Transcript: Vecinătăţile unui număr real

În acest videoclip voi prezenta noțiunea de vecinătate a unui punct din R barat, adică de pe dreapta reală încheiată.
Cum R barat conține atât numere reale, numere finite, cât și numere infinite, adică plus infinit respectiv minus infinit,
Vom avea trei definiții, vecinătatea unui număr finite, vecinătatea lui plus infinit și vecinătatea lui minus infinit.
Vom începe cu prima situație a număr real finite.
Definiție
V, o submulțime a numerelor reale, se numește vecinătatea punctului A aparținând lui R, dacă există I, un interval deschis, astfel încât A să aparțină lui I, care este inclus în V.
Ceea ce am spus în definiție ar putea fi reprezentat printr-un desen astfel.
Pe axa numerelor am reprezentat numărul real A și am reprezentat cu verde mulțimea V.
Această mulțime V este o vecinătate a numărului real A, dacă există un interval deschis și faptul că I este un interval deschis are foarte mare importanță.
Intervalul deschis I l-am reprezentat cu albastru, astfel încât A să fie element din interval și intervalul I să fie inclus în mulțimea V.
Să luăm câteva exemple.
Se consideră mulțimile interval deschis – 1,1, interval închis – 1,1 și interval – infinit 2 deschis, care dintre aceste mulțimi sunt vecinătăți ale lui 0, evident numărul real.
Să luăm mulțimile pe rând.
Considerăm V1 egal cu interval deschis – 1,1.
V1 ar fi o vecinătate a lui 0, numărul real, dacă există un interval deschis, astfel încât 0 să fie în acel interval deschis și acel interval deschis să fie inclus în – 1,1.
Dacă trebuie să arătăm că există un interval deschis, atunci cel mai simplu este să-l chiar punem în evidență.
Am pus în evidență un interval deschis I, I egal cu – 1,2, 1,2, care îl conține pe 0 și care este inclus în – 1,1.
Înseamnă că V1 este o vecinătate a lui 0.
O observație.
Acest I nu este singurul interval deschis care are proprietatea că îl conține pe 0 și este inclus în – 1,1.
Dar noi nu trebuie să spunem toate intervalele care au această proprietate.
Este suficient să punem în evidență un astfel de interval.
Deci V1 egal cu – 1,1 este vecinătatea lui 0.
Să luăm acum cea de-a doua mulțime.
Intervalul închis – 1,1 am notat-o cu V2.
Este V2 o vecinătate a lui 0.
Și de data asta trebuie să punem în evidență un interval deschis I care să-l conțină pe 0 și care să fie inclus în intervalul închis – 1,1.
Am pus în evidență intervalul deschis I2 egal cu – 3P4,3P4 care îl conține pe 0 și este inclus în intervalul închis – 1,1.
Aș fi putut lua tot intervalul – 1P2,1P2 ca și acela este un interval deschis care îl conține pe 0 și este inclus în intervalul închis – 1,1.
Dar pentru ca să nu credeți că întotdeauna acest I trebuie să fie – 1P2,1P2 am preferat să iau un alt interval.
Cu alte cuvinte și V2 va fi o vecinătate a lui 0.
Vom lua acum intervalul –∞2, notăm cu V3 această mulțime și pentru a arăta că V3 este vecinătatea lui 0 trebuie să găsim din nou un interval deschis I care să-l conțină pe 0 și să fie inclus în –∞2.
Opriți înregistrarea, reprezentați pe axa mulțimea V3 elementul 0, găsiți un interval I care să-l conțină pe 0 și să fie inclus în –∞2.
Eu l-am pus în evidență pe I3 egal cu –1,1 care îl conține pe 0 și inclus în intervalul –∞2.
Nici nu am scris aici capetele intervalului pentru că orice alt interval deschis care îl conține pe 0 și este inclus în V3 ne ajută să demonstrăm că V3 este o vecinătate a lui 0.
Câteva observații legate de vecinătatea unui punct pe axa reală.
