Contracţia lungimilor. Dilatarea duratelor.

În cea de-a patra lecție despre teoria relativității restrânse vom discuta despre cinematica relativistă,

adică vom folosi transformările Lorentz pe care le-am introdus în lecția trecută fără a le deriva, fără a da o demonstrație,

pentru a vedea care sunt implicațiile acestor transformări asupra cinematicii sau mișcării unui corp cu viteze comparabile cu viteza luminivită.

Întâi vom discuta despre așa numită contracția lungimilor.

Folosim aceleași două sisteme de referințe, S' și S, sisteme de referințe inerțiale, în care S este considerat în repaus și S' într-o deplasare

cu viteza V de-a lungul axei comune X în raport cu sistemul S.

Considerăm o bară reprezentată prin acest segment îngroșat,

plasată pe axele comune OX și OX' care are lungimea L egală cu X2 minus X1,

diferența dintre coordonatele capetelor barei în sistemul S,

și L' prin definiție egală cu X2' minus X1' în sistemul S'.

Considerăm că măsurătoarea sau măsurarea acestor coordonate se face simultan în fiecare din cele două sisteme de referințe inerțiale

și în concluzie delta T și delta T' vor fi egale cu 0 în fiecare sistem de referințe.

Atunci putem scrie relația dintre L' și L folosind transformările Lorentz.

Mai exact, L' care este egal prin definiție cu X'2 minus X'1

și prin relația de transformare Lorentz a coordonate X va fi egal cu gamma X2 minus Vt minus gamma X1 minus Vt1.

Și deci va fi egal cu gamma înmulțit cu L grupând termenii.

Deci avem gamma X2 minus X1 care este egal cu L prin definiție,

minus gamma ori V ori T2 minus T1 care este prin definiție delta T în sistemul de referință S.

Dar acest delta T este egal cu 0.

Din nou, pur și simplu pentru că măsurăm coordonatele X2 și X1 simultan

și atunci obținem că L' este egal cu gamma L.

De așa la acest moment se poate observa o dependență de sistemul de referință a lungimii unei bare.

În cazul acesta.

Pentru că L' nu este egal cu L.

Pentru a scrie mai explicit această dependență de sistemul de referință,

să mai facem un pas și anume să introducem așa numitul sistem de referință propriu

al unui eveniment sau al unui sistem fizic.

Este sistemul de referință în care acel sistem fizic,

barea în cazul nostru, este în repaus.

Sau altfel spus, este sistemul de referință atașat, legat de sistemul fizic

și deci în care el are viteză 0.

În acest sistem de referință toți parametrii capăt acest nume propriu.

Deci în sistemul de referință propriu sau față de sistemul de referință propriu

lungimea se va numi lungimea proprie, durata unui eveniment sau unui proces

se numește durata proprie, se notează cu delta T0 și așa mai departe.

Deci în general când folosim acest index inferior 0

ne referim la parametrul respectiv față sau măsurat în sistemul de referință propriu

al sistemului fizic.

Deci în cazul nostru putem scrie că L este egal cu L0

înmulțit cu radical din 1 minus V pătrat pe C pătrat

pentru că L' este în cazul nostru, în cazul problemei pe care ne-am pus-o noi

barea se află în repaus față de sistemul S'

deci S' devine sistemul de referință propriu al barei considerate

și deci L' este egal cu L0 în cazul nostru

și deci L, lungimea într-un alt sistem de referință

va fi L0 mulțit cu radical din 1 minus V pătrat pe C pătrat.

