Aplicaţii ale interferenţei nelocalizate. Lama cu feţe plan paralele.

În cea de-a patra lecție de optică ondulatorie

vom discuta despre aplicațiile interferenței nelocalizate

și vom discuta de asemeni despre primul tip de

dispozitiv de interferență localizată și anume lama cu fețe plan-paralel.

În ultimele două lecții am discutat diferite tipuri de interferometre

ce produc o interferență nelocalizată.

Yang, Lloyd, Fresnel și așa mai departe.

Interferența nelocalizată se referă la o interferență

ce poate fi observată la orice distanță de sursă,

de sursele interferometrului.

Deci ecranul poate fi poziționat în vari locații

pentru a observa frangele de interferență.

Haideți să discutăm un caz particular de aplicație

a dispozitivului Yang pe care îl vedeți

reprezentat schematic în acest desen.

Dispozitivul Yang a fost discutat și ecuațiile franjelor

pentru acest tip de interferometru au fost deduse acum două lecții.

Deci cazul particular pe care îl discutăm

este acela în care punem o lamă transparentă de grosime G

și indice de refracție N în fața cele de-a doua surse

a interferometrului.

De cele de-a doua surse sunt S1 și S2

și în fața sursei numărul 2 punem această lamă transparentă.

Dorim să aflăm cu cât se deplasează

franjele luminoase pe ecranul vertical

datorită prezenței acestei lame transparente.

Din nou vă rog să revizuiți ecuațiile dispozitivului Yang

care au fost deduse acum două lecții.

Notăm cu R1 și R2 drumurile undelor

de la cele două surse până într-un punct P oarecare de pe ecran

și cu R1' și R2' aceleași mărimi

dar în cazul prezenței lamei.

Deci, în general, vom nota cu valori prime

mărimile ce corespund prezenței lamei în dispozitiv

și fără prim mărimile ce corespund

dispozitivului normal, fără lamă.

Deci, haideți să calculăm diferența de drum optic

până într-un punct P oarecare de pe ecran

în cazul prezenței lame.

Deci, diferența de drum optic este ΔR'

prin definiție este R2' minus R1'

este diferența dintre cele două drumuri

ale undelor din cele două surse până în punctul P

și ea poate fi relaționată

cu diferența de drum optic ΔR

în cazul absenței acestei lame transparente

prin această ecuație, în care R1' este egal cu R1

pentru că nu se schimbă nimic

în cazul undei din prima sursă.

R2' va fi egal cu R2

plus drumul optic prin lama transparentă

care este grosimea mulțită cu indiciile de refracție

minus grosimea G care este drumul optic

al cele de-a doua unde

prin distanța din lamă în cazul în care nu avem lamă.

Deci trebuie să adăugăm drumul optic cu lamă

și să scădem drumul optic fără lamă.

Indice de refracție al R-ului este 1

deci, în acest caz, drumul optic descăzut este 1 ori G.

Obținem că ΔR' este egal cu ΔR

plus N-1G. Deci acesta este factorul

ce trebuie să adăugăm pentru a ține cont de prezența lamei.

Din ecuațiile deduse

în cazul dispozitivului YANG

am obținut și această relație

și anume că diferența de drum optic

este egală cu distanța dintre cele două surse

deci distanța S1-S2 am notat-o cu 2L

împărțită la D, care este distanța dintre planul surselor

și planul ecranului. Deci linia

albă întreruptă are lungimea D

și Y, care este poziția

punctului P oarecare

de pe ecran față de centrul ecranului

care e definit de această axă de simetrie a dispozitivului.

Deci această relație a fost dedusă acum două lecții.

Și deci putem scrie că 2L împărțit la D îmulțit cu YK'

adică poziția

minimului sau maximului de ordinul K

în cazul prezenței lamei, va fi egală cu 2L supra D YK

plus această diferență.

Această ecuație

este adevărată pentru orice

tip de minim, adică maxim sau minimă

pentru orice tip de franj, maximă sau minimă

respectiv luminoasă sau întunecată și pentru orice

ordin al franjei K. Deci în particular

ea va fi adevărată și pentru franja luminoasă centrală

care este o franjă luminoasă, deci este o maxim

și este de ordin 0. Deci putem scrie din această ecuație generală

și această ecuație particulară, care din nou se referă la

franja luminoasă aflată în centrul ecranului pe care

o desenez schematic acum. Deci în centrul ecranului

la poziția Y="0", avem această

franjă centrală luminoasă. Dar bineînțeles

în cazul dispozitivului YANG

normal, adică fără lamă, știm că

poziția acestei franje luminoase

centrale este la Y="0", deci

această valoare este 0. Y0 maxim

este egal cu 0.

