Transcript: Echilibrul de translaţie. Echilibrul punctului material supus la legături.

În prima lecție de statică vom discuta despre echilibrul de translație.
Echilibrul de translație a unui punct material are loc când rezultanta forțelor externe,
ce acționează asupra corpului, este egală cu 0.
Punctul material a fost definit în prima lecție de cinematică
și este practic un corp cu dimensiuni neglijabile.
Considerăm un punct material nu pentru că, dacă corpul ar avea dimensiuni,
atunci această ecuație, r, egal cu 0, nu ar implica un echilibru de translație,
ci datorită faptului că, dacă corpul are dimensiuni, pe lângă translație obținem și alte mișcări,
mai precis mișcarea de rotație, și dorim să adresăm separat acest tip de echilibru,
echilibru de rotație, într-o lecție viitoare.
Deci, din nou, vorbim despre puncte materiale pentru a separa translația de rotație.
Dacă punctul are dimensiuni, atunci echilibrul de translație se obține în aceiași condiții,
și anume rezultanta egal cu 0.
Un alt comentariu este că această ecuație vine direct din ecuația fundamentală a dinamicii,
care era f, egal cu ma, în cazul în care această forță este egală cu 0,
accelerația este 0, ceea ce înseamnă că corpul este ori în repaus, ori în mișcare,
rectilinie uniformă, aceasta fiind definiția unui echilibru de translație.
Deci statica, în general, este un caz particular al dinamicii.
Să considerăm un exemplu simplu.
Avem două resorturi legate în serie.
Deci un prim resort atașat de un tavan,
care apoi, într-un punct A, este atașat de un alt resort,
care are la capăt un corp de greutate g.
Aceasta fiind așa numită alegare în serie a celor două resorturi.
Cunoaștem constantele K1 și K2 ale celor două resorturi.
Deci avem K1, K2, cunoaștem și masa corpului
și știm că întregul sistem se află în echilibru de translație.
Dorim să calculăm, în acest caz,
alungirile celor două resorturi, X1 și X2.
Putem scrie ecuația pentru echilibru de translație în punctul C.
Deci în C avem acest echilibru de translație
și deci avem că forța elastică F2 a resortului 2
plus greutatea corpului,
acestea sunt cele două forțe care acționează în punctul C,
suma lor este 0.
Alegem o axă de coordonate, OX, care este cea verticală,
și proiectând această ecuație pe axa OX,
obținem că F2 este egală cu G.
F2 fiind o forță elastică,
va fi egală cu constanta elastică a resortului 2
mulțită cu alungirea lui, care este egal cu MG.
Rezultă că X2 este egal cu MG împărțit la K2.
De asemeni, punctul A se află în echilibru de translație,
pentru că întreg sistemul se află în echilibru de translație.
Deci putem scrie că forțele din A,
care sunt F1, forța elastică a primului resort,
și F2',
forța elastică a celui de la resortul 2 în punctul A,
au o sumă egală cu 0.
Deci F1 plus F2' este egal cu 0.
Proiectând pe axa OX, obținem că F1 este egal cu F2'.
Dar în cazul în care masele celor două resorturi,
MR1 și MR2,
sunt mult mai mici decât masa M a corpului,
ceea ce aproape întotdeauna este cazul,
avem că F2' este egal cu F2'.
Deci, dacă resortul 2 are o masă neglijabilă,
cele două forțe elastice de la capetele lui
sunt egale.
Asta pentru că între F2' și F2',
singura forță posibilă, plauzibilă,
este greutatea resortului.
Ca și comentariu,
dacă nu am avea acest caz,
atunci relația s-ar scrie așa,
MR2g, masa celui de la resortul 2,
plus F2' este egal cu F2'.
Dar aproape întotdeauna avem această situație.
În concluzie obținem că F1 este egal cu F2,
adică K1x1 este egal cu K2x2.
Și astfel obținem ecuația pentru elongația x1
a primului resort,
care este K2 împărțit la K1x2.
X2, evident, îl știm din prima ecuație.
Să trecem la echilibru de translație
al punctului material supus acțiunii a trei forțe.
Deci avem trei forțe, F1, F2, F3,
care acționează asupra unui material
care se află la intersecția celor trei forțe.
Echilibrul se va obține atunci când
F1 plus F2 plus F3
suma vectorială este egală cu 0,
după cum am vorbit.
Această ecuație poate fi scrisă în mai multe feluri.
O putem scrie în felul următor.
F1 plus F2
este egal cu minus F3.
Adică rezultanta R a forților 1 și 2,
suma lor, este egal cu minus F3.
După cum se vede din această diagramă,
putem foarte bine vedea când se întâmplă această situație
folosind regula paralelogramului
pentru adunarea lui F1 și F2.
Deci, F1 plus F2, adică R12,
este acest vector,
care va fi egal cu minus F3.
Dar această ecuație de echilibru
mai poate fi scrisă și,
spre exemplu, F1 plus F3.
Egal cu minus F2.
Adică R13
egal cu minus F2.
Care, la fel, foarte ușor poate fi obținută
schematic din aceeași diagramă,
dar adunând de data aceasta vectorii 1 și 3.
Deci, folosim regula paralelogramului.
Construim, folosind vectorii 1 și 3,
un paralelogram.
Suma lor va fi diagonală.
Deci, acesta este R13.
Și, într-adevăr, obținem că R13 este egal cu minus F2.
Nu mai desenez schema echivalentă,
dar putem scrie la ultimul caz
F2 plus F3
este egal cu minus F1.
Care ar însemna că R23,
rezultanta forțelor 2 și 3, este egal cu minus F1.
