Transcript: Contracţia lungimilor. Dilatarea duratelor.

În cea de-a patra lecție despre teoria relativității restrânse vom discuta despre cinematica relativistă,
adică vom folosi transformările Lorentz pe care le-am introdus în lecția trecută fără a le deriva, fără a da o demonstrație,
pentru a vedea care sunt implicațiile acestor transformări asupra cinematicii sau mișcării unui corp cu viteze comparabile cu viteza luminivită.
Întâi vom discuta despre așa numită contracția lungimilor.
Folosim aceleași două sisteme de referințe, S' și S, sisteme de referințe inerțiale, în care S este considerat în repaus și S' într-o deplasare
cu viteza V de-a lungul axei comune X în raport cu sistemul S.
Considerăm o bară reprezentată prin acest segment îngroșat,
plasată pe axele comune OX și OX' care are lungimea L egală cu X2 minus X1,
diferența dintre coordonatele capetelor barei în sistemul S,
și L' prin definiție egală cu X2' minus X1' în sistemul S'.
Considerăm că măsurătoarea sau măsurarea acestor coordonate se face simultan în fiecare din cele două sisteme de referințe inerțiale
și în concluzie delta T și delta T' vor fi egale cu 0 în fiecare sistem de referințe.
Atunci putem scrie relația dintre L' și L folosind transformările Lorentz.
Mai exact, L' care este egal prin definiție cu X'2 minus X'1
și prin relația de transformare Lorentz a coordonate X va fi egal cu gamma X2 minus Vt minus gamma X1 minus Vt1.
Și deci va fi egal cu gamma înmulțit cu L grupând termenii.
Deci avem gamma X2 minus X1 care este egal cu L prin definiție,
minus gamma ori V ori T2 minus T1 care este prin definiție delta T în sistemul de referință S.
Dar acest delta T este egal cu 0.
Din nou, pur și simplu pentru că măsurăm coordonatele X2 și X1 simultan
și atunci obținem că L' este egal cu gamma L.
De așa la acest moment se poate observa o dependență de sistemul de referință a lungimii unei bare.
În cazul acesta.
Pentru că L' nu este egal cu L.
Pentru a scrie mai explicit această dependență de sistemul de referință,
să mai facem un pas și anume să introducem așa numitul sistem de referință propriu
al unui eveniment sau al unui sistem fizic.
Este sistemul de referință în care acel sistem fizic,
barea în cazul nostru, este în repaus.
Sau altfel spus, este sistemul de referință atașat, legat de sistemul fizic
și deci în care el are viteză 0.
În acest sistem de referință toți parametrii capăt acest nume propriu.
Deci în sistemul de referință propriu sau față de sistemul de referință propriu
lungimea se va numi lungimea proprie, durata unui eveniment sau unui proces
se numește durata proprie, se notează cu delta T0 și așa mai departe.
Deci în general când folosim acest index inferior 0
ne referim la parametrul respectiv față sau măsurat în sistemul de referință propriu
al sistemului fizic.
Deci în cazul nostru putem scrie că L este egal cu L0
înmulțit cu radical din 1 minus V pătrat pe C pătrat
pentru că L' este în cazul nostru, în cazul problemei pe care ne-am pus-o noi
barea se află în repaus față de sistemul S'
deci S' devine sistemul de referință propriu al barei considerate
și deci L' este egal cu L0 în cazul nostru
și deci L, lungimea într-un alt sistem de referință
va fi L0 mulțit cu radical din 1 minus V pătrat pe C pătrat.