Considerăm că A este un număr real.
Am văzut și în exemplul precedent că de exemplu aici am avut 3 intervale care toate erau vecinătăți ale lui 0.
Cu siguranță că mai putem găsi și alte intervale care să fie vecinătăți ale lui 0.
Deci, dacă avem un număr real, acesta poate avea oricât de multe vecinătăți.
Vom nota cu V de A mulțimea tuturor vecinătăților lui A.
V-ul ăsta este un V mare de mână.
A doua observație, dacă I este un interval deschis, el va fi vecinătată pentru orice element din interval.
A treia observație, intervalele centrate în A sunt vecinătăți pentru A.
Ce înseamnă interval centrat în A?
Un interval care este de forma A minus epsilon, A plus epsilon, când epsilon este pozitiv, se numește interval centrat în A.
Am reprezentat aici intervalul centrat în A.
Vedeți că mergem la stânga lui A și la dreapta lui A cu două segmente de lungime egale.
A e mijlocul intervalului A minus epsilon, A plus epsilon.
De exemplu, intervalul 1,3 este un interval centrat în 2.
Pentru că îl pot scrie ca 2 minus 1, intervalul 2 minus 1, 2 plus 1.
Mă duc în stânga lui 2 și în dreapta lui 2 cu o unitate.
Intervalul minus 4 minus 3 este un interval centrat în minus 3,5
Pentru că îl pot scrie ca minus 3,5 minus 0,5 minus 3,5 plus 0,5
Dacă epsilon este un număr pozitiv, notăm v-epsilon, intervalul centrat în A, A minus epsilon, A plus epsilon.
Pentru că intervalul centrat în A este întotdeauna o vecinătate a lui A,
Această vecinătate v-epsilon o vom numi vecinătate centrată în A.
În exemplele pe care le-am avut anterior, minus 1,2,1,2 este o vecinătate centrată în 0.
Minus 3,4,3,4 este o vecinătate centrată în 0.
Minus 1,1 este o vecinătate centrată în 0.
A patra observație, fiecărei vecinătăți v-a lui A îi corespunde o vecinătate centrată în A.
Adică pentru orice vecinătate a lui A există v-epsilon egal cu A minus epsilon, A plus epsilon,
astfel încât v-epsilon să fie inclus în v-epsilon.
Evident, v-epsilon trebuie să fie mai mare decât 0.
Nu am scris, doar am subînțeles.
De aceea atunci când lucrăm cu vecinătățile lui A este suficient să considerăm doar vecinătățile centrate în A.
Acest lucru ne conduce spre reformularea definiției vecinătății lui A astfel.
v este o vecinătate a lui A dacă și numai dacă există epsilon pozitiv, astfel încât A minus epsilon, A plus epsilon,
interval deschis să fie inclus în v.
Această reformulare a definiției înlocuiește intervalul deschis I cu un interval centrat în A.
Observați că în toate exemplele pe care le-am abordat, I de fapt era chiar un interval centrat în 0.
Această formulare a definiției ne ajută mult în a arăta că o mulțime nu este vecinătate a unui punct de pe axa reală.
Să luăm un exemplu.
Să verificăm dacă intervalul deschis minus 1 închis 2 este vecinătatea lui 2.
Conform acestei definiții echivalente pentru vecinătatea unui punct,
minus 1 2 este vecinătatea lui 2 dacă și numai dacă există un epsilon pozitiv, astfel încât
2 minus epsilon 2 plus epsilon să fie inclus în intervalul minus 1 deschis 2 închis.
Am reprezentat aici atât intervalul minus 1 deschis 2 închis, cât și un interval centrat în 2, 2 minus epsilon 2 plus epsilon.
Din desen se vede clar că 2 minus epsilon 2 plus epsilon nu are cum să fie inclus în minus 1 2,
pentru că toate elementele din intervalul 2 minus epsilon 2 plus epsilon aflate la dreapta lui 2
nu se regăsesc și în intervalul minus 1 deschis 2 închis.