Y0 max prim, în acest caz, va fi

cantitatea sau deplasarea

franjei luminoase centrale. Deci e poziția franjei

luminoase centrale în momentul în care introducem

lama de grosime g. Dar

deplasarea franjei

luminoase centrale, care este Y0

max prim, este egală cu deplasarea oricărei franje.

Deci franjele se deplasează cu aceeași distanță.

În concluzie, acest Y0 max prim este

în general egal cu deplasarea

d, pe care o notăm cu d, a oricărei franje

în urma introducerii la. În concluzie putem scrie că

deplasarea oricărei franje luminoase, sau

tuturor franjelor luminoase, este egală cu

N-1 g or d împărțit la 2L.

Distanța dintre franje rămâne aceeași.

Distanța dintre franje se numește interfranjă.

Ea a fost dedusă în lecția despre dispositivul Yang.

Prin definiție este YK-YK-1.

Deci diferența dintre două franje

consecutive, fie ele luminoase sau întunecate.

Și am demonstrat în acea lecție că ea este egală cu

dλ împărțit la 2L.

Aceste două ecuații pentru deplasarea franjelor

în cazul folosirii unui lame și ecuația pentru interfranj

a dispozitivului Yang ne duc

la aplicațiile practice ale dispozitivului Yang

și ale interferometrelor în general.

Deci interferometrele se folosesc pentru determinarea

lungimilor de undă λ. Pentru aceasta folosim ecuația interfranjei.

Observăm că Y, D și L sunt toate

mărimi geometrice sau distanțe geometrice

ce pot fi măsurate direct în dispozitivul Yang.

Și din măsurarea

interferanjei distanței D și a distanței dintre surse 2L

putem extrage direct lungimea de undă a unei surse monocromatice

ce trimite undele sau undele sale

prin dispozitivul Yang.

De asemenea, interferometrele se folosesc pentru măsurarea

indicilor de leții N și a grosimii mediilor transparente

din acest tip de ecuații.

Din nou, D, D, L sunt măsurabile direct

ca și distanțe geometrice în interferometrul nostru

și dacă cunoaștem

spre exemplu indiciile de refracție, putem măsura

grosimea unor pelicule foarte subțiri. Spre exemplu, avem o peliculă

foarte subțire de apă. Știm indiciile de refracție

al apei, dar este foarte dificil de măsura grosimea unei pelicule de apă.

Folosirea unui interferometru cu o lamă

permite din această ecuație măsurarea

grosimii unei pelicule de apă.

După cum am menționat, dispozitivele ce pot forma frangele

în orice poziție D a ecranului se numesc dispozitive de interferență nelocalizată.

Nelocalizată vine de această proprietate a ecranului

de a putea fi plasat la aproape orice distanță.

D totuși trebuie să fie mult mai mare decât 2L,

dar 2L este de ordinul a 1-2 mm.

Deci avem o plajă mare de poziție a lui D,

în care dispozitivul de interferență va funcționa.

În această plajă putem poziționa D în orice locație

pentru a observa frangele.

Există și așa numitele interferometre localizate.

Cel mai cunoscut exemplu este lama cu fețe plan-paralele,

care este reprezentată schematic în acest desen.

Deci avem o sursă de lumină S care trimite o undă plană.

Ea se va reflecta în punctul A

și obținem unda R1, apoi se va refracta,

reflecta din nou și refracta din nou

și obținem unda R2.

Undele R1 și R2 sunt coerente deoarece provin din aceeași

undă originală, aceea care pleacă din sursa S

și știm că

fenomenele de reflectie și refractie nu schimbă frecvența

undelor. Deci R1 și R2 vor avea

aceeași frecvență, deci vor fi coerente.

Razele R1 și R2 sunt coerente și paralele. Ele formează frange

de interferență localizate pe suprafața lamei.

