Drepte perpendiculare în spațiu

Să vorbim acum despre drepte perpendiculare în spațiu. Despre unghiul făcut de două drepte în spațiu am mai discutat și în alte secvențe

și haide să ne reamintim pe scurt că dacă avem două drepte necoplanare, cum sunt dreptele A și B, atunci, ca să găsim măsura unghiului format de ele,

trebuie ca prin același punct al spațiului, de exemplu prin punctul O, să construim o paralelă la fiecare din cele două drepte.

Deci construim o paralelă la dreapta A prin punctul O și o vom nota A prim și tot prin punctul O construim o paralelă la dreapta B și o vom nota B prim.

Măsura unghiului format de dreptele A și B e dat, de fapt, de măsura acestui unghi, măsura unghiului format de dreptele A prim și B prim.

Ce înțelegem acum prin drepte perpendiculare în spațiu?

Două drepte în spațiu se numesc perpendiculare dacă paralelele lor duse prin același punct al spațiului sunt perpendiculare.

Deci haideți să facem un asemenea desen.

Să spunem că avem două drepte necoplanare, de indice 1 și o altă dreaptă, o voi trasa așa, de indice 2.

Atenție, ca să reprezentăm în spațiu două drepte necoplanare și perpendiculare nu e neapărat să facem acest desen, putem să le reprezentăm și astfel.

Deci nu e neapărat ca aceste linii, cea verticală și cea orizontală întreruptă să fie chiar perpendiculare.

Două drepte am spus că în spațiu sunt perpendiculare dacă paralelele lor duse prin același punct al spațiului, de exemplu prin punctul oprim, vom duce o paralelă la dreapta D1' și prin același punct ducem o paralelă la dreapta D2'.

Deci D1 și D1' sunt drepte paralele, dreptele D2 și D2' sunt și ele paralele și atunci dacă dreptele D1' și D2' sunt perpendiculare, deci D1' perpendiculară pe D2', atunci rezultă, conform definiției, că dreptele D1 și D2' sunt perpendiculare.

Cu alte cuvinte avem această definiție, două drepte în spațiu se numesc perpendiculare dacă paralelele lor, iată, paralelele lor duse prin același punct al spațiului, aici a fost oprim, sunt perpendiculare.

Și haideți să facem acum și o aplicație. Ni se dă cubul ABCD A'B'C'D' și vrem să arătăm că dreptele A'C'DB sunt perpendiculare. A'C' trasăm și mai avem dreapta DB, adică ce avem aici.

Avem două drepte necoplanare, cum facem să arătăm că ele sunt perpendiculare? Prin același punct al spațiului trebuie să construim paralele la aceste două drepte sau putem să facem mai simplu, așa cum am învățat când am determinat măsura unghiului a două drepte necoplanare. Cum facem?

Pe una din cele două drepte ne alegem un punct, iar prin punctul acela ducem o paralelă la cealaltă dreaptă și apoi calculăm măsura unghiului format de cele două drepte. Ce punct să alegem acum?

Putem să alegem punctul de intersecție al diagonalelor A'C'D'B' și voi nota cu O acest punct de intersecție A'C'D'B' și avem aici punctul O. De ce ne este de folos acest punct de intersecție al diagonalelor?

Pentru că D'B' și D'B sunt cum? Sunt paralele. Deci notăm aici că dreapta D'B este paralelă cu D'B' din ce cauză? Pentru că D'B'B'D este paralelogram. Am mai făcut această demonstrație și în alte secvențe, nu o mai repetăm.

Și acum ce am obținut? Prin punctul O care se află pe dreapta A'C' am construit o paralelă la dreapta D'B, adică D'B'. Asta înseamnă că măsura unghiului format de A'C' și D'B' este măsura acestui unghi format de dreptele D'B' și A'C'.

Deci trecem aici că măsura unghiului format de dreptele A'C' și D'B' este egală cu măsura unghiului format de dreptele A'C' și dreapta D'B' înlocuind cu paralela ei, adică D'B'.

Câte grade are acest unghi format de cele două drepte? Avem diagonale într-un pătrat și noi știm că diagonale într-un pătrat sunt perpendiculare, deci avem aici un unghi de 90 de grade.

Haideți să trecem semnul și vom trece și aici 90 de grade. Pe asta înseamnă că dreptele A'C' și D'B' sunt drepte perpendiculare.