Echilibrul de translaţie. Echilibrul punctului material supus la legături.

În prima lecție de statică vom discuta despre echilibrul de translație.

Echilibrul de translație a unui punct material are loc când rezultanta forțelor externe,

ce acționează asupra corpului, este egală cu 0.

Punctul material a fost definit în prima lecție de cinematică

și este practic un corp cu dimensiuni neglijabile.

Considerăm un punct material nu pentru că, dacă corpul ar avea dimensiuni,

atunci această ecuație, r, egal cu 0, nu ar implica un echilibru de translație,

ci datorită faptului că, dacă corpul are dimensiuni, pe lângă translație obținem și alte mișcări,

mai precis mișcarea de rotație, și dorim să adresăm separat acest tip de echilibru,

echilibru de rotație, într-o lecție viitoare.

Deci, din nou, vorbim despre puncte materiale pentru a separa translația de rotație.

Dacă punctul are dimensiuni, atunci echilibrul de translație se obține în aceiași condiții,

și anume rezultanta egal cu 0.

Un alt comentariu este că această ecuație vine direct din ecuația fundamentală a dinamicii,

care era f, egal cu ma, în cazul în care această forță este egală cu 0,

accelerația este 0, ceea ce înseamnă că corpul este ori în repaus, ori în mișcare,

rectilinie uniformă, aceasta fiind definiția unui echilibru de translație.

Deci statica, în general, este un caz particular al dinamicii.

Să considerăm un exemplu simplu.

Avem două resorturi legate în serie.

Deci un prim resort atașat de un tavan,

care apoi, într-un punct A, este atașat de un alt resort,

care are la capăt un corp de greutate g.

Aceasta fiind așa numită alegare în serie a celor două resorturi.

Cunoaștem constantele K1 și K2 ale celor două resorturi.

Deci avem K1, K2, cunoaștem și masa corpului

și știm că întregul sistem se află în echilibru de translație.

Dorim să calculăm, în acest caz,

alungirile celor două resorturi, X1 și X2.

Putem scrie ecuația pentru echilibru de translație în punctul C.

Deci în C avem acest echilibru de translație

și deci avem că forța elastică F2 a resortului 2

plus greutatea corpului,

acestea sunt cele două forțe care acționează în punctul C,

suma lor este 0.

Alegem o axă de coordonate, OX, care este cea verticală,

și proiectând această ecuație pe axa OX,

obținem că F2 este egală cu G.

F2 fiind o forță elastică,

va fi egală cu constanta elastică a resortului 2

mulțită cu alungirea lui, care este egal cu MG.

Rezultă că X2 este egal cu MG împărțit la K2.

De asemeni, punctul A se află în echilibru de translație,

pentru că întreg sistemul se află în echilibru de translație.

Deci putem scrie că forțele din A,

care sunt F1, forța elastică a primului resort,

și F2',

forța elastică a celui de la resortul 2 în punctul A,

au o sumă egală cu 0.

Deci F1 plus F2' este egal cu 0.

Proiectând pe axa OX, obținem că F1 este egal cu F2'.

Dar în cazul în care masele celor două resorturi,

MR1 și MR2,

sunt mult mai mici decât masa M a corpului,

ceea ce aproape întotdeauna este cazul,

avem că F2' este egal cu F2'.

Deci, dacă resortul 2 are o masă neglijabilă,

cele două forțe elastice de la capetele lui

sunt egale.

Asta pentru că între F2' și F2',

singura forță posibilă, plauzibilă,

este greutatea resortului.

Ca și comentariu,

dacă nu am avea acest caz,

atunci relația s-ar scrie așa,

MR2g, masa celui de la resortul 2,

plus F2' este egal cu F2'.

Dar aproape întotdeauna avem această situație.

În concluzie obținem că F1 este egal cu F2,

adică K1x1 este egal cu K2x2.

Și astfel obținem ecuația pentru elongația x1

a primului resort,

care este K2 împărțit la K1x2.

X2, evident, îl știm din prima ecuație.

Să trecem la echilibru de translație

al punctului material supus acțiunii a trei forțe.

Deci avem trei forțe, F1, F2, F3,

care acționează asupra unui material

care se află la intersecția celor trei forțe.

Echilibrul se va obține atunci când

F1 plus F2 plus F3

suma vectorială este egală cu 0,

după cum am vorbit.

Această ecuație poate fi scrisă în mai multe feluri.

O putem scrie în felul următor.

F1 plus F2

este egal cu minus F3.

Adică rezultanta R a forților 1 și 2,

suma lor, este egal cu minus F3.

După cum se vede din această diagramă,

putem foarte bine vedea când se întâmplă această situație

folosind regula paralelogramului

pentru adunarea lui F1 și F2.

Deci, F1 plus F2, adică R12,

este acest vector,

care va fi egal cu minus F3.

Dar această ecuație de echilibru

mai poate fi scrisă și,

spre exemplu, F1 plus F3.

Egal cu minus F2.

Adică R13

egal cu minus F2.

Care, la fel, foarte ușor poate fi obținută

schematic din aceeași diagramă,

dar adunând de data aceasta vectorii 1 și 3.

Deci, folosim regula paralelogramului.

Construim, folosind vectorii 1 și 3,

un paralelogram.

Suma lor va fi diagonală.

Deci, acesta este R13.

Și, într-adevăr, obținem că R13 este egal cu minus F2.

Nu mai desenez schema echivalentă,

dar putem scrie la ultimul caz

F2 plus F3

este egal cu minus F1.

Care ar însemna că R23,

rezultanta forțelor 2 și 3, este egal cu minus F1.

