta particular,

ceea ce înseamnă că ele se află pe aceeași suprafață de undă,

deci considerăm cazul particular al punctelor aflate

pe aceeași suprafață de undă.

Atunci ecuația devine k delta x egal cu 2npi.

La același moment dat t înseamnă delta t egal cu 0.

Și deci condiția de oscilație în fază

a punctelor de pe aceeași suprafață de undă

este delta x egal cu n lambda.

Pentru că k, vă readuc aminte,

k este definit ca 2pi pe lambda.

Deci delta x este un multiplu de lambda.

La aceeași distanță, pentru punctele ce se află la aceeași distanță x,

dar momente diferite,

deci delta x este egal cu 0,

avem condiția omega delta t egal cu 2npi.

Dar, vă readuc aminte, omega

este, prin definiție, pulsatia este 2pi

pe perioada t.

Deci rezultă că

punctele oscilează în fază

aflându-se la aceeași distanță de sursă

dacă diferența lor temporală

este un multiplu de perioada t.

Deci

lambda și t

descriu proprietățile de periodicitate ale undei

în spațiu și respectiv timp.

Asta înseamnă, matematic scris, că

formula sau ecuația pentru unda plană

este aceeași dacă

adunăm sau creștem

poziția x printr-un multiplu de lambda

sau timpul t printr-un multiplu de perioadă

sau amândouă.

Unda plană este

invariantă, nu variază la aceste operații.

Este periodică.

O altă proprietate este

intensitatea undei plane.

Intensitatea este energia transferată de undă

pe unitatea de suprafață și timp

în direcția de propagare a undei, adică

de-a lungul vitezei undei.

Să notăm, pentru a calcula această intensitate,

să notăm cu N numărul de oscilatori

ai undei în volumul de suprafață S și lungime Vt,

viteză ori timp, pentru a calcula

energia pe suprafață și timp

și cu W energia unui oscilator individual al undei.

Deci considerăm

pe suprafața de undă plană

care se deplasează cu viteza V

o suprafață S

și un volum de lungime Vt.

Deci un cilindru

cu suprafața S și înălțimea sau lungimea Vt

din undă.

Atunci, prin definiție, intensitatea

este energia totală a undei din acest volum

împărțit la suprafața și timpul t.

Dacă W mic este energia unui oscilator,

atunci aceasta este egal cu numărul de oscilatori din volumul respectiv

împărțită cu energia unui oscilator împărțit la St.

Dar știm din lecțiile

despre oscilatorii armonici

că un oscilator armonic are energia negul masa lui

împărțită cu pulsatia la pătrat

și amplitudinea oscilației armonice la pătrat

împărțită la 2.

Înlocuind, obținem pentru intensitatea undei plane

următoarea ecuație.

1 pe 2 N or M împărțit la St

împărțit cu omega pătrat a pătrat.

Și vrem să scriem în continuare

ecuația pentru acest factor.

N M împărțit la St

N or M este egală cu masa din acest volum.

N este numărul de oscilatori

M mic este masa unui oscilator

deci aceasta este masa tuturor oscilatorilor.

Aceasta este egală cu densitatea de oscilatori

densitatea de particule împulsită cu volumul V

al suprafeței, al undei

în considerate.

Deci N or M în final este egal cu

densitatea împulsită cu suprafața S

împulsită cu lungimea care este viteza

ori timpul.

Înlocuind acest N M în ecuația noastră

observăm că St se simplifică și obținem ecuația

finală pentru intensitatea

unei unde plane ca fiind

1 pe 2 împulsită cu densitatea de particule

împulsită cu viteza undei și împulsită

cu pulsația unui oscilator

la pătrat și amplitudinea

oscilațiilor la pătrat.