Circuitele RLC serie şi paralel: impedanţa, diagrama fazorială.

În cea de-a opta lecție de curent alternativ vom discuta despre circuitele RLC serie și RLC paralel.

Circuitul RLC serie este format, bineînțeles, dintr-un rezistor, o bobină și un condensator, conectate în așa fel încât au aceeași intensitate a curentului

și conectate la o sursă de curent alternativ U.

Tensiunea, valoarea momentană a tensiunii curentului alternativ, va fi o funcție sinusoidală, omega fiind pulsația curentului alternativ.

Relația de bază a unui circuit serie este aceea că tensiunea totală este egală cu suma tensiunilor pe fiecare din cele 3 elemente.

Aceasta este o relație ce folosește modelul funcțiilor sinusoidale pentru curentul alternativ.

Putem folosi celălalt model pe care l-am introdus, cel al fazorilor, în care fiecare mărime este reprezentată printr-un fazor care este un vector ce se rotește într-un anumit plan.

Adică această relație, ce din nou folosește funcții sinusoidale, poate fi scrisă în forma aceasta unde fiecare mărime este un vector, adică un fazor.

Și să începem să reprezentăm acești fazori.

Deci aceasta este diagrama fazorială.

Începem prin a reprezenta fazorul intensității curentului pentru că el este comun tuturor elementelor din circuit.

După cum am văzut în lecția trecută, rezistența sau rezistorul are o tensiune ce este în fază cu intensitatea curentului.

Deci UR, fazorul tensiunii pe rezistor sau în rezistor, va fi colinear cu fazorul intensității.

Fazorii celorlalte două elemente, bobina și condensatorul, vor fi perpendiculari pe ei.

Pentru că am văzut tot în lecția trecută că ei sunt defazați cu pii pe doi radiani, adică 90 de grade, față de intensitatea curentului din circuit.

Unul defazat în față, mai exact bobina este defazată în față, iar condensatorul este defazat în spate.

Folosim aceste informații pentru a începe să calculăm valoarea lui U, fazorului U.

Mai exact, deoarece UL și UC sunt colineari, introducem un nou fazor, UX, definit ca diferența dintre cei doi.

Deci acesta este UX, care este UL minus UC, care, bineînțeles, la rândul lui va fi perpendicular pe UR și pe I,

că UR și I find colineari.

În continuare, U va fi suma vectorială dintre UX și UR.

Deci U este fazorul care este suma vectorială între UX și UR și, datorită faptului că avem un unghi de 90 de grade,

în acest unghi, putem scrie întâi relația ce dă magnitudinea lui U.

Deci U pătrat este egal cu UX pătrat plus UR pătrat.

UX fiind diferența, deci U pătrat va fi UL pătrat minus UC pătrat plus UR pătrat.

Definim cu Z, mărime care se numește impedanța, raportul dintre tensiunea totală și intensitatea totală dintr-un circuit alternativ.

Din această ecuație, folosind această definiție, obținem valoarea lui Z a impedanței în circuitul serie

și anume radical din R pătrat plus XL pătrat minus XC pătrat,

unde pur și simplu am folosit, pe lângă definiția lui Z, definițiile reactanțelor XL și XC.

XL și XC sunt tensiunile pe el, respectiv C, împărțit la I, și legea lui Ohm care spune că R este egal cu UR împărțit la I.

Folosind faptul că intensitatea curentului este aceeași, o putem simplifica și obținem această relație.

Această relație, bineînțeles, ne dă numai magnitudinea fazorului U.

Următorul pas este să stabilim orientarea lui, adică defazajul fii între tensiune și intensitatea curentului.

Și folosim același triunghi în care observăm că tangentă de fii este egal cu UX împărțit la UR.

Deci tangent de fii este UX, această catetă împărțit la UR.

Ceea ce înseamnă, înlocuind valorile pentru UX, că tangent de fii este XL-XC împărțit la R.

Este important de notat că acest unghi ea orice valori între minus pi și plus pi.

Asta înseamnă că, în funcție de valorile reactanțelor din bobină și în condensator, defazajul poate fi pozitiv, adică tensiunea totală poate fi în fața intensității,

sau negativ, adică tensiunea totală poate fi în spatele intensității totale din circuit.

Cazurile particulare ale circuitelor LC-RC și RL, deci combinații de numai două din aceste trei elemente,

se obțin foarte ușor punând ca egale cu zero rezistența respectiv reactanțele elementului pe care vrem să-l scoatem de în circuit.

