Determinanți de ordin 2 și 3

Fiecărei matrice pătratice de ordinul N, cu elemente în mulțimea numelor complexe,

îi putem asocia un număr complex numit determinantul matricei A și notat în aceste trei moduri.

Această caracteristică numerică o vom utiliza pentru a caracteriza matricele inversabile,

dar și în rezolvarea sistemelor de ecuații liniare.

Determinantul matricei pătratice de ordinul N îl numim determinant de ordin N.

Pentru o matrice pătratică de ordin 1, matricea A are expresia A11, o singură linie, respectiv o singură coloană,

iar determinantul acestei matrice îl definim ca fiind egal cu elementul A11.

Pentru o matrice pătratică de ordinul 2, matricea A are două linii și două coloane, fiecărui element al matricei A.

Îi putem asocia un semn calculat după următoarea regulă, minus 1, la puterea linia plus coloana pe care se găsește.

Elementului A11 îi asociem semnul plus, elementului A12 îi asociem semnul minus,

elementului A21 îi asociem semnul minus și, în sfârșit, elementului A22 îi asociem semnul plus.

Determinantul de ordinul 2 se calculează ca fiind suma algeplică a produselor dintre elementele unei linii

și determinanții obținuți prin ignorarea liniilor și coloanelor care conțin aceste elemente.

Dacă vom considera, spre exemplu, linia 1, acest determinant îl putem calcula ca fiind produsul dintre elementul A11

și determinantul obținut prin ignorarea liniei 1 și coloanei 1, rămânând elementul A22,

minus al doilea element din linia 1, adică A12, înmulțit cu determinantul obținut prin ignorarea liniei 1 și a coloanei 2,

elementul A21.

Sau, cu alte cuvinte, mai ușor de reținut, din produsul elementelor de pe prima diagonală,

vom scădea produsul elementelor de pe diagonala secundară.

Să calculăm acum determinantul acestei matrice.

Vom înmulți astfel pe 1 cu 4 și vom scădea produsul 2 ori 3.

Rezultatul obținut este astfel 4 minus 6, adică minus 2.

Să vedem acum cum vom defini determinantul de ordinul 3.

Ca și în exemplu precedent, asociem fiecărui element al acestei matrice semnul corespunzător aceleiași reguli,

adică minus 1 la puterea linia plus coloana pe care se găsește acest element,

iar determinantul îl putem defini în același mod, adică se calculează suma algebrică a produselor

dintre elementele unei linii și determinanții obținuți prin ignorarea liniilor și coloanelor care conțin aceste elemente.

Astfel, dacă vom considera linia 1, înmulțim așadar elementul A11

cu determinantul obținut prin ignorarea linii 1 și a coloanei 1, adică A23, A32, A33

minus A12, înmulțit cu determinantul obținut prin ignorarea linii 1 și a coloanei 2,

A21, A23, A31, A33

plus A13, înmulțit cu determinantul obținut prin ignorarea linii 1 și a coloanei 3, adică A21, A22, A31, A32.

Să calculăm acum determinantul de ordenul 3. Dacă avem în vedere linia 1, înmulțim elementul 1 cu determinantul

minus 1, 1, 1, 2, minus 2, înmulțit cu determinantul 2, 1, 0, 2

plus elementul 3, înmulțit cu determinantul 2, minus 1, 0, 1.

Cu alte cuvinte, obținem astfel 1, înmulțit cu

minus 2, minus 1, minus 3, minus 2, înmulțit cu 4, minus 0, 4, plus 3, înmulțit cu 2, minus 0, 2

minus 3, minus 8, plus 6, adică minus 5.

Determinanțe de ordin 3 pot fi calculați și prin alte metode, specifice doar acestor determinanțe.

Să considerăm acum aceeași matrice și să calculăm acest determinant printr-o altă metodă.

Vom rescrie primele două coloane ale acestui determinant 1, 2, 0, 2, minus 1, 1

și vom calcula suma produselor, elementelor de pe prima diagonală, respectiv a elementelor care se găsesc pe linii

paralele cu prima diagonală, din care vom scădea produsele elementelor de pe diagonala secundară,

respectiv a elementelor care se găsesc pe linii paralele cu diagonala secundară.

Astfel, înmulțim 1 cu minus 1 cu 2 plus 2 înmulțit cu 1 înmulțit cu 0 plus 3 înmulțit cu 2

înmulțit cu 1, minus 3 înmulțit cu minus 1 înmulțit cu 0, minus 1 înmulțit cu 1 înmulțit cu 1,

minus 2 înmulțit cu 2 înmulțit cu 2.

Obținem astfel, minus 2 plus 0 plus 6 minus 0 minus 1 minus 8,

adică 4 minus 1 minus 3 minus 8 minus 5.

Metoda de calcul descrisă mai sus este întâlnită sub numele de regula lui Sarus,

care poate fi aplicată rescriind și linii în loc de coloane.

Considerând o altă matrice, să calculăm determinantul acesteia rescriind în locul celor două coloane linii.

Rescriem așadar linia 1, 1 minus 1, 0, 2, 3, minus 1 și procedăm la fel.

Înmulțim pe 1 cu 3 cu minus 2 plus 2 ori 1 ori 0 plus 0 ori minus 1 ori minus 1

minus 0 ori 3 ori 0 minus minus 1 ori 1 ori 1 minus minus 2 ori minus 1 ori 2.

Minus 2 ori minus 1 ori 2.

Obținem așadar minus 6 plus 0 plus 0 minus 0 plus 1 minus 4, adică minus 10 plus 1 minus 9.

Să considerăm acum determinantul precedent și să-l calculăm utilizând altă metodă și anume regula triunghului.

Vom calcula suma produselor, elementelor aflate pe prima diagonală,

respectiv produsele, elementelor aflate în vârfurile triunghului cu o latură paralelă cu prima diagonală,

din care vom scădea produsul elementelor aflate pe diagonala secundară,

respectiv aflate în vârfurile triunghurilor cu o latură paralelă cu diagonala secundară.

Astfel, vom înmulți elementele 1 ori 3 ori minus 2 plus 0 înmulțit cu 2 ori 1 plus 0

înmulțit cu minus 1 ori minus 1 minus 0 ori 3 ori 0 minus minus 2 minus 2 înmulțit cu 2 ori minus 1

și minus 1 înmulțit cu 1 ori minus 1.

Obținem astfel determinantul minus 6 plus 0 plus 0 minus 0 minus 4 plus 1, adică minus 9.