Transcript: Unghiuri opuse la vârf

Unghiuri opuse la vârf
Două unghiuri se numesc opuse la vârf dacă au vârful comun, iar laturile lor sunt semidrepte opuse, adică laturile unuia sunt în prelungirea laturilor celuilalt.
În această figură, unghiurile AOB și COD sunt unghiuri opuse la vârf. Ele au vârful comun, punctul O, și laturile în prelungire.
Semidreptele OB și OC sunt opuse și la fel semidreptele OA și OD sunt opuse.
Vom spune că aceste două unghiuri se numesc opuse la vârf.
Deci unghiul AOB și unghiul COD sunt unghiuri opuse la vârf.
În această figură mai avem o pereche de unghiuri opuse la vârf. Acestea sunt AOC și BOD.
Unghiurile opuse la vârf au o proprietate importantă și anume două unghiuri opuse la vârf sunt congruente.
Adică unghiul AOB va fi congruent cu unghiul COD și la fel unghiul AOC va fi congruent cu unghiul BOD.
Să demonstrăm în cele ce urmează că unghiul AOB este congruent cu unghiul COD.
Unghiul BOC este un unghi alungit cu măsura de 180 de grade.
Vom scrie acest lucru. Măsura unghiului BOC este egală cu 180 de grade.
Punctul A este situat în interiorul unghiului BOC și putem să aplicăm axioma de adunare a unghiurilor.
Măsura unghiului BOA plus măsura unghiului AOC ormează măsura unghiului BOC care este egală cu 180 de grade.
Din această relație exprimăm măsura unghiului BOA. Aceasta este egală cu 180 de grade minus măsura unghiului AOC.
Așadar, din această relație am exprimat măsura unghiului BOA.
Pentru a scrie mai ușor în continuare, voi nota măsura unghiului AOC cu o literă X.
Din aceste două relații putem scrie că măsura unghiului BOA va fi egală cu 180 de grade minus X.
Reținem această relație. O notăm cu 1 pentru că o voi folosi ulterior.
Dacă ne uităm la unghiul AOD, observăm că și acesta este un unghi alungit, având măsura de 180 de grade.
Vom scrie că măsura unghiului AOD este egală cu 180 de grade.
Punctul C este situat între A și D și putem să aplicăm și aici axioma de adunare a unghiurilor.
Măsura unghiului AOC plus măsura unghiului COD va fi egală cu măsura unghiului AOD, care este egală cu 180 de grade.
Din această relație exprimăm măsura unghiului COD. Aceasta va fi egală cu 180 de grade minus măsura unghiului AOC.
Dar pentru că am notat cu X măsura unghiului AOC, putem să scriem egal în continuare cu 180 de grade minus X.
Așadar rezultă că măsura unghiului COD este 180 de grade minus X.
Notăm această relație cu 2.
Din relația 1 și 2 putem deduce că măsura unghiului BOA va fi egală cu măsura unghiului COD, pentru că fiecare din aceste măsuri este egală cu 180 de grade minus X.
Așadar aceste unghiuri au același suplement.
Din relația 1 și 2 va rezulta că măsura unghiului BOA este egală cu măsura unghiului COD.
Și atunci putem să scriem că unghiul BOA este congruent cu unghiul COD.
Am demonstrat că două unghiuri opuse la vârf sunt congruente.
La fel se poate demonstra că unghiurile AOC și BOD sunt congruente.
În continuare vom face o problemă.
În figura de mai jos măsura unghiului NOD este de 130 de grade. Aflați măsurile celorlalte unghiuri.
Va trebui să aflăm măsura unghiului NOM, măsura unghiului MOC și măsura unghiului COD.
Având în vedere că unghiurile NOD și MOC sunt unghiuri opuse la vârf, putem trage concluzia că măsura unghiului MOC va fi egală cu 130 de grade.
Să scriem aceste lucruri.
Unghiul NOD este congruent cu unghiul MOC, fiind unghiuri opuse la vârf.
Și de aici rezultă că măsura unghiului MOC este egală cu măsura unghiului NOD și egal, mai departe, cu 130 de grade.
Să aflăm acum măsura unghiului NOM.
Observăm că unghiul NOC este un unghi alungit și atunci el va avea măsura de 180 de grade.
Voi scrie că măsura unghiului NOC este egală cu 180 de grade.
Punctul M fiind situat în interiorul unghiului NOC, putem să aplicăm axioma de adunare a unghiurilor.
Vom scrie că măsura unghiului NOM plus măsura unghiului MOC este egală cu 180 de grade.
Măsura unghiului MOC am aflat-o mai devreme. Aceasta este 130 de grade.
Și atunci vom scrie că măsura unghiului NOM plus 130 de grade egal cu 180 de grade.
De aici aflăm măsura unghiului NOM. Aceasta va fi egală cu 180 de grade minus 130 de grade.
Adică egal mai departe cu 50 de grade.
Am aflat unghiul NOM. Acesta are măsura de 50 de grade.
Mai trebuie să aflăm unghiul COD.
Unghiul COD este opus la vârf cu unghiul MON și atunci va rezulta că măsura unghiului COD va fi tot de 50 de grade.
Să scriem acest lucru. Unghiul NOM este congruent cu unghiul COD, fiind unghiuri opuse la vârf.
Și de aici va rezulta că măsura unghiului COD este egală cu măsura unghiului NOM și egal mai departe cu 50 de grade.