Transcript: Unghiul unei drepte cu un plan

În continuare să stabilim cum determinăm măsura unghiului format de o dreaptă cu un plan.
Dacă dreapta este perpendiculară pe plan, atunci lucrurile sunt simple.
Dreapta D perpendiculară pe planul alfa, atunci, cum vorbim de perpendicularitate, înseamnă că măsura unghiului făcut de dreapta D și planul alfa, câte grade are?
90 de grade. Avem aici o dreaptă perpendiculară pe un plan.
Dacă însă dreapta nu e perpendiculară pe plan, atunci măsura unghiului format de un plan și o dreaptă ce nu e perpendiculară pe plan este egală cu măsura unghiului format de acea dreaptă cu proiecția ei pe plan.
Și haideți să vedem și desenul.
Gata, dreapta D nu este perpendiculară pe planul alfa.
Ei bine, în această situație, măsura unghiului format de dreaptă și de plan este de fapt măsura unghiului format de dreapta D cu proiecția ei pe plan.
Păi, proiecția pe planul alfa a dreptei D este dreapta A B'
E ușor de văzut.
Și atunci rezultă că măsura unghiului format de dreapta D și planul alfa, chiar nu o să scriu dreapta D, o să o numesc dreapta AB, o putem numi și astfel.
Deci măsura unghiului format de dreapta AB și planul alfa este de fapt măsura unghiului format de dreapta AB și AB'
AB și AB'
Cu alte cuvinte, ce unghi avem?
Păi, dreapta AB și AB' formează unghiul BAB' adică acest unghi.
Venim aici și notăm egal cu măsura unghiului BAB'
Atenție! Când vorbim de unghiul făcut de două drepte concurente, știm că obținem de fapt două măsuri de unghiuri.
Această măsură și această măsură.
Însă, prin convenție, alegem măsura mai mică.
În cazul nostru, această măsură, pentru că e clar că acest unghi este mai mare decât, are măsura mai mare decât acesta.
Cu alte cuvinte, când vorbim de măsura unghiului format de o dreaptă cu un plan, vorbim de fapt de măsura unghiului format de dreapta respectivă cu proiecția ei pe plan.
Ce se întâmplă însă dacă dreapta e paralelă cu planul?
Păi aplicăm aceeași regulă dată aici.
Deci, ce vom obține?
Iată, dreapta AB paralelă cu planul alfa. Am notat și aici.
Proiecția acestei drepte pe plan este dreapta A'B'.
Cele două drepte AB și A'B' sunt paralele.
Trec aici AB paralelă cu A'B'.
Atunci, conform regulii învățate anterior, rezultă că măsura unghiului făcut de dreapta AB și planul alfa este de fapt egală cu măsura unghiului făcut de dreapta AB și proiecția ei pe plan.
Deci, dreapta AB și dreapta A'B'.
Ce măsură vom obține?
Păi, cum avem două drepte paralele, iată, am notat aici, înseamnă că avem zero grade.
Dacă însă dreapta este inclusă în plan, atunci, iată, dreapta B este inclusă în planul alfa.
Tot așa, conform regulii învățate, înseamnă că măsura unghiului făcut de dreapta B și planul alfa este de fapt egală cu măsura unghiului făcut de dreapta B și de proiecția ei pe plan.
Însă, cum dreapta este inclusă în plan, înseamnă că proiecția ei pe plan e chiar dreapta însăși.
Deci, măsura unghiului făcut de dreapta B și de ea însăși.
Trec aici tot dreapta B.
Cu alte cuvinte, obținem tot așa zero grade.
Să facem acum o aplicație.
Se dă drept unghiul ABCD.
MA e perpendiculară pe planul ABC.
Deci, MA perpendiculară pe planul ABC.
Cu alte cuvinte, perpendiculară pe planul ABCD.
Pentru că aceste patru puncte sunt coplanare.
Și lungimile segmentelor ca în figură.
Avem MA a mic centimetri, AB tot a mic centimetri, BC a mic radical din 3 centimetri.
Și putem să considerăm că numărul A este un număr rațional pozitiv.
Să determinăm măsura unghiului format de dreapta MA și planul ABC.
Deci, de dreapta MA și planul ABCD.
Păi, cum este dreapta MA față de planul ABC?
Spune aici că e perpendiculară.
Deci, haideți să trecem pentru punctul a mic.
De vreme ce MA e perpendiculară pe planul ABC.
Rezultă că măsura unghiului făcut de această dreaptă MA și acest plan ABC este de 90 de grade.
Avem dreaptă perpendiculară pe plan.
Al doilea sub punct, sub punctul b mic, să determinăm acum măsura unghiului format de dreapta MB și planul ABC.
Iată, avem aici dreapta MB și planul ABCD.
Păi, cum determinăm acum unghiul format de această dreaptă cu acest plan?
Păi, trebuie mai întâi să vedem care este proiecția dreaptei MB pe planul ABCD.
Și e foarte simplu de văzut că proiectând punctul M pe planul ABCD obținem punctul A.
Proiectând punctul B pe acest plan obținem tot punctul B.
Deci, proiecția dreaptei MB pe acest plan este, de fapt, dreapta AB.
Și haide să notăm că proiectând, deci vom nota așa, proiecția pe planul ABC a punctului M este punctul A.
