Criteriul rădăcinii

Vă salut, dragii mei!

În acest clip vom calcula limita unui șir folosind criteriul d'Alembert.

În unele cărți veți găsi acest criteriu și cu alte denumiri, de exemplu criteriul rădăcinii sau criteriul coșii d'Alembert.

Acesta este un instrument foarte util pentru calculul limitelor de șiruri exprimate prin radical de ordine n.

Să vedem cum se enunță această teoremă.

Fie xn-ul șir de numere reale strict pozitive pentru care există limită când n tinde la infinit din xn plus 1 supra xn egală cu L.

Atunci șirul radical de ordine n din xn are limită și limita acestuia va fi de asemenea egală cu L.

Și acum haideți să calculăm limită când n tinde la infinit din radical de ordine n din n plus 1 factorial la pătrat supra 2n factorial ori 5 la n.

Mai întâi vom nota șirul de sub radical cu xn.

Fie xn egal cu n plus 1 factorial la pătrat supra 2n factorial ori 5 la n.

Acesta este un șir cu toți termenii pozitivi.

Vom calcula și x-indice n plus 1 înlocuind pe n cu n plus 1.

Și obținem x-indice n plus 1 egal cu n plus 2 factorial la pătrat supra 2 pe lângă n plus 1 factorial înmulțit cu 5 la puterea n plus 1.

Pentru a aplica criteriul d'Alombert, vom calcula limita raportului xn plus 1 supra xn.

Avem limită când n tinde la infinit din n plus 2 factorial la pătrat supra 2n plus 2 factorial ori 5 la n plus 1 înmulțit cu 2n factorial ori 5 la n supra n plus 1 factorial la pătrat.

În continuare, vom folosi proprietăți ale factorialului pentru a putea face simplificări și anume, n plus 2 factorial se poate scrie n plus 1 factorial înmulțit cu n plus 2,

iar 2n plus 2 factorial se poate scrie 2n factorial ori 2n plus 1 ori 2n plus 2.

Înlocuind aceste relații în limita de mai sus, obținem limită când n tinde la infinit din n plus 1 factorial înmulțit cu n plus 2 totul la pătrat supra 2n factorial ori 2n plus 1 ori 2n plus 2 ori 5 la n plus 1 înmulțit cu 2n factorial ori 5 la n supra n plus 1 factorial la pătrat.

Se simplifică n plus 1 factorial la pătrat, 2n factorial și 5 la n plus 1 cu 5 la n, iar la numitor rămâne un 5.

Se obține limită când n tinde la infinit din n plus 2 la pătrat supra 5 pe lângă 2n plus 1 pe lângă 2n plus 2, egal cu limită din n pătrat plus 4n plus 4 supra 5 pe lângă 4n pătrat plus 6n plus 2.

Avem un șir definit prin câtul la două funcții polinomiale cu același grad, prin urmare limita va fi raportul coeficienților lui n pătrat, adică 1 supra 20.

Conform criteriului de Alombert, limita radicalului va fi de asemenea egală cu 1 supra 20.