Aria unei suprafețe triunghiulare

Să considerăm punctele necoliniare A de coordonate x1, y1, B de coordonate x2, y2 și C de coordonate x3, y3

și ne propunem să calculăm area suprafeței triangulare ABC.

Una dintre formulele de calcul pentru area triangului este

area suprafeței triangulare ABC este egală cu latura ori înălțimea corespunzătoare totul supra 2.

Considerăm în această situație drept latură lungimea segmentului BC,

iar drept înălțime, distanța de la punctul A la latura BC.

Distanța de la punctul A la latura BC totul supra 2.

Lungimea segmentului BC o vom calcula cu formula distanței dintre două puncte.

Așadar, BC este egal cu radical din abscisa punctului C, adică x3, minus abscisa punctului B, x2, totul la pătrat,

plus ordonata punctului C, adică y3, minus ordonata punctului B, adică y2, totul la pătrat.

Pentru determinarea distanței de la A la BC vom folosi formula distanței de la un punct la o dreaptă.

Să ne reamintim această formulă.

Dată o dreaptă H de ecuație ax plus by plus c, egal cu 0, și un punct M0 de coordonate x0, y0,

distanța de la punctul M0 la dreapta H se calculează după formula modul de ax0 plus by0 plus c,

totul supra, radical, din A la pătrat plus B la pătrat.

Avem nevoie așadar de ecuația dreptei BC.

Această ecuație o vom scrie sub formă de determinant.

x, y1, abscisa punctului B, ordonata punctului B, 1, abscisa punctului C, ordonata punctului C, 1, egal cu 0.

Dezvoltând acum după linia 1, ecuația devine x înmulțit cu determinantul obținut prin suprimarea linii 1 și a coloanei 1,

adică y2, 1, y3, 1, minus y, folosind semnul minus pentru că y se găsește pe linia 1, coloana 2,

înmulțit cu determinantul obținut prin suprimarea liniei 1 și a coloanei 2, adică x2, 1, x3, 1, plus 1,

înmulțit cu determinantul obținut prin suprimarea liniei 1 și a coloanei 3, adică x2, y2, x3, y3,

egal cu 0.

În consecință, efectuând calculele, obținem ecuația x înmulțit cu y2, minus y3, minus y înmulțit cu x2, minus x3,

plus x2, y3, minus x3, y2, egal cu 0.

În consecință, distanța de la punctul A la dreapta BC este egală cu modul D.

Coeficientului x din ecuația dreptei este, în cazul nostru, y2, minus y3,

înmulțit cu abscisa punctului A, adică x1, minus...

Coeficientului y din ecuația dreptei este, în cazul nostru, minus diferența x2, minus x3,

înmulțit cu ordonata punctului A, care este y1, plus termenul liber, adică x2, y3, minus x3, y2.

Totul supra radical din coeficientului x, adică y2, minus y3, la pătrat,

plus coeficientului y la pătrat, adică x2, minus x3, la pătrat,

egal cu modul din x1, înmulțit cu...

Ne reamintim că diferența y2, minus y3, provine, de fapt, din calculul determinantului y2, 1, y3, 1,

minus y1, înmulțit cu...

Diferența x2, minus x3, provine din calculul determinantului x2, 1, x3, 1,

plus diferența x2, y3, minus x3, y2, provine din calculul determinantului x2, y2, x3, y3.

Închidem modulul, totul supra.

Observăm că numitorul conține un radical care nu este altceva decât lungimea segmentului BC.

Înlocuim așadar,

egal mai departe.

Putem rescrie expresia de la numărător ca fiind modulul determinantului

x1, y1, 1, x2, y2, 1, x3, y3, 1,

totul supra lungimea segmentului BC.

Vom nota acest determinant cu delta, obținând distanța de la punctul ala BC,

ca fiind raportul dintre modul de delta și lungimea segmentului BC.

Obținem așadar formula de calcul a ariei suprafeței triangulare ABC

ca fiind 1 supra 2 înmulțit cu BC ori distanța de la punctul ala BC,

care este modul din delta, totul supra lungimea segmentului BC.

Adică, lungimea segmentului BC se simplifică.

Obținem 1 pe 2 ori modul din delta.

În consecință, aria suprafeței triangulare ABC este 1 supra 2 ori modul din delta,

unde delta este determinantul care are pe prima coloană abscisele vârfurilor triangului,

pe a doua coloană ordonatele acestora, iar pe ultima coloană elementul 1.

Cu alte cuvinte, A este de coordonate x1, y1,

B este de coordonate x2, y2, iar C este de coordonate x3, y3.