Proiecția pe același plan ABC a punctului B este tot punctul B, pentru că punctul B face parte din acest plan.
Deci, de aici rezultă că proiecția pe planul ABC a dreptei MB este ce dreaptă? Este dreapta AB.
Păi, ce vom obține atunci?
Înseamnă că unghiul făcut de această dreaptă MB cu planul ABCD este, de fapt, unghiul făcut de această dreaptă MB cu dreapta AB.
Adică vorbim de acest unghi.
Și să notăm, rezultă că proiecția, pardon, că măsura unghiului format de dreapta MB cu planul ABC, adică exact ce se cere aici în enunț,
este egală cu măsura unghiului făcut de dreapta MB cu dreapta AB.
Și ce unghi obținem? Cum se numește unghiul trasat aici cu roșu?
MBA, măsura unghiului MBA.
Bun, și acum nu ne rămâne de făcut decât să determinăm măsura acestui unghi.
Ce observăm?
În triunghiul MAB avem MA congruent cu AB și ce fel de triunghi avem?
Păi MA este perpendiculară pe planul ABCD.
Și AB este inclusă în acest plan, înseamnă că MA e perpendiculară pe AB.
Deci putem să trecem aici că avem un unghi de 90 de grade.
Și haide să notăm că avem așa MA perpendiculară pe planul ABCD.
Avem aici planul ABCD.
Dreapta AB este inclusă în acest plan ABCD sau ABC, putem să notăm și așa.
Rezultă că MA este perpendiculară pe AB.
Cu alte cuvinte, înseamnă că avem acest unghi de 90 de grade.
Deci rezultă că avem triunghiul MAB cu măsura unghiului A de 90 de grade.
Deci avem un triunghi dreptunghic și mai cum este el?
Este isoscel pentru că MA e congruent cu AB.
Deci avem aici un triunghi dreptunghic isoscel, înseamnă că măsura acestui unghi, precum și a acestuia, este de 45 de grade.
Deci veniți și notăm că măsura unghiului MBA este de 45 de grade.
Haideți să subliniem.
Am avut de determinat măsura acestui unghi, care este egală cu măsura unghiului MBA.
Iată că am găsit că avem 45 de grade.
Sub punctul C mic, să determinăm măsura unghiului format de dreapta MD și planul ABCD.
Tot așa, care este proiecția dreptei MD pe planul ABCD?
Păi proiecția punctului M pe plan este punctul A, punctul D aparține planului.
Asta înseamnă că notăm direct proiecția, de sub punctul C mic, proiecția pe planul ABC.
A dreptei MD este de fapt dreapta AD.
Ce rezultă de aici?
Că măsura unghiului, deci rezultă în continuare, că măsura unghiului format de dreapta MD și planul ABC este de fapt egală cu măsura unghiului format de dreapta MD și proiecția ei pe plan care este dreapta AD.
Iată aici, AD.
Deci ce unghi vom avea?
Dreapta MD și AD formează acest unghi, adică MDA, egal cu măsura unghiului MDA.
Și să determinăm acum măsura acestui unghi.
În primul rând, ce fel de triunghi este MAD?
Avem tot un triunghi dreptunghic, unghiul A are 90 de grade.
Explicația este asemănătoare cu ce am făcut aici când am arătat că unghiul MAB are 90 de grade.
Deci notăm direct că MA este perpendicular pe AD.
Asta înseamnă că avem triunghiul MAD cu măsura unghiului A de 90 de grade.
Ce mai cunoaștem în acest triunghi MAD?
Avem aici A centimetrii, care este lungimea segmentului AD.
Ce este ABCD? Este un dreptunghi.
Avem aici că BC are A radical din 3 centimetri.
Înseamnă că și aici avem tot A radical din 3 centimetri.
Deci cunoaștem și lungimea acestei catete și lungimea acestei catete.
Cum putem să determinăm măsura acestui unghi?
Aplicăm o funcție trigonometrică.
De vreme ce cunoaștem lungimile catetelor, e mai simplu să aplicăm tangenta sau cotangenta.
Avem tangent D.
Unghiul MDA este egal cu raportul dintre lungimea catetei opuse unghiului, deci MA,
și lungimea catetei alăturate unghiului, adică AD.
Și înlocuim și vom avea așa MA are A miccentimetri, deci avem A supra AD are A radical din 3.
Dacă simplificăm prin A, A este un număr rațional diferit de 0, atunci vom obține 1 supra radical din 3.
Racionalizăm și vom avea radical din 3 pe 3.
Ce măsură are unghiul MDA astfel încât tangenta acestui unghi să ne dea radical din 3 pe 3?
Păi tangenta de 30 de grade este egală cu radical din 3 pe 3, deci resultă că măsura unghiului MDA este de 30 de grade.
Și putem să subliniem, iată, doream să determinăm măsura unghiului făcut de dreapta MD și planul ABC.
Am obținut că este egală cu măsura unghiului MDA, adică avem 30 de grade.
Sigur, aceasta nu este singura metodă prin care puteam obține câte grade are acest unghi.
Iată, dacă aplicam în triunghiul MAD teorema lui Pitagora, atunci aici am fi obținut că avem 2a centimetri.
Și atunci, de vreme ce această catetă are lungimea egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei,
conform reciprocei teoremei unghiului de 30 de grade, înseamnă că măsura acestui unghi este într-adevăr de 30 de grade.