În concluzie, în cazul

echilibrului punctui material supus acțiunea 3 forțe,

oricare dintre ceile 3 forțe

are magnitudinea egală

și aceeași direcție, dar sens opus,

rezultantei celorlalte două forțe.

O altă concluzie importantă este că,

în acest caz, pentru ca

echilibrul, ca punctul să se afle

în echilibru, punctul

de la intersecția celor 3 forțe

să se afle în echilibru, trebuie ca

cele 3 forțe să fie coplanare.

F1, F2 și F3

trebuie să fie coplanare

în același plan. Altfel, nu am putea

avea aceste relații.

Să considerăm următorul exemplu

de echilibru la translație

sub acțiunea 3 forțe.

Avem un cablu atașat

de un perete cu ajutorul unui cârlig

care este tras la celălalt capăt

cu o forță orizontală F

și undeva la mișlocul cablului se află

atașat un corp

cu o greutate G.

Se dau masa

corpului

de 40 kg

forța orizontală de 300 N

se știe că

întreg sistemul este în echilibru

și dorim să aflăm tensiunea T

din cablu, atât magnitudinea ei

cât și orientarea, exprimată prin unghiul alpha

cu verticala.

Și aceasta va fi tensiunea T

pe care dorim să o aflăm.

Punctul A se află în echilibru

și putem scrie

că suma forțelor

care acționează în punctul A

și anume T plus F plus G

este egală cu 0.

După cum am văzut, asta implică

că T este egală cu minus R

unde R este rezultanta forțelor F și G.

Deoarece forța F este

orizontală în cazul nostru

și G este întotdeauna verticală

rezultă că F este perpendicular pe G.

Și deci avem următoarele forțe

în punctul A.

F, orizontală, din nou

G, verticală

între ele avem unghi de 90 de grade

și ele vor

da o forță rezultantă R

suma lor este egală cu R

și datorită faptului că A este în echilibru

tensiunea T va fi egală

și de sens opus lui R

unghiul alpha fiind acesta.

Deci R pătrat este egal cu

F pătrat plus G pătrat.

Aceasta este teorema lui Pitagora

care se poate aplica

datorită faptului că toate aceste unghiuri sunt 90 de grade.

Deci ipotenuza la pătrat

R pătrat egal cu suma catetelor la pătrat

F pătrat plus G pătrat.

Deci putem înlocui

300 de newton la pătrat

plus G care este masa

40 de kg mulțit cu

accelerația gravitațională pe care o luăm egală cu 10

deci aproximăm G

cu 10 secunde la pătrat

în loc de 9,8 pentru simplificarea calcului

rezultă că R este egal cu

500 de newton.

Din

prima ecuație, ce rezultă din

echilibrului a, rezultă că tensiunea

în cablu va fi egală cu 500

de newton.

Pentru a calcula orientarea tensiunii

folosim faptul că tangentă de alfa

este egală cu F

supra G. Deci tangent de alfa este

cateta opusă care este F împărțită la cateta

alăturată care este G. Deci 300

împărțit la 400

egal cu 0,75

rezultă că alfa este

egal cu 37 de grade.

Echilibrul unui corp cu legături.

Se numește legătură orice cauză ce limitează mișcarea

unui corp. Exemple de legături

sunt firele, resorturile,

pereții sau suprafețele în contact

cu corpul luat în considerare,

cablurile și așa mai departe.

Forțele de legătură depind de tipul legăturii.

Forțele de legătură din fir se numesc tensiuni,

din resorturi se numesc forțe elastice,

în cazul unei perețe sau unei suprafețe se numește

forță normală și așa mai departe.

Toate aceste forțe de legături trebuie adăugate la forța rezultantă

ce e nulă în cazul unei echilibri la translație.

Pentru a exemplifica,

să considerăm următorul caz, avem un plan

înclinat

cu un unghi alpha

pe care se află un corp

ce este atașat de un resort

care este fixat.

Cunoaștem greutatea g

a corpului, unghiul alpha

al planului inclinat

și neglijăm forța de frecare

pentru moment în această problemă.

Se mai dă de asemeni și

constanta elastică

a resortului.

Dorim să calculăm

forțele de legătură.

Din această problemă,

știind că corpul se află în echilibru.

Deci, ce este în echilibru?

Deci, avem o singură forță

greutatea

restul fiind forțe de legături.

Să vedem care sunt forțele de legătură.

În primul rând, avem o forță de legătură

datorată resortului care este o forță de tip elastic

FE. Deci, prima forță de legătură este FE.

Cea de-a doua forță de legătură

este forța normală

a suprafeței

care este reacțiunea suprafeței

la acțiunea corpului prin greutatea g asupra lui.

Deoarece corpul este în echilibru,

putem scrie că g

plus n plus fe

sunt egale cu 0.

Corpul este în echilibru. Asta înseamnă

că suma forțelor ce acționează asupra lui

este 0. Alegem un sistem

de coordonate. Deci, alegem

OXY

cu OX

de-a lungul planului

și OY perpendiculară pe plan.

Și atunci putem scrie pe OX

că forța elastică

este egală cu

componenta greutății de-a lungul

axei X.

Deci, forța elastică este egală

cu MG sin alfa

și pe OY

avem cealaltă

forță de legătură și anume forța normală

care este egală cu GY.

Deci, forța normală

va fi MG cos alfa.

Acestea sunt cele două forțe de legătură

care limitează

mișcarea corpului.

Forța elastică o limitează în

direcția OX. Forța normală

o limitează în direcția OY

și ele sunt legate

de greutate prin aceste două relații

în cazul în care C este în echilibru.