Transcript: Aplicaţii ale interferenţei nelocalizate. Lama cu feţe plan paralele.

În cea de-a patra lecție de optică ondulatorie
vom discuta despre aplicațiile interferenței nelocalizate
și vom discuta de asemeni despre primul tip de
dispozitiv de interferență localizată și anume lama cu fețe plan-paralel.
În ultimele două lecții am discutat diferite tipuri de interferometre
ce produc o interferență nelocalizată.
Yang, Lloyd, Fresnel și așa mai departe.
Interferența nelocalizată se referă la o interferență
ce poate fi observată la orice distanță de sursă,
de sursele interferometrului.
Deci ecranul poate fi poziționat în vari locații
pentru a observa frangele de interferență.
Haideți să discutăm un caz particular de aplicație
a dispozitivului Yang pe care îl vedeți
reprezentat schematic în acest desen.
Dispozitivul Yang a fost discutat și ecuațiile franjelor
pentru acest tip de interferometru au fost deduse acum două lecții.
Deci cazul particular pe care îl discutăm
este acela în care punem o lamă transparentă de grosime G
și indice de refracție N în fața cele de-a doua surse
a interferometrului.
De cele de-a doua surse sunt S1 și S2
și în fața sursei numărul 2 punem această lamă transparentă.
Dorim să aflăm cu cât se deplasează
franjele luminoase pe ecranul vertical
datorită prezenței acestei lame transparente.
Din nou vă rog să revizuiți ecuațiile dispozitivului Yang
care au fost deduse acum două lecții.
Notăm cu R1 și R2 drumurile undelor
de la cele două surse până într-un punct P oarecare de pe ecran
și cu R1' și R2' aceleași mărimi
dar în cazul prezenței lamei.
Deci, în general, vom nota cu valori prime
mărimile ce corespund prezenței lamei în dispozitiv
și fără prim mărimile ce corespund
dispozitivului normal, fără lamă.
Deci, haideți să calculăm diferența de drum optic
până într-un punct P oarecare de pe ecran
în cazul prezenței lame.
Deci, diferența de drum optic este ΔR'
prin definiție este R2' minus R1'
este diferența dintre cele două drumuri
ale undelor din cele două surse până în punctul P
și ea poate fi relaționată
cu diferența de drum optic ΔR
în cazul absenței acestei lame transparente
prin această ecuație, în care R1' este egal cu R1
pentru că nu se schimbă nimic
în cazul undei din prima sursă.
R2' va fi egal cu R2
plus drumul optic prin lama transparentă
care este grosimea mulțită cu indiciile de refracție
minus grosimea G care este drumul optic
al cele de-a doua unde
prin distanța din lamă în cazul în care nu avem lamă.
Deci trebuie să adăugăm drumul optic cu lamă
și să scădem drumul optic fără lamă.
Indice de refracție al R-ului este 1
deci, în acest caz, drumul optic descăzut este 1 ori G.
Obținem că ΔR' este egal cu ΔR
plus N-1G. Deci acesta este factorul
ce trebuie să adăugăm pentru a ține cont de prezența lamei.
Din ecuațiile deduse
în cazul dispozitivului YANG
am obținut și această relație
și anume că diferența de drum optic
este egală cu distanța dintre cele două surse
deci distanța S1-S2 am notat-o cu 2L
împărțită la D, care este distanța dintre planul surselor
și planul ecranului. Deci linia
albă întreruptă are lungimea D
și Y, care este poziția
punctului P oarecare
de pe ecran față de centrul ecranului
care e definit de această axă de simetrie a dispozitivului.
Deci această relație a fost dedusă acum două lecții.
Și deci putem scrie că 2L împărțit la D îmulțit cu YK'
adică poziția
minimului sau maximului de ordinul K
în cazul prezenței lamei, va fi egală cu 2L supra D YK
plus această diferență.
Această ecuație
este adevărată pentru orice
tip de minim, adică maxim sau minimă
pentru orice tip de franj, maximă sau minimă
respectiv luminoasă sau întunecată și pentru orice
ordin al franjei K. Deci în particular
ea va fi adevărată și pentru franja luminoasă centrală
care este o franjă luminoasă, deci este o maxim
și este de ordin 0. Deci putem scrie din această ecuație generală
și această ecuație particulară, care din nou se referă la
franja luminoasă aflată în centrul ecranului pe care
o desenez schematic acum. Deci în centrul ecranului
la poziția Y="0", avem această
franjă centrală luminoasă. Dar bineînțeles
în cazul dispozitivului YANG
normal, adică fără lamă, știm că
poziția acestei franje luminoase
centrale este la Y="0", deci
această valoare este 0. Y0 maxim
este egal cu 0.