Să vedem cum rezolvăm exercițiul fără a ne folosi însă de reprezentarea prin desen.
Faptul că există epsilon pozitiv astfel încât intervalul deschis 2 minus epsilon 2 plus epsilon este inclus în intervalul deschis minus 1 închis 2
se scrie astfel, există epsilon pozitiv astfel încât minus 1 mai mic sau egal decât 2 minus epsilon mai mic decât 2 plus epsilon mai mic sau egal cu 2.
Din ultima inegalitate rezultă că epsilon este mai mic sau egal cu 0.
În ultima inegalitate putem pur și simplu aduna minus 2 în ambii membri ai inegalității și obținem epsilon mai mic sau egal cu 0.
Dar epsilon trebuie să fie pozitiv înseamnă că intervalul deschis minus 1 închis 2 nu aparține mulțimii vecinătăților lui 2, adică nu este o vecinătate a lui 2.
Câteva proprietăți ale vecinătăților.
Vom considera că a este un număr real.
Prima proprietate ne spune de fapt că orice vecinătate își conține punctul.
Adică dacă v este o vecinătate a lui a, a se va găsi neapărat în vecinătatea v.
A doua proprietate ne spune că orice mulțime care conține o vecinătate a unui punct este vecinătate pentru acel punct.
Am reprezentat această proprietate prin desen.
Mulțimea u conține vecinătatea v a lui a.
Se observă din desen că u este o vecinătate pentru a.
A treia proprietate ne spune că intersecția a două vecinătăți a lui a este o vecinătate a lui a.
Am reprezentat cu verde vecinătatea v1, cu albastru vecinătatea v2.
Intersecția este marcată cu caramiziu.
Vedem că v1 intersectat cu v2 este o vecinătate a lui a.
Ultima proprietate se mai numește și proprietatea de separare a lui r.
Dacă avem două numere reale diferite, există o vecinătate a primului număr și o vecinătate a celui de-al doilea număr,
astfel încât aceste două vecinătăți să fie dizjuncte.
Adică să aibă intersecția egală cu mulțimea v.
Am reprezentat cu verde vecinătatea v1 a lui x1 și cu albastru vecinătatea v2 a lui x2.
x1 și x2 evident pot fi mult mai apropiate, dar întotdeauna vor exista două vecinătăți, una a lui x1, cealaltă a lui x2, care să fie dizjuncte.
Vă rog să aveți în vedere că reprezentarea prin desen a fiecarei proprietăți nu înseamnă demonstrarea ei.
Toate aceste proprietăți se demonstrează folosind doar definiția vecinătății unui punct pe axa reală.
Până acum am definit, exemplificat și discutat despre vecinătatea unui punct A din R.
Să vedem care sunt vecinătățile lui plus infinit și minus infinit.
DEFINIȚIE
O mulțime v inclusă în R parat se numește vecinătatea lui minus infinit dacă există b un număr real astfel încât intervalul închis minus infinit deschis b să fie inclus în v.
Am reprezentat aici prin desen ce înseamnă că v este o vecinătatea lui minus infinit.
De exemplu, intervalul închis minus infinit deschis 0 este o vecinătatea lui minus infinit pentru că există intervalul închis minus infinit minus 1 deschis care este inclus în intervalul minus infinit 0.
În cazul acesta, acel b care există este minus 1.
Evident, puteam alege și un alt număr real b, nu doar minus 1.
O mulțime v inclusă în R parat este vecinătatea lui plus infinit dacă există c un număr real astfel încât intervalul deschis c închis plus infinit să fie inclus în v.
Am reprezentat aici prin desen definiția vecinătății lui plus infinit.
De exemplu, intervalul deschis 1 închis plus infinit este o vecinătatea lui plus infinit pentru că există c egal cu 3 număr real astfel încât intervalul deschis 3 închis plus infinit să fie inclus în intervalul deschis 1 închis plus infinit.