Dar V este întotdeauna mai mic decât C
Am spus că viteza luminii în vid este viteza maximă
pe care un sistem o poate avea în fizică
și deci V este mai mic decât C
de unde rezultă că V pătrat pe C pătrat e mai mic decât 1
și deci acest factor este mai mic decât 1
și rezultă că dimensiunile unui sistem fizic
apar maxime în sistemul de referință propriu
deci indiferent ce alt sistem de referință considerăm
lungimea măsurată în acel sistem de referință L
va fi întotdeauna mai mică decât lungimea măsurată
în sistemul de referință propriu L0
Am subliniat apar pentru că
bineînțeles nu trebuie să
înțelegem prin contracția lungimilor
o contracție efectivă a sistemului fizic
Dacă vă gândiți la exemplul pe care îl am dat
bara este aceeași, deci avem aceeași bară
măsurată de doi observatori diferiți
care obțin lungimi diferite ale barei
L' și L sau L și L0
Evident, asta nu înseamnă că
bara, acest sistem fizic bara
poate avea două lungimi diferite
Dacă lungimile sunt diferite, ele sunt
ca urmare a procesului de măsurare
Mai exact, contracția lungimilor
precum și alte efecte relativiste
pe care le vom vedea imediat
implică variația diferitilor parametrii
datorită procesului de măsurare
nu modificarea lor efectivă
Un alt comentariu foarte important
este următorul
Din această ecuație vedem imediat că
Δx' este egal cu γΔx
ceea ce implică o relativitate a spațiului
Măsurăm lungimea barei și ne observăm
că obținem rezultate diferite
în două sisteme de referință inerțiale diferite
Deci spațiul este relativ în
teoria relativității restrânse
De asemenea, în lecția trecută când am
discutat despre simultaneitate am văzut că
dacă considerăm un proces
care are loc fără
o variație temporală, fără un interval
temporal în sistemul de referință S
obținem
un interval temporal
egal cu minus γV pe c pătrat
Δx în sistemul de referință
S' care este
diferit de 0
Deci și timpul este relativ în
teoria relativității restrânse
El este 0 într-un sistem de referință și diferit de 0
în alt sistem de referință
Dacă vă aduceți aminte, în prima lecție
de teoria relativității restrânse am început
prin discutarea
principiilor de bază ale spațiului și timpului
în mecanica clasică
și acolo spațiul era absolut
timpul era și el absolut și aceste două noțiuni
erau complet independente de spațiul și de timpul
în teoria relativității restrânse
spațiul e relativ, timpul e relativ
și după cum am vorbit
ele nu mai sunt independente
vorbim de
un concept
o noțiune comună de spațiul-timp
care spațiul-timp devine noua
mărime absolută
mai exact dacă se introduce acest parametru
delta S
ca fiind poziția relativă
delta X pătrat plus delta Y pătrat
plus delta Z pătrat, acesta este delta R pătrat
minus C pătrat ori delta T pătrat
și luăm radicalul ei
această distanță în spațiul
spațiul-timp devine noua mărime
invariabilă la transformările
de la un sistem de referință la altul
dacă aplicăm acestui delta S transformările
observăm că delta S prim este egal cu delta S
deci spațiul-timpul
acest sistem de coordonate patru-dimensional
devine noua mărime
invariabilă
la schimbarea sistemului de referință
dilatarea duratelor
fie două evenimente care
în sistemul de referință propriu al unui sistem fizic
pe care tocmai l-am introdus, cel legat
de sistemul fizic
au loc în aceiași poziții
deci X01 este egal cu X02
dar la un interval temporal delta T0
nu diferi de 0
spre exemplu, în același loc, în aceiași poziție
din sistemul de referință, propriu a unui pistol
tragem două focuri de pistol
deci în același loc
X01 va fi egal cu X02
tragem la două momente diferite, T01 și T02
două focuri de pistol
deci obținem aceste două evenimente
spre exemplu, în acest fel
acest sistem se deplasează cu o viteză V
față de alt sistem de referință inerții
al S
deci avem S' și S
pe care le-am considerat întotdeauna în lecțiile de
teorie relativității restrânse
aceste două evenimente vor avea loc în
coordonatele X1 și T1
respectiv X2 și T2
aplicăm transformările Lorentz
pentru a calcula delta T0
deci delta T0
în transformările Lorentz
va fi egal cu gamma multit cu
T2 minus V
pe C pătrat X2 minus
gamma T1 minus V
pe C pătrat X1
am aplicat transformările Lorentz
între evenimentele din sistemul
de referință S0 care este S'
vechiul S' devine acest S0
relativ la sistemul de referință S
și deci obținem că delta T0 este gamma delta T
gamma T2 minus T1 minus gamma
V pe C pătrat X2
minus X1 care este delta X
dar delta X0
după cum am spus, este egal cu 0
deci trebuie să folosim și această informație
faptul că evenimentele au loc în același punct
obținem deci că gamma X2 minus V
T2 minus gamma X1
minus V T1 este egal cu 0
rezultatul
gamma delta X, adică gamma X2 minus X1
este egal cu gamma
V delta T
delta T fiind T2 minus T1
în această relație putem simplifica factorul comun
gamma și obținem că
în acest caz particular delta X0
este egal cu 0, delta X va fi egal
cu V ori delta T
pe care putem să îl înlocuim
în această ecuație
deci putem înlocui delta X aici
și obținem că delta T0
în acest caz particular
va fi egal cu gamma
factorul comun gamma, înmulțit cu factorul comun
delta T, obținem și factorul comun
delta T și înmulțit cu această
mărime 1 din partea stângă minus
V pătrat împărțit la C pătrat
dar prin definiție
a lui gamma, mai exact prin notație
gamma este o notație, nu e definiție, deci am notat
cu gamma mărimea 1 împărțit
la radical din 1 minus
V pătrat împărțit la C pătrat
și deci 1 minus V pătrat
pe C pătrat este egal cu
1 pe gamma la pătrat, deci delta T0
va fi egal cu gamma înmulțit cu 1 pe gamma la pătrat
înmulțit cu delta T. Simplificăm
gamma și obținem că
delta T este egal cu gamma
delta T0. Aceasta este
relația care stabilește
dilatarea duratelor față de
durata proprie a
unui proces fizic.