Y0 max prim, în acest caz, va fi
cantitatea sau deplasarea
franjei luminoase centrale. Deci e poziția franjei
luminoase centrale în momentul în care introducem
lama de grosime g. Dar
deplasarea franjei
luminoase centrale, care este Y0
max prim, este egală cu deplasarea oricărei franje.
Deci franjele se deplasează cu aceeași distanță.
În concluzie, acest Y0 max prim este
în general egal cu deplasarea
d, pe care o notăm cu d, a oricărei franje
în urma introducerii la. În concluzie putem scrie că
deplasarea oricărei franje luminoase, sau
tuturor franjelor luminoase, este egală cu
N-1 g or d împărțit la 2L.
Distanța dintre franje rămâne aceeași.
Distanța dintre franje se numește interfranjă.
Ea a fost dedusă în lecția despre dispositivul Yang.
Prin definiție este YK-YK-1.
Deci diferența dintre două franje
consecutive, fie ele luminoase sau întunecate.
Și am demonstrat în acea lecție că ea este egală cu
dλ împărțit la 2L.
Aceste două ecuații pentru deplasarea franjelor
în cazul folosirii unui lame și ecuația pentru interfranj
a dispozitivului Yang ne duc
la aplicațiile practice ale dispozitivului Yang
și ale interferometrelor în general.
Deci interferometrele se folosesc pentru determinarea
lungimilor de undă λ. Pentru aceasta folosim ecuația interfranjei.
Observăm că Y, D și L sunt toate
mărimi geometrice sau distanțe geometrice
ce pot fi măsurate direct în dispozitivul Yang.
Și din măsurarea
interferanjei distanței D și a distanței dintre surse 2L
putem extrage direct lungimea de undă a unei surse monocromatice
ce trimite undele sau undele sale
prin dispozitivul Yang.
De asemenea, interferometrele se folosesc pentru măsurarea
indicilor de leții N și a grosimii mediilor transparente
din acest tip de ecuații.
Din nou, D, D, L sunt măsurabile direct
ca și distanțe geometrice în interferometrul nostru
și dacă cunoaștem
spre exemplu indiciile de refracție, putem măsura
grosimea unor pelicule foarte subțiri. Spre exemplu, avem o peliculă
foarte subțire de apă. Știm indiciile de refracție
al apei, dar este foarte dificil de măsura grosimea unei pelicule de apă.
Folosirea unui interferometru cu o lamă
permite din această ecuație măsurarea
grosimii unei pelicule de apă.
După cum am menționat, dispozitivele ce pot forma frangele
în orice poziție D a ecranului se numesc dispozitive de interferență nelocalizată.
Nelocalizată vine de această proprietate a ecranului
de a putea fi plasat la aproape orice distanță.
D totuși trebuie să fie mult mai mare decât 2L,
dar 2L este de ordinul a 1-2 mm.
Deci avem o plajă mare de poziție a lui D,
în care dispozitivul de interferență va funcționa.
În această plajă putem poziționa D în orice locație
pentru a observa frangele.
Există și așa numitele interferometre localizate.
Cel mai cunoscut exemplu este lama cu fețe plan-paralele,
care este reprezentată schematic în acest desen.
Deci avem o sursă de lumină S care trimite o undă plană.
Ea se va reflecta în punctul A
și obținem unda R1, apoi se va refracta,
reflecta din nou și refracta din nou
și obținem unda R2.
Undele R1 și R2 sunt coerente deoarece provin din aceeași
undă originală, aceea care pleacă din sursa S
și știm că
fenomenele de reflectie și refractie nu schimbă frecvența
undelor. Deci R1 și R2 vor avea
aceeași frecvență, deci vor fi coerente.
Razele R1 și R2 sunt coerente și paralele. Ele formează frange
de interferență localizate pe suprafața lamei.