În concluzie, în cazul
echilibrului punctui material supus acțiunea 3 forțe,
oricare dintre ceile 3 forțe
are magnitudinea egală
și aceeași direcție, dar sens opus,
rezultantei celorlalte două forțe.
O altă concluzie importantă este că,
în acest caz, pentru ca
echilibrul, ca punctul să se afle
în echilibru, punctul
de la intersecția celor 3 forțe
să se afle în echilibru, trebuie ca
cele 3 forțe să fie coplanare.
F1, F2 și F3
trebuie să fie coplanare
în același plan. Altfel, nu am putea
avea aceste relații.
Să considerăm următorul exemplu
de echilibru la translație
sub acțiunea 3 forțe.
Avem un cablu atașat
de un perete cu ajutorul unui cârlig
care este tras la celălalt capăt
cu o forță orizontală F
și undeva la mișlocul cablului se află
atașat un corp
cu o greutate G.
Se dau masa
corpului
de 40 kg
forța orizontală de 300 N
se știe că
întreg sistemul este în echilibru
și dorim să aflăm tensiunea T
din cablu, atât magnitudinea ei
cât și orientarea, exprimată prin unghiul alpha
cu verticala.
Și aceasta va fi tensiunea T
pe care dorim să o aflăm.
Punctul A se află în echilibru
și putem scrie
că suma forțelor
care acționează în punctul A
și anume T plus F plus G
este egală cu 0.
După cum am văzut, asta implică
că T este egală cu minus R
unde R este rezultanta forțelor F și G.
Deoarece forța F este
orizontală în cazul nostru
și G este întotdeauna verticală
rezultă că F este perpendicular pe G.
Și deci avem următoarele forțe
în punctul A.
F, orizontală, din nou
G, verticală
între ele avem unghi de 90 de grade
și ele vor
da o forță rezultantă R
suma lor este egală cu R
și datorită faptului că A este în echilibru
tensiunea T va fi egală
și de sens opus lui R
unghiul alpha fiind acesta.
Deci R pătrat este egal cu
F pătrat plus G pătrat.
Aceasta este teorema lui Pitagora
care se poate aplica
datorită faptului că toate aceste unghiuri sunt 90 de grade.
Deci ipotenuza la pătrat
R pătrat egal cu suma catetelor la pătrat
F pătrat plus G pătrat.
Deci putem înlocui
300 de newton la pătrat
plus G care este masa
40 de kg mulțit cu
accelerația gravitațională pe care o luăm egală cu 10
deci aproximăm G
cu 10 secunde la pătrat
în loc de 9,8 pentru simplificarea calcului
rezultă că R este egal cu
500 de newton.
Din
prima ecuație, ce rezultă din
echilibrului a, rezultă că tensiunea
în cablu va fi egală cu 500
de newton.
Pentru a calcula orientarea tensiunii
folosim faptul că tangentă de alfa
este egală cu F
supra G. Deci tangent de alfa este
cateta opusă care este F împărțită la cateta
alăturată care este G. Deci 300
împărțit la 400
egal cu 0,75
rezultă că alfa este
egal cu 37 de grade.
Echilibrul unui corp cu legături.
Se numește legătură orice cauză ce limitează mișcarea
unui corp. Exemple de legături
sunt firele, resorturile,
pereții sau suprafețele în contact
cu corpul luat în considerare,
cablurile și așa mai departe.
Forțele de legătură depind de tipul legăturii.
Forțele de legătură din fir se numesc tensiuni,
din resorturi se numesc forțe elastice,
în cazul unei perețe sau unei suprafețe se numește
forță normală și așa mai departe.
Toate aceste forțe de legături trebuie adăugate la forța rezultantă
ce e nulă în cazul unei echilibri la translație.
Pentru a exemplifica,
să considerăm următorul caz, avem un plan
înclinat
cu un unghi alpha
pe care se află un corp
ce este atașat de un resort
care este fixat.
Cunoaștem greutatea g
a corpului, unghiul alpha
al planului inclinat
și neglijăm forța de frecare
pentru moment în această problemă.
Se mai dă de asemeni și
constanta elastică
a resortului.
Dorim să calculăm
forțele de legătură.
Din această problemă,
știind că corpul se află în echilibru.
Deci, ce este în echilibru?
Deci, avem o singură forță
greutatea
restul fiind forțe de legături.
Să vedem care sunt forțele de legătură.
În primul rând, avem o forță de legătură
datorată resortului care este o forță de tip elastic
FE. Deci, prima forță de legătură este FE.
Cea de-a doua forță de legătură
este forța normală
a suprafeței
care este reacțiunea suprafeței
la acțiunea corpului prin greutatea g asupra lui.
Deoarece corpul este în echilibru,
putem scrie că g
plus n plus fe
sunt egale cu 0.
Corpul este în echilibru. Asta înseamnă
că suma forțelor ce acționează asupra lui
este 0. Alegem un sistem
de coordonate. Deci, alegem
OXY
cu OX
de-a lungul planului
și OY perpendiculară pe plan.
Și atunci putem scrie pe OX
că forța elastică
este egală cu
componenta greutății de-a lungul
axei X.
Deci, forța elastică este egală
cu MG sin alfa
și pe OY
avem cealaltă
forță de legătură și anume forța normală
care este egală cu GY.
Deci, forța normală
va fi MG cos alfa.
Acestea sunt cele două forțe de legătură
care limitează
mișcarea corpului.
Forța elastică o limitează în
direcția OX. Forța normală
o limitează în direcția OY
și ele sunt legate
de greutate prin aceste două relații
în cazul în care C este în echilibru.