Calcule cu măsuri de unghiuri

Calcule cu măsuri de unghiuri

Pentru măsurarea unghiurilor, folosim unitatea de măsură numită grad.

Sumultiplii gradului sunt minutul și secunda.

Un grad este egal cu 60 de minute, iar un minut este egal cu 60 de secunde.

Un grad va avea 60 de minute și 3600 de secunde.

O măsură a unui unghi de forma A grade B minute C secunde

înseamnă, de fapt, A grade plus B minute plus C secunde.

O să începem cu prima operație, adunarea.

Primul exercițiu

22 de grade și 13 minute plus 14 grade și 26 de minute.

Vom aduna gradele cu gradele și minutele cu minutele.

22 de grade plus 14 grade, 2 cu 4, 6, 2 plus 1, 3, 36 de grade.

Și acum adunăm minutele, 13 minute plus 26 de minute, 9, 3.

Obținem 39 de minute.

Deci rezultatul va fi 36 de grade și 39 de minute.

Al doilea exercițiu

18 grade, 12 minute și 30 de secunde plus 11 grade, 25 de minute și 12 secunde.

Adunăm gradele cu gradele, minutele cu minutele

și secundele.

18 grade plus 11 grade, 8 cu 1, 9, 1 plus 1, 2.

Apoi 12 minute plus 25 de minute, 7, 3, 37 de minute.

Și 30 de secunde plus 12 secunde este egal cu 42 de secunde.

Rezultatul final va fi 29 de grade, 37 de minute și 42 de secunde.

Exercițiul 3

143 de grade, 44 de minute plus 18 grade și 23 de minute.

Procedăm la fel, adunăm gradele cu gradele și minutele cu minutele.

143 de grade plus 18 grade, 8 cu 3, 11, 1 reținem, 4 cu 1, 5 și cu 1, 6.

Și acum adunăm minutele, 44 de minute plus 23 de minute, 4 cu 3, 7, 4 plus 2, 6.

Am obținut 161 de grade și 67 de minute.

Observăm că aici numărul de minute depășește 60 și atunci vom transforma aceste minute în grade și minute.

Vom împărți 67 de minute la 60.

67 împărți la 60, este 1 rest 7.

Deci 67 de minute vor fi egale cu 1 grad și 7 minute.

Acest grad se adună la numărul de grade existente deja.

Și vom obține 162 de grade și 7 minute.

Exercițiul numărul 4. 54 de grade, 35 de minute și 23 de secunde plus 36 de grade, 42 de minute și 49 de secunde.

Adunăm întâi gradele, 54 de grade plus 36 de grade, 4 și cu 6, 10, 0, 1 reținem, 5 cu 3, 8 și cu 1, 9.

Acum adunăm minutele, 35 de minute plus 42 de minute, 77 de minute, 23 de secunde plus 49 de secunde, 9 și cu 3, 12, 4 și cu 2, 6 și cu 1, 7.

Am obținut 90 de grade, 77 de minute și 72 de secunde.

Pentru că numărul de secunde este mai mare decât 60, vom transforma secundele în minute și secunde.

Facem 72 împărțit la 60 pentru că un minut are 60 de secunde.

60 în 72 se cuprinde odată, rest 12.

Deci 72 de secunde vor fi egale cu 1 minut și 12 secunde.

Iar acest minut se adună la numărul de minute existente deja și obținem 90 de grade, 78 de minute și 12 secunde.

Dar și numărul de minute este mai mare decât 60 și atunci trebuie să transformăm minutele în grade și minute.

Facem 78 împărțit la 60 pentru că un grad este egal cu 60 de minute.

60 în 78 se cuprinde odată și restul este 18.

Deci 78 de minute înseamnă 1 grad și 18 minute.

Acest grad se adună la numărul de grade existente deja și rezultatul final va fi 91 de grade, 18 minute și 12 secunde.

Continuăm cu următoarea operație, scăderea.

Primul exercițiu, 23 de grade, 12 minute și 36 de secunde, minus 9 grade, 12 minute și 18 secunde.

Procedăm la fel ca și la adunare, o să scădem gradele între ele, apoi minutele și apoi secundele.

