Transcript: Vectorul de poziție al unui punct (aplicații)

Avem următoarea problemă, fie ABC de un trapez, iar MN linie mijlocie.
Se cere să exprimăm vectorul de poziție al mijlocului segmentului MN în funcție de vectorii de poziție ai punctelor A, B, C și D.
Am notat cu P mijlocul segmentului MN și trebuie să exprimăm vectorul de poziție al punctului P.
Haideți să ne reamintim formula vectorului de poziție al unui punct M ce împarte un segment AB în raportul K.
Acesta are următoarea formulă, RA plus KRB supra 1 plus K,
iar în cazul în care M este mijlocul segmentului AB, atunci vectorul de poziție al punctului M va fi egal cu vectorul de poziție al punctului A plus vectorul de poziție al punctului B supra 2.
Din moment ce P este mijlocul segmentului MN, vom aplica această formulă.
Prin urmare, vectorul de poziție al punctului P va fi egal cu vectorul de poziție al punctului M plus vectorul de poziție al punctului N supra 2,
care se mai poate scrie 1 pe 2 pe lângă RM plus RN.
Și acum să exprimăm vectorii de poziție ai punctelor M și N în funcție de vectorii de poziție ai punctelor AB, respectiv CD.
Din moment ce M este mijlocul segmentului AB, atunci RM va fi egal cu vectorul de poziție al punctului A plus vectorul de poziție al punctului B totul supra 2,
iar vectorul de poziție al punctului N va fi egal cu vectorul de poziție al punctului D plus vectorul de poziție al punctului C totul supra 2.
Din aceste 3 relații, obținem următoarea relație.
Vectorul de poziție al punctului P este egal cu 1 pe 2 pe lângă.
În loc de RM vom avea RA plus RB supra 2 plus, în loc de RN vom scrie această relație, RD plus RC supra 2.
Egal cu 1 supra 4 pe lângă RA plus RB plus RC plus RD.
Am reușit așadar să exprimăm vectorul de poziție al punctului P în funcție de vectorii de poziție ai punctelor AB, C și D.
Și mai facem o problemă.
Fie ABC un triunghi, M un punct situat pe latura AB, N un punct situat pe latura AC, astfel încât AM supra MB să fie egal cu 1 pe 2, iar AN supra NC egal cu 2 pe 3.
Exprimați vectorii de poziție ai punctelor M și N.
Avem așadar un punct M situat pe latura AB, astfel încât AM supra MB să fie egal cu K și egal cu 1 pe 2.
O să folosim așadar prima formulă în care o să-l înlocuim pe K cu 1 pe 2.
Prin urmare, vectorul de poziție al punctului M va fi egal cu vectorul de poziție al punctului A plus 1 pe 2, ori vectorul de poziție al punctului B supra 1 plus 1 pe 2.
Egal cu vectorul de poziție al punctului A plus 1 pe 2, ori vectorul de poziție al punctului B totul supra 3 pe 2.
Egal cu vectorul de poziție al punctului B supra 3 pe 2, ori vectorul de poziție al punctului B totul supra 3 pe 2.
Egal în continuare cu 2 pe 3, ori vectorul de poziție al punctului A plus, iar aici o să avem 1 pe 2, ori 2 pe 3, se simplifică 2 și rămâne 1 pe 3.
Așadar, aici o să avem 1 pe 3, ori vectorul de poziție al punctului B.
Am scris așadar vectorul de poziție al punctului M în funcție de vectorii de poziție ai punctelor A și B.
Și acum să scriem vectorul de poziție al punctului N.
Avem raportul AN supra NC egal cu 2 pe 3, prin urmare K va fi 2 supra 3.
N aparține segmentului AC, astfel încât AN supra NC egal cu K și egal cu 2 pe 3.
Atunci vectorul de poziție al punctului N va fi egal cu vectorul de poziție al punctului A plus, în această formulă o să îl înlocuim pe K cu 2 supra 3, și avem 2 pe 3 înmulțit cu vectorul de poziție al punctului C supra 1 plus 2 pe 3.
Egal cu RA plus 2 supra 3 RC supra 5 pe 3.
Vom scrie iarăși ca o sumă de două fracții.
Aici se inversează fracția de la numitor, o să avem 3 supra 5, ori vectorul de poziție al punctului A plus,
iar aici o să avem 2 pe 3 ori 3 pe 5, se simplifică 3 și ne rămâne 2 pe 5.
Așadar o să scriem 2 supra 5 înmulțit cu vectorul de poziție al punctului C.
Am reușit astfel să scriem și vectorul de poziție al punctului N în funcție de vectorii de poziție ai punctelor A și C.