Ce pot fi observate în planul focal al unei lentile
convergente? În particular ochiul este, după cum
am văzut în ultima lecție de optică geometrică,
o lentilă, un sistem de lentile convergente. Deci esențial
este că R1 și R2 sunt coerente, ceea ce înseamnă
că pot genera
o figură sau o interferență staționară. Pentru aceasta
totuși ele trebuie să se întâlnească, ceea ce în acest caz
nu se întâmplă pentru că sunt paralele. Putem rezolva foarte simplu
acest fapt punând o
lentilă convergentă
în calea lor, care va face ca ele
să se întâlnească în planul focal.
Haideți să calculăm diferența de drum optic între cele două
unde R1 și R2. Diferența de drum optic
delta va fi egal cu N2, unde N2
este indiciile de refracție al lamei
înmulțit cu suma dintre AB și BC, care sunt egale,
minus distanța suplimentară
care o parcurge R1 față de R2, care este N1
înmulțit cu AF. N1 este
indicii de refracție al mediului în care se află lama.
De obicei aer, caz în care N1
este egal cu 1, dar putem avea și, spre exemplu, apă.
O lamă cu fețe plan-paralele în apă și în acest
caz N1 e diferit de 1. De asemeni, trebuie
să adăugăm pentru raza R1 un lambda
P2. Ea pierde o semiundă, după cum am
discutat în cazul undelor mecanice și
în alte discuții legate de optica ondulatorie.
Reflexia pe suprafața
unui mediu ce are indiciile de refracție mai mare decât
mediul din care vine unda, deci dacă N2 este mai mare decât N1,
ceea ce se întâmplă aproape întotdeauna cu fețele plan-paralele
sticla, are un indiciu de refracție mare, are loc cu pierdere de
semiundă. Deci trebuie să ținem cont de acest fapt adăugând
în diferența de drum optic această semiundă.
Denotat de asemenea este că și R2
are o reflexie în punctul B, dar această reflexie
are loc pe o suprafață de separare în care
indicii de refracție scade și atunci nu mai avem
această pierdere de semiundă. Deci R2
care este responsabil de această parte din diferența de drum optic
are și ea o reflexie, dar nu putem
adăuga o pierdere de semiundă pentru că N1 este
mai mic decât N2. Acum vom trece prin câteva
calcule geometrice pentru a calcula aceste segmente.
Spre exemplu să notăm acest punct cu P,
deci perpendicularea din B pe prima suprafață
a lamei și un alt comentariu
să observăm acest unghi este egal cu I, pentru că
unghiul de reflexie este egal cu unghiul de incidență și atunci
acest unghi ACF va fi egal cu I,
pentru că AC este perpendicular prin definiție pe normală
în A, iar CF este perpendicular pe Rul
și atunci unghiurile, aceste două unghiuri, sunt egale. Deci acest unghi
este egal cu I. Rezultă de aici că AF
din triunghiul AFC,
deci considerăm triunghiul AFC
și în acest triunghi sinus de I
este egal cu AF împărțit la AC. Deci AF
este egal cu acest sinus de I. De asemeni,
considerând triunghiul, cel de-al doilea triunghi pe care îl considerăm,
este triunghiul APB
și el un triunghi dreptunghic, pentru că acest
unghi este prin definiție 90 de grade și observăm că
AP este egal cu BP
tangent de R. Acest unghi este R, unghiul de
refracție și deci AP
este egal cu D tangent de R, dar AC
este egal cu de două ori AP. În concluzie,
AC va fi egal cu 2AP, care este
D tangent de R. De asemeni, din același
triunghi, APB, observăm că AB,
care este egal cu BC, este egal cu D,
care D, din nou, este grosimea lamei și egal cu
segmentul sau cu latura BP, și va
fi egal, deci AB va fi egal cu D
împărțit la cosinus de R. Adunând toate
aceste ecuații, obținem următoarea ecuație pentru drumul optic.
Delta este egal cu, de aici, 2
pentru că AB egal cu BC, 2N2D
împărțit la cosinus de R, apoi trecem la această parte,
minus N1AF va fi egal cu
minus 2N1D
tangent de R se scrie ca sinus de R împărțit la cosinus
de R, înmulțit cu sinus de I. Deci această parte
este N1AF minus lambda P2, pierderea de semiun.
Acum folosim cea de-a doua lege a refracției,
și anume că N1sinus de I
este egal cu N2sinus de R,
deci obținem un sinus de R la pătrat.