Dar V este întotdeauna mai mic decât C

Am spus că viteza luminii în vid este viteza maximă

pe care un sistem o poate avea în fizică

și deci V este mai mic decât C

de unde rezultă că V pătrat pe C pătrat e mai mic decât 1

și deci acest factor este mai mic decât 1

și rezultă că dimensiunile unui sistem fizic

apar maxime în sistemul de referință propriu

deci indiferent ce alt sistem de referință considerăm

lungimea măsurată în acel sistem de referință L

va fi întotdeauna mai mică decât lungimea măsurată

în sistemul de referință propriu L0

Am subliniat apar pentru că

bineînțeles nu trebuie să

înțelegem prin contracția lungimilor

o contracție efectivă a sistemului fizic

Dacă vă gândiți la exemplul pe care îl am dat

bara este aceeași, deci avem aceeași bară

măsurată de doi observatori diferiți

care obțin lungimi diferite ale barei

L' și L sau L și L0

Evident, asta nu înseamnă că

bara, acest sistem fizic bara

poate avea două lungimi diferite

Dacă lungimile sunt diferite, ele sunt

ca urmare a procesului de măsurare

Mai exact, contracția lungimilor

precum și alte efecte relativiste

pe care le vom vedea imediat

implică variația diferitilor parametrii

datorită procesului de măsurare

nu modificarea lor efectivă

Un alt comentariu foarte important

este următorul

Din această ecuație vedem imediat că

Δx' este egal cu γΔx

ceea ce implică o relativitate a spațiului

Măsurăm lungimea barei și ne observăm

că obținem rezultate diferite

în două sisteme de referință inerțiale diferite

Deci spațiul este relativ în

teoria relativității restrânse

De asemenea, în lecția trecută când am

discutat despre simultaneitate am văzut că

dacă considerăm un proces

care are loc fără

o variație temporală, fără un interval

temporal în sistemul de referință S

obținem

un interval temporal

egal cu minus γV pe c pătrat

Δx în sistemul de referință

S' care este

diferit de 0

Deci și timpul este relativ în

teoria relativității restrânse

El este 0 într-un sistem de referință și diferit de 0

în alt sistem de referință

Dacă vă aduceți aminte, în prima lecție

de teoria relativității restrânse am început

prin discutarea

principiilor de bază ale spațiului și timpului

în mecanica clasică

și acolo spațiul era absolut

timpul era și el absolut și aceste două noțiuni

erau complet independente de spațiul și de timpul

în teoria relativității restrânse

spațiul e relativ, timpul e relativ

și după cum am vorbit

ele nu mai sunt independente

vorbim de

un concept

o noțiune comună de spațiul-timp

care spațiul-timp devine noua

mărime absolută

mai exact dacă se introduce acest parametru

delta S

ca fiind poziția relativă

delta X pătrat plus delta Y pătrat

plus delta Z pătrat, acesta este delta R pătrat

minus C pătrat ori delta T pătrat

și luăm radicalul ei

această distanță în spațiul

spațiul-timp devine noua mărime

invariabilă la transformările

de la un sistem de referință la altul

dacă aplicăm acestui delta S transformările

observăm că delta S prim este egal cu delta S

deci spațiul-timpul

acest sistem de coordonate patru-dimensional

devine noua mărime

invariabilă

la schimbarea sistemului de referință

dilatarea duratelor

fie două evenimente care

în sistemul de referință propriu al unui sistem fizic

pe care tocmai l-am introdus, cel legat

de sistemul fizic

au loc în aceiași poziții

deci X01 este egal cu X02

dar la un interval temporal delta T0

nu diferi de 0

spre exemplu, în același loc, în aceiași poziție

din sistemul de referință, propriu a unui pistol

tragem două focuri de pistol

deci în același loc

X01 va fi egal cu X02

tragem la două momente diferite, T01 și T02

două focuri de pistol

deci obținem aceste două evenimente

spre exemplu, în acest fel

acest sistem se deplasează cu o viteză V

față de alt sistem de referință inerții

al S

deci avem S' și S

pe care le-am considerat întotdeauna în lecțiile de

teorie relativității restrânse

aceste două evenimente vor avea loc în

coordonatele X1 și T1

respectiv X2 și T2

aplicăm transformările Lorentz

pentru a calcula delta T0

deci delta T0

în transformările Lorentz

va fi egal cu gamma multit cu

T2 minus V

pe C pătrat X2 minus

gamma T1 minus V

pe C pătrat X1

am aplicat transformările Lorentz

între evenimentele din sistemul

de referință S0 care este S'

