Transcript: Unghiuri adiacente. Bisectoarea unui unghi. Aplicatii

Unghiurile A, O, B și B, O, C sunt adiacente și au măsurile de 30 de grade și 40 de grade.
Aflați măsura unghiului care are laturile bisectoarele celor două unghiuri.
Mai întâi vom face figura geometrică.
Trebuie să construim două unghiuri adiacente.
Acesta va fi unghiul A, O, B și acesta va fi unghiul B, O, C.
Știm că unghiul A, O, B are măsura de 30 de grade și unghiul B, O, C are măsura de 40 de grade
și trebuie să aflăm măsura unghiului care are laturile bisectoarele celor două unghiuri.
Așadar va trebui să construim și bisectoarele.
Mai întâi voi construi bisectoarea unghiului A, O, B.
O voi nota cu O, M.
Apoi construim bisectoarea unghiului B, O, C.
O să o notez cu O, N și se cere să aflăm măsura unghiului M, O, N.
Așadar am construit cele două bisectoare.
Voi scrie acest lucru. Fie O, M bisectoarea unghiului A, O, B și O, N bisectoarea unghiului B, O, C.
Să vedem din ce se compune măsura unghiului M, O, N.
Observăm că măsura unghiului M, O, N va fi egală cu măsura unghiului M, O, B plus măsura unghiului B, O, N.
Și atunci va trebui să aflăm aceste două măsuri.
Așadar măsura unghiului M, O, N va fi egală cu măsura unghiului M, O, B plus măsura unghiului B, O, N.
Pentru că punctul B este situat în interiorul unghiului M, O, N și putem să folosim axioma de adunare a unghiurilor.
Mai întâi se află măsura unghiului M, O, B.
Știm că unghiul A, O, B are măsura de 30 de grade și O, M este bisectoare.
Înseamnă că O, M va împărți acest unghi în două unghiuri, având fiecare măsura de 15 grade.
Deci, măsura unghiului A, O, B este de 30 de grade, O, M este bisectoare.
Deci, rezulta că măsura unghiului A, O, M este egală cu măsura unghiului M, O, B și egal mai departe cu 30 de grade împărțit la 2, egal cu 15 grade.
Deci, unghiul M, O, B va avea măsura de 15 grade.
Acum va trebui să mai aflăm măsura unghiului B, O, N.
Știm că unghiul B, O, C are măsura de 40 de grade și că O, N este bisectoare acestui unghi.
Voi scrie și acest lucru.
Măsura unghiului B, O, C este de 40 de grade, O, N este bisectoare.
De aici rezultă că măsura unghiului B, O, N este egală cu măsura unghiului N, O, C și egal mai departe cu 40 de grade împărțit la 2, egal cu 20 de grade.
Așadar, unghiul B, O, N are măsura de 20 de grade.
Revenind la această relație, o să o notez cu 1.
Din relația 1 va rezulta că măsura unghiului M, O, N va fi egală cu suma celor două măsuri, 15 grade plus 20 de grade, egal mai departe cu 35 de grade.
Și a doua problemă?
B, O și C sunt trei puncte coliniare în această ordine, iar A și D sunt două puncte situate de o parte și de alta a dreptei BC, astfel încât măsura unghiului A, O, D este de 90 de grade.
Știind că măsura unghiului A, O, B este de 50 de grade, aflați măsura unghiului format de bisectoarele unghiurilor B, O, D și A, O, C.
Mai întâi facem figura geometrică. Avem trei puncte coliniare, așadar va trebui să reprezentăm o dreaptă.
Și pe această dreaptă avem punctele B, O și C, apoi punctele A și D sunt situate de o parte și de alta a dreptei BC.
Aici va fi punctul A și undeva aici punctul D, astfel încât unghiul A, O, D să fie un unghi drept.
Unghiul A, O, D este un unghi drept. Se mai știe că măsura unghiului A, O, B este de 50 de grade.