În concluzie, delta va fi
2N2D îmulțit cu 1 pe cosinus de R
minus, obținem 2N2D
sinus de R îmulțit cu 1 cu un sinus de R
sinus de R la pătrat împărțit la cosinus de R
minus lambda P2. Deci obținem la numărător
1 minus sinus la pătrat de R, care este cosinus la pătrat de R.
Cosinus la pătrat de R împărțit la cosinus de R ne dă un cosinus de R.
Deci, în final, diferența de drum optic este
2N2D cosinus de R minus lambda P2.
În care punem condiția uzuală
ca delta, diferența de drum optic pentru un anumit
punct, afla distanța YK,
să fie egal cu 2K lambda P2
pentru a obține xime,
adică franje luminoase,
respectiv delta K este un multiplu impar
de semiunde
pentru a obține minime,
adică franje întunecate.
Haideți să terminăm lecția cu
discuția câtorva cazuri particulare ale lamei cu fețe plan-paralel.
În primul rând să observăm că dacă avem
o sursă întinsă, deci avem o sursă întinsă de lumină,
ceea ce înseamnă că avem mai multe surse punctiforme, am considerat
numai două S1, S2, atunci
undele de aceeași inclinație, precum
aceste două unde reprezentate aici, ce pleacă din S1 și S2,
se vor contribui la franjele de aceeași inclinație.
Mai exact, unda incidentă alui S2
se va reflecta pe direcția undei
a doua a celei ce pleacă din S1.
Deci raza ce pleacă din S1 se reflectă și acesta este R1 din desenul precedent
și ea de asemenea se refractă și apoi
se reflectă și se refractă din nou generând unda R2
din desenul precedent. Ei, va exista întotdeauna
o sursă în sursa întinsă
și anume S2 în desenul nostru, care va pica
pe suprafață la același unghi de incidență
și atunci se va reflecta de-a lungului R2.
În acest caz formăm așa numite franje de egală inclinare
la care contribuie toate razele de pe o sursă întinsă cu același
unghi de incidență I. Deci condiția este ca
unghiul de incidență să fie același I.
Interferența în lumina transmisă are loc
fără pierdere de semiuni. Aceasta înseamnă că
trebuie să observăm că interferența se obține
în lumina reflectată și despre aceasta am discutat.
Dar obținem o a doua interferență în unda
transmisă. Aceste unde vor fi și ele
coerente și dacă punem o lentilă convergentă în calea lor
le suprapunem și obținem interferență staționară.
Dar în acest caz
ecuațiile devin aceleași cu excepția faptului că nu mai
avem pierderea de undă ce are loc în R1, pierderea
de semiundă ce are loc în R1.
Deci diferența de drum optic va fi aceeași mai puțin acel
minus lambda P2. Ceea ce înseamnă că frangele în lumina
reflectată și cele în lumina transmisă
sunt identice dar inversate. Adică acolo unde avem
un maxim în reflectată, avem un minim în
lumina transmisă și invers. Datorită
acelei diferențe de lambda P2. În final
dacă N3 mai mare decât N2 mai mare decât
N1, asta înseamnă că până acum am considerat că
avem N1, N2 și iarăși N1.
Dacă în schimb avem un alt mediu, N3,
a cărui indice de refracție este mai mare decât N2
atunci interferența din lumina reflectată are
o dublă pierdere de semiundă pentru că atât
R1 va avea o pierdere de semiundă dar și R2 va avea
o pierdere de semiundă în acest punct.
Și atunci ele se anulează în diferență și obținem
în acest caz pentru unda reflectată această ecuație
diferenței de drum optic și
în acest caz se inversează din nou
pentru unda reflectată paternul
sau distribuția de frange. O aplicație
practică foarte cunoscută a
lamei cu fețe plan-paralele este stratul antireflex al lentilelor
de o grosime D aleasă astfel încât
să se obțină interferență luctivă în lumina reflectată
și constructivă în lumina transmisă. După cum vedem din ecuațiile lui
delta pentru lumina reflectată și lumina
transmisă care din nou diferă prin acel minus lambda P2
putem alege acest D astfel încât să avem
interferență constructivă în lumina transmisă
care se duce către ochi și destructivă
în primele frange, sunt și cele de
intensitate maximă din lumina reflectată.
Acesta este stratul antireflex
al lentilelor ochelarilor dumneavoastră.