23 de grade minus 9 grade este egal cu 14.

12 minute minus 12 minute este 0 și 36 de secunde minus 18 secunde, 8 din 16 este 8, 1 din 2 este 1.

Am obținut 14 grade, 0 minute care nu se mai scriu și 18 secunde.

Al doilea exercițiu, 216 grade și 15 minute minus 11 grade și 37 de minute.

Efectuăm grade minus grade și minute minus minute.

Observăm că va trebui să efectuăm 15 minute minus 37 de minute, lucru care nu este posibil.

Și atunci vom lua un grad din cele 216 grade, îl transformăm în 60 de minute, iar cele 60 de minute se adună la cele 15 minute existente.

Deci vom scrie 215 grade, 60 plus 15 este 75 de minute, minus 11 grade, 37 de minute.

Și acum putem să efectuăm scăderile.

O să scădem gradele, 215 grade minus 11 grade este egal cu 204 grade și 75 de minute minus 37 de minute, 7 din 15 este 8, 3 din 6 este 3.

Deci am obținut 204 grade și 38 de minute.

Al treilea exercițiu, 63 de grade, 35 de minute și 23 de secunde, minus 34 de grade, 52 de minute și 70 de secunde.

Observăm că nu se poate efectua scăderea 23 minus 70 și atunci va trebui să luăm un minut din cele 35 de minute, îl transformăm în 60 de secunde și cele 60 de secunde le adunăm cu cele 23 de secunde existente deja.

Și atunci vom scrie egal cu 63 de grade, 34 de minute, iar 60 plus 23 este 83 de secunde, minus 34 de grade, 52 de minute și 70 de secunde.

Am rezolvat problema secundelor, însă dacă ne uităm la minute observăm că nu putem să efectuăm scăderea 34 minus 52 și atunci vom lua un grad din cele 63 de grade, îl transformăm în 60 de minute, iar cele 60 de minute se adună cu cele 34 de minute existente.

Și atunci vom avea 62 de grade, 60 plus 34 este 94 de minute, 83 de secunde, minus 34 de grade, 52 de minute și 70 de secunde.

Acum putem să efectuăm scăderile. 62 de grade, minus 34 de grade, 12 minus 4 este 8, 5 minus 3 este 2.

Acum scădem minutele. 94 de minute, minus 52 de minute, 42 și 83 de secunde, minus 70 de secunde, 13.

Rezultatul final va fi 28 de grade, 42 de minute și 13 secunde.

Exercițiul numărul 4. 84 de grade, minus 13 grade, 25 de minute și 43 de secunde.

84 de grade înseamnă 84 de grade, 0 minute, 0 secunde, minus 13 grade, 25 de minute și 43 de secunde.

Va trebui să efectuăm 0 minute minus 25, lucru care nu este posibil, și atunci luăm un grad din cele 84, îl transformăm în 60 de minute și atunci o să putem să scădem minutele.

Obținem 83 de grade, 60 de minute, 0 secunde, minus 13 grade, 25 de minute și 43 de secunde.

Dacă ne uităm la secunde, observăm că nu putem efectua scăderea 0 minus 43 și atunci luăm un minut din cele 60 și îl transformăm în 60 de secunde.

O să avem 83 de grade, 59 de minute, 60 de secunde, minus 13 grade, 25 de minute și 43 de secunde.

Scădem gradele, 83 de grade, minus 13, este 70, 59 de minute, minus 25, este 34, și 60 de secunde, minus 43,

10 minus 3 este 7, 5 minus 4, 1.

Obținem rezultatul 70 de grade, 34 de minute și 17 secunde.

Următoarea operație, înmulțirea cu un număr natural.

Vă reamintesc că o măsură a unui unghi de forma A grade B minute C secunde înseamnă A grade plus B minute plus C secunde

și dacă avem un număr natural N pe care trebuie să îl înmulțim cu această măsură, vom scrie N pe lângă A grade plus B minute plus C secunde.

Știm că înmulțirea este distributivă față de adunare și atunci se va înmulți numărul N cu fiecare număr din paranteză

și vom avea N ori A grade plus N ori B minute plus N ori C secunde.