Ce pot fi observate în planul focal al unei lentile

convergente? În particular ochiul este, după cum

am văzut în ultima lecție de optică geometrică,

o lentilă, un sistem de lentile convergente. Deci esențial

este că R1 și R2 sunt coerente, ceea ce înseamnă

că pot genera

o figură sau o interferență staționară. Pentru aceasta

totuși ele trebuie să se întâlnească, ceea ce în acest caz

nu se întâmplă pentru că sunt paralele. Putem rezolva foarte simplu

acest fapt punând o

lentilă convergentă

în calea lor, care va face ca ele

să se întâlnească în planul focal.

Haideți să calculăm diferența de drum optic între cele două

unde R1 și R2. Diferența de drum optic

delta va fi egal cu N2, unde N2

este indiciile de refracție al lamei

înmulțit cu suma dintre AB și BC, care sunt egale,

minus distanța suplimentară

care o parcurge R1 față de R2, care este N1

înmulțit cu AF. N1 este

indicii de refracție al mediului în care se află lama.

De obicei aer, caz în care N1

este egal cu 1, dar putem avea și, spre exemplu, apă.

O lamă cu fețe plan-paralele în apă și în acest

caz N1 e diferit de 1. De asemeni, trebuie

să adăugăm pentru raza R1 un lambda

P2. Ea pierde o semiundă, după cum am

discutat în cazul undelor mecanice și

în alte discuții legate de optica ondulatorie.

Reflexia pe suprafața

unui mediu ce are indiciile de refracție mai mare decât

mediul din care vine unda, deci dacă N2 este mai mare decât N1,

ceea ce se întâmplă aproape întotdeauna cu fețele plan-paralele

sticla, are un indiciu de refracție mare, are loc cu pierdere de

semiundă. Deci trebuie să ținem cont de acest fapt adăugând

în diferența de drum optic această semiundă.

Denotat de asemenea este că și R2

are o reflexie în punctul B, dar această reflexie

are loc pe o suprafață de separare în care

indicii de refracție scade și atunci nu mai avem

această pierdere de semiundă. Deci R2

care este responsabil de această parte din diferența de drum optic

are și ea o reflexie, dar nu putem

adăuga o pierdere de semiundă pentru că N1 este

mai mic decât N2. Acum vom trece prin câteva

calcule geometrice pentru a calcula aceste segmente.

Spre exemplu să notăm acest punct cu P,

deci perpendicularea din B pe prima suprafață

a lamei și un alt comentariu

să observăm acest unghi este egal cu I, pentru că

unghiul de reflexie este egal cu unghiul de incidență și atunci

acest unghi ACF va fi egal cu I,

pentru că AC este perpendicular prin definiție pe normală

în A, iar CF este perpendicular pe Rul

și atunci unghiurile, aceste două unghiuri, sunt egale. Deci acest unghi

este egal cu I. Rezultă de aici că AF

din triunghiul AFC,

deci considerăm triunghiul AFC

și în acest triunghi sinus de I

este egal cu AF împărțit la AC. Deci AF

este egal cu acest sinus de I. De asemeni,

considerând triunghiul, cel de-al doilea triunghi pe care îl considerăm,

este triunghiul APB

și el un triunghi dreptunghic, pentru că acest

unghi este prin definiție 90 de grade și observăm că

AP este egal cu BP

tangent de R. Acest unghi este R, unghiul de

refracție și deci AP

este egal cu D tangent de R, dar AC

este egal cu de două ori AP. În concluzie,

AC va fi egal cu 2AP, care este

D tangent de R. De asemeni, din același

triunghi, APB, observăm că AB,

care este egal cu BC, este egal cu D,

care D, din nou, este grosimea lamei și egal cu

segmentul sau cu latura BP, și va

fi egal, deci AB va fi egal cu D

împărțit la cosinus de R. Adunând toate

aceste ecuații, obținem următoarea ecuație pentru drumul optic.

Delta este egal cu, de aici, 2

pentru că AB egal cu BC, 2N2D

împărțit la cosinus de R, apoi trecem la această parte,

minus N1AF va fi egal cu

minus 2N1D

tangent de R se scrie ca sinus de R împărțit la cosinus

de R, înmulțit cu sinus de I. Deci această parte

este N1AF minus lambda P2, pierderea de semiun.

Acum folosim cea de-a doua lege a refracției,

și anume că N1sinus de I

este egal cu N2sinus de R,

deci obținem un sinus de R la pătrat.