Spre exemplu, dacă vrem să obținem formulele pentru un circuit RC serie, punem XL, reactanța bobine, egală cu zero în aceste formule.

Să trecem la circuitul RLC paralel.

El este format dintr-o rezistență, o bobină și un condensator cu plate în paralel.

Asta înseamnă că ele au aceeași tensiune la borne.

Ceea ce diferă de data asta este cazul opus celui circuitului RLC serie.

Ceea ce diferă este intensitatea curentului prin fiecare din acest element.

Deci avem că tensiunea totală de la bornele întregului circuit va avea aceeași formă, Umsinus de omega t,

dar ecuația de la care plecăm este că intensitatea totală din circuit este egală cu suma intensităților pe fiecare din cele trei elemente.

Aceasta este prima lege Kirchhoff pentru acest nod.

Intensitatea curentului care intră în nod egală cu suma intensităților curenților care ies din nod.

Și la fel această ecuație este o ecuație a mărimilor momentane exprimată în funcții sinusoidale,

modelul funcților sinusoidale a curentului alternativ.

Putem folosi reprezentarea fazorială.

Deci această ecuație în modelul fazorial se scrie în felul următor,

deci I egal cu IR plus IL plus IC, sumă vectorială, toți sunt vectorii,

și reprezentăm această relație vectorială în diagrama fazorială.

Deci aceasta este diagrama fazorială, de data aceasta începem cu fazorul pentru tensiunea totală,

pentru că el este comun întregului circuit,

deci toate cele trei elemente au aceeași tensiune, care este tensiunea totală,

și reprezentăm cei trei fazori pentru elementele RL și C.

Iarăși din lecția trecută știm defazajele pe care fiecare din cele trei intensități le au față de U,

deci IR va fi colinear cu U,

pentru că într-un rezistor nu există defazaj între tensiune și intensitate a curentului,

iar IC și IL vor fi perpendiculari pe U,

cu un defazaj egal cu pi pe 2 radiani sau 90 de grade, unul în față, celălalt în spate.

Și procedăm la fel pentru a calcula suma vectorială a celor trei vectori

și pentru a obține fazorul intensității totale I.

Deci, din nou, introducem IX, o nouă cantitate, o nouă mărime,

egală cu diferența dintre IC și IL, deci acesta este IX,

bineînțeles, el va fi de-a lungul celor doi fazori și va fi perpendicular pe IR, care este colinear cu U.

I, intensitatea curentului total, va fi suma dintre IX și IR.

Deci facem suma vectorială, I fiind suma dintre IX și IR modulului I pătrat din acest triunghi,

în care putem aplica teorema Pitagora, deci I pătrat va fi IX pătrat plus IR pătrat,

adică IC minus IL a pătrat plus IR pătrat.

Folosind definiția pentru impedanța Z, care, din nou, prin definiție, este raportul dintre tensiunea totală și intensitatea totală într-un circuit alternativ,

și înlocuind în această formulă legile om pentru fiecare element,

deci I va fi egal cu U pătrat pe Z pătrat,

care va fi egal cu IC, care este U împărțit la XC,

minus IL, care este U împărțit la XL a pătrat,

plus IR pătrat, care este U pătrat împărțit la R pătrat.

Obținem, după simplificarea tensiunii, care este aceeași în tot circuitul,

obținem această formulă pentru impedanța unui circuit paralel.

Bineînțeles, ne-a mai rămas, odată ce am stabilit magnitudinea sau lungimea fazorului I,

trebuie să stabilim orientarea lui în raport cu fazorul tensiunei, deci să calculăm Fi.

Folosim același fapt, și anume că tangentă de Fi este egală cu IX împărțit la IR.

Și facem același tip de înlocuiri și obținem că tangentă de Fi este egală cu R îmulțit cu 1PXC minus 1PXL.

Aceleași două comentarii care le-am făcut pentru circuitul RLC serie sunt valabile,

și anume că acest unghi Fi ia orice valoare între minus Pi și plus Fi,

adică între minus 180 și plus 180 de grade, în funcție de valoarele particulare ale lui XC și XL.

Deci dacă IC este mai mare decât IEL, Fi va fi pozitiv și deci intensitatea curentului va fi defazată în față, față de tensiune.

Dacă IEL este mai mare decât IC, atunci acest Fi va fi negativ și curentul va fi defazat în spate, față de tensiune,

deci va fi undeva în partea cealaltă.