Pentru că delta T va fi întotdeauna
mai mare decât delta T0
și asta înseamnă
că durata unui proces fizic apare minimă
în sistemul de referință propriu. Deci în orice
alt sistem de referință vom face măsurarea
sau măsurătoarea
duratei unui proces fizic
vom obține o durată
mai mare. Aceasta este din nou
după cum am discutat doar aparent
aceasta se întâmplă doar aparent în sensul că
efectul se datorează
diferenței sistemului de referință
în care se face măsurătoarea. În sine
procesul durează la fel. Nu variază
durata, ci doar felul în care
îl măsurăm noi, felul în care observăm această durată
variază de la un sistem de referință
la altul.
În limita
vitezelor mult mai mici decât
viteza de propagare a luminii în vid
aplicând acest principiu
despre care am vorbit în lecția trecută
gama devine aproximativ egală
și atât spațiul cât și timpul redevin
absolute. Aceasta este foarte important.
Am spus că în teoria
relativității restrânse
timpul și spațiul sunt relative, dar
în mecanica clasică ele sunt absolute.
De asemenea, am spus că mecanica clasică este un cas
particular al teoriei relativității restrânse
și deci trebuie să reobținem
această proprietate de a fi
absolute a spațiului și a timpului
într-o anumită limită, și anume limita
vitezelor foarte mici. Într-adevăr, în această
limită gama devine egal cu 1
și atunci Δt este egal cu Δt0
și L este egal cu L0.
Deci, spațiul și timpul redevin
absolute în mecanica clasică
după cum știm. Un alt comentariu
foarte important este că
această ecuație, la fel ca și
celelalte, a fost verificată experimental.
Mai exact, s-a obținut
următoarea confirmare experimentală. Dacă se
măsoară timpul de viață al unei particule instabile
și relativiste, adică o
particulă care se dezintegrează
după un anumit timp, după oarecare
timp ea se dezintegrează și are
o viteză comparabilă, apropiată de viteza
luminiei, observăm că acest timp de viață
crește cu viteza particulei.
Deci, știm că o particulă oarecare
care se dezintegrează în
repaus, îi trebuie o durată,
o anumită durată, să-i notăm
T0, atunci
dacă o accelerăm foarte
puternic, deci imprimăm o viteză foarte mare
comparabilă cu viteza luminiei și măsurăm
din nou timpul necesar dezintegrării,
vedem că el, într-adevăr, crește cu acest factor
gamma.
Acest proces se observă în
acceleratoarele de particule,
precum cel construit la
Senn, în Geneva, deci ce vedeți în această imagine
este schema
acceleratorului LHC,
Large Hadron Collider, un accelerator de particule
imens, schema lui este prezentată
pentru a vedea
mărimea acestui accelerator de particule
comparată cu
orașul Geneva, deci acest accelerator se află sub
orașul Geneva din Elveția,
schema este acest cerc
și vedeți mărimea acceleratorului de particule
comparată cu orașul în sine și, spre
exemplu, cu pistele de aterizare ale
aeroportului Geneva.
Este un accelerator imens de particule
în care se pot obține viteze
și se obțin viteze comparabile
cu teza luminii
și se pot face astfel de măsurători.