În concluzie, delta va fi

2N2D îmulțit cu 1 pe cosinus de R

minus, obținem 2N2D

sinus de R îmulțit cu 1 cu un sinus de R

sinus de R la pătrat împărțit la cosinus de R

minus lambda P2. Deci obținem la numărător

1 minus sinus la pătrat de R, care este cosinus la pătrat de R.

Cosinus la pătrat de R împărțit la cosinus de R ne dă un cosinus de R.

Deci, în final, diferența de drum optic este

2N2D cosinus de R minus lambda P2.

În care punem condiția uzuală

ca delta, diferența de drum optic pentru un anumit

punct, afla distanța YK,

să fie egal cu 2K lambda P2

pentru a obține xime,

adică franje luminoase,

respectiv delta K este un multiplu impar

de semiunde

pentru a obține minime,

adică franje întunecate.

Haideți să terminăm lecția cu

discuția câtorva cazuri particulare ale lamei cu fețe plan-paralel.

În primul rând să observăm că dacă avem

o sursă întinsă, deci avem o sursă întinsă de lumină,

ceea ce înseamnă că avem mai multe surse punctiforme, am considerat

numai două S1, S2, atunci

undele de aceeași inclinație, precum

aceste două unde reprezentate aici, ce pleacă din S1 și S2,

se vor contribui la franjele de aceeași inclinație.

Mai exact, unda incidentă alui S2

se va reflecta pe direcția undei

a doua a celei ce pleacă din S1.

Deci raza ce pleacă din S1 se reflectă și acesta este R1 din desenul precedent

și ea de asemenea se refractă și apoi

se reflectă și se refractă din nou generând unda R2

din desenul precedent. Ei, va exista întotdeauna

o sursă în sursa întinsă

și anume S2 în desenul nostru, care va pica

pe suprafață la același unghi de incidență

și atunci se va reflecta de-a lungului R2.

În acest caz formăm așa numite franje de egală inclinare

la care contribuie toate razele de pe o sursă întinsă cu același

unghi de incidență I. Deci condiția este ca

unghiul de incidență să fie același I.

Interferența în lumina transmisă are loc

fără pierdere de semiuni. Aceasta înseamnă că

trebuie să observăm că interferența se obține

în lumina reflectată și despre aceasta am discutat.

Dar obținem o a doua interferență în unda

transmisă. Aceste unde vor fi și ele

coerente și dacă punem o lentilă convergentă în calea lor

le suprapunem și obținem interferență staționară.

Dar în acest caz

ecuațiile devin aceleași cu excepția faptului că nu mai

avem pierderea de undă ce are loc în R1, pierderea

de semiundă ce are loc în R1.

Deci diferența de drum optic va fi aceeași mai puțin acel

minus lambda P2. Ceea ce înseamnă că frangele în lumina

reflectată și cele în lumina transmisă

sunt identice dar inversate. Adică acolo unde avem

un maxim în reflectată, avem un minim în

lumina transmisă și invers. Datorită

acelei diferențe de lambda P2. În final

dacă N3 mai mare decât N2 mai mare decât

N1, asta înseamnă că până acum am considerat că

avem N1, N2 și iarăși N1.

Dacă în schimb avem un alt mediu, N3,

a cărui indice de refracție este mai mare decât N2

atunci interferența din lumina reflectată are

o dublă pierdere de semiundă pentru că atât

R1 va avea o pierdere de semiundă dar și R2 va avea

o pierdere de semiundă în acest punct.

Și atunci ele se anulează în diferență și obținem

în acest caz pentru unda reflectată această ecuație

diferenței de drum optic și

în acest caz se inversează din nou

pentru unda reflectată paternul

sau distribuția de frange. O aplicație

practică foarte cunoscută a

lamei cu fețe plan-paralele este stratul antireflex al lentilelor

de o grosime D aleasă astfel încât

să se obțină interferență luctivă în lumina reflectată

și constructivă în lumina transmisă. După cum vedem din ecuațiile lui

delta pentru lumina reflectată și lumina

transmisă care din nou diferă prin acel minus lambda P2

putem alege acest D astfel încât să avem

interferență constructivă în lumina transmisă

care se duce către ochi și destructivă

în primele frange, sunt și cele de

intensitate maximă din lumina reflectată.

Acesta este stratul antireflex

al lentilelor ochelarilor dumneavoastră.