Transcript: Unghi înscris în cerc (aplicații)

Ne propunem rezolvarea următoarei probleme.
Triunghiul dreptunghic ABC este înscris într-un cerc de centru O și rază R egală cu 15 cm.
Știind că măsura unghiului A este egală cu 90 de grade, AB este egal cu 18 cm, aflați perimetrul și area triunghiului.
Având în vedere că măsura unghiului A este egală cu 90 de grade, înseamnă că BC este diametru al acestui cerc.
Am văzut în lecția anterioară că un unghi înscris într-un semicerc este un unghi drept.
Așadar, arcul BC este semicerc, prin urmare, coarda BC este diametru.
Se știe că raza cercului este egală cu 15 cm.
Asta înseamnă că lungimea segmentului BO este egală cu 15, pentru că BO este rază în acest cerc,
și, de asemenea, lungimea segmentului OC va fi egală cu 15, pentru că și OC este rază.
Se mai dă în problemă că AB are lungimea egală cu 18 cm.
Trebuie să calculăm perimetrul și area triunghiului.
Observăm că deja cunoaștem două laturi al acestui triunghi.
AB are lungimea egală cu 18 cm din ipoteză.
Dacă măsura unghiului A este egală cu 90 de grade, înseamnă că BC este diametru.
Prin urmare, BC are lungimea egală cu dublul razei. Știm că diametrul unui cerc este egal cu 2R.
Raza este egală cu 15, 2X15 egal cu 30.
Pentru a afla perimetrul și area triunghiului, mai trebuie să calculăm lungimea laturii AC.
Având în vedere că triunghiul este dreptunghic, putem să aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul ABC.
Catetele acestui triunghi sunt AB și AC, iar ipotenuza este BC.
Suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei.
AB la pătrat plus AC la pătrat egal cu BC la pătrat.
18 la pătrat plus AC la pătrat egal cu 30 la pătrat.
18 la a doua este 324 plus AC la a doua egal cu 900.
AC la a doua va fi egal cu 900 minus 324.
AC la pătrat este egal cu 576.
AC va fi egal cu radical din 576.
Putem să descomponem alăturat acest număr în factor prim.
576 se poate împărți la 2.
2 în 5 se cuprinde de 2 ori, 2 în 17 de 8 ori, 2 în 16 de 8 ori.
Împărțim la 2, obținem 144.
Împărțit la 2 este 72.
Împărțit la 2 este 36.
Împărțit la 2 este 18.
Împărțit la 2 este 9.
Împărțit la 3 este 3.
Formăm pătratele perfecte, grupăm factorii câte 2.
Aici o să avem 2 la a doua, care va ieși de sub radical și rămâne 2.
La fel și aici.
Iar aici o să avem factorul 3.
Prin urmare, AC este egal cu 2 ori 2, ori 2, ori 3.
2 ori 2, 4.
2 ori 3, 6.
4 ori 6, 24.
O să mai scriu încă o dată că AC este egal cu 24 centimetri.
Am aflat toate laturile triunghiului ABC.
Putem să aflăm perimetrul și area acestuia.
Perimetrul unui triunghi este suma lungimilor laturilor.
Astfel, perimetrul triunghiului ABC este egal cu AB plus BC plus AC.
Egal cu 18 plus 24 plus 30.
18 cu 24 este 42 plus 30, 72 centimetri.
Iar area unui triunghi reptunghic este produsul catetelor supra 2.
Deci area va fi AB ori AC supra 2.
Area triunghiului ABC este semiprodusul catetelor.
AB ori AC supra 2 egal.
AB este 18, AC este 24 supra 2.
Se simplifică 18 cu 2, ne rămâne 9.
9 ori 24.
4 ori 9 este 36.
3 reținem 9 ori 2, 18 cu 3, 21.
Area acestui triunghi este egală cu 216 centimetri pătrați.