Descompunerea unui număr natural în factori primi

A descompone un număr natural în factor prim înseamnă a scrie ca un produs de puteri de numere prime.

Vom lua un exemplu. Să descompunem numărul 36.

Verificăm pe rând dacă se împarte la numerele prime în ordine crescătoare.

36 este divizibil cu 2 deoarece ultima sa cifră este pară.

36 împărțit la 2 este 18.

Cei care nu puteți face împărțirea direct o veți face alăturat, iar aici treceți doar rezultatul părțirii.

Mergem mai departe. 18 este divizibil cu 2.

18 împărțit la 2 este 9.

9 nu este divizibil cu 2. Mergem mai departe. Următorul număr prim este 3.

Observăm că 9 se împarte la 3, iar rezultatul împărțirii este 3.

Și de asemenea 3 este divizibil tot cu 3, iar rezultatul împărțirii este 1.

Astfel vom scrie că 36 se scrie 2 la puterea a doua, deoarece cifra 2 apare de două ori în această descompunere,

ori 3 la puterea a doua, iar 3 apare tot de două ori.

Am descompus numărul 36 în factori primi, deoarece 2 și 3 sunt numere prime.

Vom lua un alt exemplu să descompunem numărul 720.

Pentru această descompunere vom ține cont de faptul că 10 se poate scrie 2 ori 5.

Observăm că acest număr este divizibil cu 10, deoarece ultima sa cifră este 0.

Înseamnă că putem scrie în partea dreaptă 2 ori 5.

720 în părțila 10 este 72, 72 este divizibil cu 2, 72 în părțila 2 este 36, care de asemenea este divizibil cu 2,

36 în părțila 2 este 18, 18 în părțila 2 este 9, 9 este divizibil cu 3, rezultatul împărțirii îl trecem aici,

3 este divizibil cu 3 și 3 în părțila 3 este 1.

720 se scrie 2 la puterea a 4-a ori 3 la puterea a 2-a ori 5.

Încercăm să scriem numerele acestea în ordine crescătoare.

Am descompus numărul 720 în factori primi, deoarece numerele 2, 3 și 5 sunt numere prime.

Mai departe descompunem numărul 5100.

Pentru această descompunere vom ține fond de faptul că 100 înseamnă 10 la puterea a 2-a, adică 2 ori 5, totul la puterea a 2-a, care înseamnă 2 la a 2-a ori 5 la a 2-a.

Numărul 5100 se împarte la 100 și atunci putem scrie în partea dreaptă 2 la a 2-a ori 5 la a 2-a.

Rezultatul împărțirii numărului 5100 la 100 va fi 51.

51 nu este divizibil cu 2 deoarece ultima sa cifră nu este 0, 2, 4, 6 sau 8.

Încercăm să vedem dacă este divizibil cu 3.

Suma cifrelor sale este 6, care se împarte la 3, înseamnă că numărul 51 este divizibil cu 3.

51 împărțit la 3 este 17.

Repet, cei care nu puteți face împărțirea direct aici, o veți face alăturat și aici treceți rezultatul împărțirii.

17 este număr prim deoarece nu mai are alți divizori, înseamnă că 17 se împarte doar la el însuși.

Iar 17 împărțit la 17 este 1.

Numărul 5100 se va scrie atunci 2 la puterea a doua ori 3 ori 5 la puterea a doua ori 17.

Încercăm să scriem acești factori în ordine crescătoare.

În continuare vom face o scurtă problemă ca o aplicație la acest capitol de divizibilitate.

Arătați că numărul a, scris forma 6 la puterea n plus 1 plus 5 ori 2 la puterea n ori 3 la puterea n plus 2 se divide cu 51 oricare ar fi numărul natural n.

Pentru a arăta că acest număr este divizibil cu 51 va trebui să-l scriem ca un produs de 2 factori sau mai mulți, din care 1 să fie 51.

Și atunci o să folosim proprietăți ale puterilor pentru a rescrie acest număr.

A este egal cu, în loc de 6 la puterea n plus 1 putem să scriem 6 la puterea n ori 6 la puterea întâia plus 5 ori 2 la puterea n ori, în loc de 3 la puterea n plus 2 putem să scriem 3 la puterea n ori 3 la puterea a doua.

Egal mai departe cu 6 la puterea n ori 6 plus 5 ori, în loc de 2 la n ori 3 la n putem să scriem 2 ori 3 totul la puterea n ori 3 la a doua este 9.

Egal mai departe cu 6 la n ori 6 plus 5 ori 2 ori 3 este tot 6 la puterea n ori 9.

Observăm că 6 la n apare și aici și aici înseamnă că vom da factor comun pe 6 la puterea n și avem 6 la n pe lângă 6 plus 5 ori 9.

Egal mai departe cu 6 la n ori 5 ori 9 este 45 și 45 plus 6 este 51.

Deoarece acest număr se poate descompone în produs de 2 factori, dintre care 1 este 51, automat acest număr va fi divizibil cu 51.

Rezultă a divizibil cu 51.