vechiul S' devine acest S0

relativ la sistemul de referință S

și deci obținem că delta T0 este gamma delta T

gamma T2 minus T1 minus gamma

V pe C pătrat X2

minus X1 care este delta X

dar delta X0

după cum am spus, este egal cu 0

deci trebuie să folosim și această informație

faptul că evenimentele au loc în același punct

obținem deci că gamma X2 minus V

T2 minus gamma X1

minus V T1 este egal cu 0

rezultatul

gamma delta X, adică gamma X2 minus X1

este egal cu gamma

V delta T

delta T fiind T2 minus T1

în această relație putem simplifica factorul comun

gamma și obținem că

în acest caz particular delta X0

este egal cu 0, delta X va fi egal

cu V ori delta T

pe care putem să îl înlocuim

în această ecuație

deci putem înlocui delta X aici

și obținem că delta T0

în acest caz particular

va fi egal cu gamma

factorul comun gamma, înmulțit cu factorul comun

delta T, obținem și factorul comun

delta T și înmulțit cu această

mărime 1 din partea stângă minus

V pătrat împărțit la C pătrat

dar prin definiție

a lui gamma, mai exact prin notație

gamma este o notație, nu e definiție, deci am notat

cu gamma mărimea 1 împărțit

la radical din 1 minus

V pătrat împărțit la C pătrat

și deci 1 minus V pătrat

pe C pătrat este egal cu

1 pe gamma la pătrat, deci delta T0

va fi egal cu gamma înmulțit cu 1 pe gamma la pătrat

înmulțit cu delta T. Simplificăm

gamma și obținem că

delta T este egal cu gamma

delta T0. Aceasta este

relația care stabilește

dilatarea duratelor față de

durata proprie a

unui proces fizic.

Pentru că delta T va fi întotdeauna

mai mare decât delta T0

și asta înseamnă

că durata unui proces fizic apare minimă

în sistemul de referință propriu. Deci în orice

alt sistem de referință vom face măsurarea

sau măsurătoarea

duratei unui proces fizic

vom obține o durată

mai mare. Aceasta este din nou

după cum am discutat doar aparent

aceasta se întâmplă doar aparent în sensul că

efectul se datorează

diferenței sistemului de referință

în care se face măsurătoarea. În sine

procesul durează la fel. Nu variază

durata, ci doar felul în care

îl măsurăm noi, felul în care observăm această durată

variază de la un sistem de referință

la altul.

În limita

vitezelor mult mai mici decât

viteza de propagare a luminii în vid

aplicând acest principiu

despre care am vorbit în lecția trecută

gama devine aproximativ egală

și atât spațiul cât și timpul redevin

absolute. Aceasta este foarte important.

Am spus că în teoria

relativității restrânse

timpul și spațiul sunt relative, dar

în mecanica clasică ele sunt absolute.

De asemenea, am spus că mecanica clasică este un cas

particular al teoriei relativității restrânse

și deci trebuie să reobținem

această proprietate de a fi

absolute a spațiului și a timpului

într-o anumită limită, și anume limita

vitezelor foarte mici. Într-adevăr, în această

limită gama devine egal cu 1

și atunci Δt este egal cu Δt0

și L este egal cu L0.

Deci, spațiul și timpul redevin

absolute în mecanica clasică

după cum știm. Un alt comentariu

foarte important este că

această ecuație, la fel ca și

celelalte, a fost verificată experimental.

Mai exact, s-a obținut

următoarea confirmare experimentală. Dacă se

măsoară timpul de viață al unei particule instabile

și relativiste, adică o

particulă care se dezintegrează

după un anumit timp, după oarecare

timp ea se dezintegrează și are

o viteză comparabilă, apropiată de viteza

luminiei, observăm că acest timp de viață

crește cu viteza particulei.

Deci, știm că o particulă oarecare

care se dezintegrează în

repaus, îi trebuie o durată,

o anumită durată, să-i notăm

T0, atunci

dacă o accelerăm foarte

puternic, deci imprimăm o viteză foarte mare

comparabilă cu viteza luminiei și măsurăm

din nou timpul necesar dezintegrării,

vedem că el, într-adevăr, crește cu acest factor

gamma.

Acest proces se observă în

acceleratoarele de particule,

precum cel construit la

Senn, în Geneva, deci ce vedeți în această imagine

este schema

acceleratorului LHC,

Large Hadron Collider, un accelerator de particule

imens, schema lui este prezentată

pentru a vedea

mărimea acestui accelerator de particule

comparată cu

orașul Geneva, deci acest accelerator se află sub

orașul Geneva din Elveția,

schema este acest cerc

și vedeți mărimea acceleratorului de particule

comparată cu orașul în sine și, spre

exemplu, cu pistele de aterizare ale

aeroportului Geneva.

Este un accelerator imens de particule

în care se pot obține viteze

și se obțin viteze comparabile

cu teza luminii

și se pot face astfel de măsurători.