Deci unghiul A, O, B este acesta și are măsura de 50 de grade. Se cere să aflăm măsura unghiului format de bisectoarele unghiurilor B, O, D și A, O, C.
Așadar va trebui să construim bisectoarea unghiului B, O, D. O voi nota cu OM și bisectoarea unghiului A, O, C. O voi nota cu ON și se cere să aflăm măsura unghiului M, O, N.
Am construit cele două bisectoare și vom scrie fie OM, bisectoarea unghiului B, O, D și ON, bisectoarea unghiului A, O, C.
Măsura unghiului M, O, N va fi formată din măsura unghiului M, O, B plus măsura unghiului B, O, A plus măsura unghiului A, O, N.
Voi scrie și acest lucru.
Măsura unghiului M, O, N este egală cu măsura unghiului M, O, B plus măsura unghiului B, O, A plus măsura unghiului A, O, N.
Nu cunoaștem nici măsura unghiului M, O, B și nici măsura unghiului A, O, N.
Măsura unghiului B, O, A este de 50 de grade pentru că unghiul B, O, A este același cu unghiul A, O, B și ni se dă în problemă faptul că unghiul A, O, B are măsura de 50 de grade.
Și atunci mai trebuie să aflăm celelalte două măsuri.
Voi începe cu măsura unghiului A, O, N.
Știm că punctele B, O și C sunt puncte coliniare.
Acest lucru înseamnă că unghiul B, O, C este un unghi alungit, având măsura de 180 de grade.
Înseamnă că măsura unghiului A, O, C se poate afla păcând diferența dintre măsura unghiului B, O, C și măsura unghiului A, O, B.
Vom scrie așadar că măsura unghiului A, O, C este egală cu măsura unghiului B, O, C minus măsura unghiului A, O, B.
Dar măsura unghiului B, O, C este egală cu 180 de grade pentru că este un unghi alungit.
Măsura unghiului A, O, B este de 50 de grade pentru că se dă un problemă.
Și din aceste 3 relații, rezultă că măsura unghiului A, O, C va fi egală cu 180 de grade minus 50 de grade, egal cu 130 de grade.
Știm și că O, N este bisectoarea acestui unghi. Înseamnă că ea o să împartă unghiul A, O, C în două unghiuri, având fiecare măsura de 65 de grade.
Așadar vom scrie că O, N este bisectoarea unghiului A, O, C.
Și de aici rezultă că măsura unghiului A, O, N va fi egală cu măsura unghiului N, O, C, egal mai departe cu 130 de grade împărțit la 2, egal cu 65 de grade.
Așadar am aflat unghiul A, O, N. Acesta are măsura de 65 de grade.
Și mai trebuie să aflăm măsura unghiului M, O, B.
Acesta este unghiul M, O, B.
În enunțul problemei se mai specifică faptul că măsura unghiului A, O, D este de 90 de grade.
Și atunci putem să aflăm măsura unghiului B, O, D, scăzând din 90 de grade cele 50 de grade ale unghiului A, O, B.
Așadar măsura unghiului B, O, D va fi egală cu măsura unghiului A, O, D minus măsura unghiului A, O, B.
Egal mai departe cu 90 de grade minus 50 de grade egal cu 40 de grade.
Deci unghiul B, O, D este de 40 de grade.
O, M este bisectoarea acestui unghi.
Din aceste două relații rezultă că măsura unghiului B, O, M va fi egală cu măsura unghiului M, O, D.
Egal mai departe cu 40 de grade împărțit la 2 egal cu 20 de grade.
Revenind la desen, vom scrie că măsura unghiului B, O, M este de 20 de grade.
Voi nota această relație cu 1 pentru că o s-o folosim imediat.
Am aflat cele 3 măsuri și atunci măsura unghiului M, O, N va fi egală cu 20 de grade plus 50 de grade plus 65 de grade.
Din relația 1 rezultă că măsura unghiului M, O, N este egală cu 20 de grade plus 50 de grade plus 65 de grade.
20 plus 50 este 70 plus 65 este egal cu 135 de grade.