Fie acum punctul A de coordonate 0 și 2,

punctul B de coordonate 1 și minus 1,

punctul C de coordonate minus 1, 3

și punctul D de coordonate minus 2, minus 2.

Ne propunem să calculăm pentru început distanța de la punctul B la dreapta AC,

apoi aria suprafeței triangulare ABC

și, în ultimul rând, aria suprafeței patru latere ABCD.

Pentru calculul distanței de la punctul B la dreapta AC,

trebuie să determinăm întâi ecuația dreptei AC.

Așadar, ecuația dreptei AC, scrisă sub formă de determinant,

are următoarea expresie x, y, 1, abscisa punctului A, care este 0,

ordonata punctului A, care este 2, 1, abscisa punctului C, care este minus 1,

ordonata punctului C, egală cu 3, și 1, egal cu 0.

Dezvoltând acest determinant după linia 1,

obținem ecuația x înmulțit cu 2, 1, 3, 1

minus y înmulțit cu 0, 1, minus 1, 1

plus 1 înmulțit cu 0, 2, minus 1, 3, egal cu 0.

Calculând determinanțe de ordenul 2, obținem ecuația

2, minus 3, minus 1, adică minus x,

0, plus 1, 1, minus y,

0, plus 2, 2, înmulțit cu 1, 2, egal cu 0.

Deci aceasta este forma ecuației AC.

Distanța de la punctul B la dreapta AC este egală cu modul

de minus 1 înmulțit cu abscisa punctului B.

Abscisa punctului B este 1, minus

coeficientului y este minus 1, înmulțit cu

ordonata punctului B, care este minus 1,

și plus termenul liber, adică 2.

Totul supra radical din minus 1

la puterea a doua, plus minus 1 la puterea a doua,

egal cu modul de minus 1, plus 1, plus 2,

totul supra radical din 2.

Minus 1 cu plus 1 se reduc.

Obținem așadar distanța ca fiind egală cu

2 supra radical din 2.

Dacă raționalizăm această expresie cu radical din 2,

obținem 2 radical din 2 supra 2.

2 cu 2 se simplifică și obținem distanța

de la punctul B la dreapta AC ca fiind

egală cu radical din 2. Pentru calcularea

suprafeției triangulare ABC, avem nevoie să calculăm

determinantul delta. Delta, în cazul nostru, este egal cu

abscisele punctelor A, B și C sunt

0, 1, minus 1, ordonatele

punctelor A, B, C sunt 2, minus 1,

3, 1, 1, 1.

Egal. Vom calcula de data aceasta

determinantul folosind regula triangului. Așadar,

0 ori minus 1 ori 1 egal cu 0,

1 ori 1 ori 3 plus 3,

minus 1 ori 2 ori 1 minus 2,

minus, minus 1 ori minus 1 ori 1 înseamnă

minus 1, 1 ori 2 ori 1 este

minus 2, 0 ori 3 ori 1

egal cu 0. Așadar, obținem astfel

determinantul egal cu minus 2.

Atunci, area suprafeției triangulare

ABC este egal cu 1 supra 2

ori modul din delta, adică 1 supra 2

ori modul din minus 2, adică 1. Pentru

calculul suprafeței patrulatere ABCD

observăm că această suprafață patrulateră se poate

descompone în două suprafețe triangulare. E vorba

de suprafața triangulară ABC, respectiv suprafața

triangulară BCD.

Așadar, cum area suprafeței triangulare

ABC am calculat-o deja, ne rămâne să calculăm

area suprafeței triangulare BCD.

Vom calcula din nou determinantul delta.

Prima coloană conține

abscisele punctelor B, C și D, adică

1, minus 1, minus 2.

A doua coloană conține ordonatele minus 1

3, minus 2, iar ultima coloană conține

elementul 1. Vom calcula acest determinant folosind

regula lui Sarus, adăugând de data aceasta

coloana 1, respectiv coloana a doua, deci

1, minus 1, minus 2, minus 1,

3, minus 2, e gata. 1 ori 3 ori 1

3, minus 1 ori 1 minus 2 plus

2, 1 ori minus 1 ori minus 2 plus 2,

1 ori 3 ori minus 2 minus 6

cu semn schimbat plus 6, 1 ori 1

ori minus 2 plus 2, minus 1 ori minus

1 ori 1 înseamnă minus 1.

Cu alte cuvinte, acest determinant este egal cu 14.

Atunci, area suprafeței patulatere

ABCD, spuneam că o scriem ca

o sumă de două suprafețe

triangulare, suprafața triangulară ABC,

respectiv suprafața triangulară BCD,

și astfel obținem area suprafeței

ABCD ca fiind egală cu 1 plus 14,

adică 15.