Primul exercițiu, 2 ori 14 grade, 10 minute și 23 de secunde.

Va fi egal cu 2 pe lângă 14 grade plus 10 minute plus 23 de secunde.

Egal mai departe cu 2 ori 14 grade plus 2 ori 10 minute plus 2 ori 23 de secunde.

Efectuăm înmulțirile 28 de grade plus 20 de minute plus 46 de secunde, care se va scrie 28 de grade, 20 de minute, 46 de secunde.

În al doilea exercițiu, 3 ori 58 de grade, 23 de minute și 42 de secunde.

Va fi egal cu 3 pe lângă 58 de grade plus 23 de minute plus 42 de secunde.

Egal mai departe cu 3 ori 58 de grade plus 3 ori 23 de minute plus 3 ori 42 de secunde.

Efectuăm înmulțirile 58 de grade ori 3, 3 ori 8, 24, 2 reținem, 5 ori 3, 15 și cu 2, 17.

23 de minute ori 3, 3 ori 3, 9, 3 ori 2, 6 și 42 de secunde ori 3, 3 ori 2, este 6, 3 ori 4, 12.

Am obținut 174 de grade, 69 de minute și 126 de secunde.

Observăm că numărul de secunde depășește 60 și atunci vom transforma secundele în minute și secunde.

Vom efectua împărțirea 126 împărțit la 60 pentru că un minut are 60 de secunde.

60 în 126 se cuprinde de 2 ori, obținem restul 6.

Deci 126 de secunde înseamnă 2 minute și 6 secunde.

Aceste 2 minute se adună cu cele 69 de minute existente și vom avea 174 de grade, 71 de minute, 6 secunde.

Ne uităm la numărul de minute, observăm că acesta depășește 60 și atunci vom transforma minutele în grade și minute.

71 împărțit la 60 va fi 1 rest 11.

71 de minute înseamnă 1 grad și 11 minute și atunci vom avea 175 de grade pentru că adunam gradul acesta cu cele 174 de grade existente.

11 minute și 6 secunde.

Continuăm cu împărțirea cu un număr natural.

O măsură de forma A grade B minute C secunde împărțită la un număr N va fi egală cu numărul de grade împărțit la N plus numărul de minute împărțit la N plus numărul de secunde împărțit la N.

Primul exercițiu.

84 de grade 32 de minute 18 secunde împărțit la 2.

Va fi egal cu 84 de grade împărțit la 2 plus 32 de minute împărțit la 2 plus 18 secunde împărțit la 2.

Egal.

84 împărțit la 2 este 42 de grade plus 16 minute plus 9 secunde care se va scrie 42 de grade 16 minute 9 secunde.

Al doilea exercițiu.

87 de grade 59 de minute 42 de secunde împărțit la 2.

Va fi egal cu 87 de grade împărțit la 2 plus 59 de minute împărțit la 2 plus 42 de secunde împărțit la 2.

Pentru că 87 împărțit la 2 va fi o împărțire cu rest, vom lua 1 grad din cele 87 și vom transforma în minute.

Și atunci o să avem 86 de grade și 60 de minute.

La fel procedăm și cu minutele, 59 nu se împarte exact la 2 și atunci vom scrie 58 de minute și 60 de secunde.

Și obținem egal mai departe cu 86 de grade plus 60 de minute totul împărțit la 2 plus 58 de minute plus 60 de secunde totul împărțit la 2.

Aici putem efectua împărțirea, 42 de secunde împărțit la 2 este 21 de secunde egal.

Acum împărțim la 2 fiecare număr din paranteză, 86 împărțit la 2 este 43 de grade, 60 de minute împărțit la 2 30 de minute plus

58 împărțit la 2 este 29 de minute, 60 de secunde împărțit la 2 30 de secunde plus 21 de secunde.

Acum adunăm minutele cu minutele și secundele cu secundele, obținem rezultatul 43 de grade plus 30 plus 29 înseamnă 59 de minute și 30 de secunde plus 21 de secunde reprezintă 51 de secunde.

Va fi egal mai departe cu 43 de grade, 59 de minute și 51 de secunde.