Transcript: Trunchiul de piramidă regulată (formule)

Să deducem acum împreună formulele pentru aria laterală, aria totală și volumul unui trunchi de piramidă regulată.
Am spus și în altă secvență că trunchiul de piramidă se formează prin secționarea unei piramide cu un plan paralel cu baza
și în funcție de piramida pe care o secționăm, avem diferite trunchiuri de piramidă.
Și acum vom vorbi de trunchiul de piramidă regulată și anume, avem trunchiul de piramidă patrulateră regulată,
are două baze situate în plane paralele și bazele sunt două pătrate asemenea, deci pătratul ABCD este asemenea cu pătratul A'B'C'D'
și fețele laterale sunt trapeze isoscele congruente, avem patru trapeze isoscele congruente.
Dacă vorbim de trunchiul de piramidă triunghiulară regulată, atunci bazele sunt două triunghiuri echilaterale asemenea,
situate în plane paralele, fețele sunt la fel trapeze isoscele congruente
și dacă vorbim de un trunchi de piramidă hexagonală regulată, atunci la fel bazele care sunt situate în plane paralele sunt hexagoane asemenea regulate
și fețele laterale sunt tot așa trapeze isoscele.
Să deducem acum formulele pentru trunchiul de piramidă patrulateră regulată.
Area laterală este egală cu suma arilor fețelor laterale și noi știm că avem ca fețe laterale patru trapeze isoscele congruente,
deci avem patru înmulțit cu aria unui trapez.
Putem să-l alegem pe oricare, de exemplu B'C'C'B'B'C'C'B'
și acum trebuie să exprimăm aria acestui trapez.
Aria unui trapez este egală cu, trecem formula, baza mică plus baza mare, deci B'C'B'C
ori înălțimea construită în acest trapez, o să las ai spațiul ca să trecem înălțimea, totul supra 2.
Și acum, haideți să construim o înălțime în trapezul B'C'C'B'
Fie putem să coborăm o perpendiculară din B' sau din C' pe B'C, de exemplu,
coborăm o perpendiculară din B', trec aici punctul N, avem aici 90 de grade,
sau putem să coborăm o perpendiculară din oricare punct ales pe segmentul B'C'.
De exemplu, putem să alegem chiar și mijlocul segmentului B'C', îl notez cu M'
și din M' coborăm o perpendiculară pe B'C'.
Și trec aici punctul M, avem aici 90 de grade, la fel și aici.
Atenție, apotema a unui trunc de piramidă este de fapt o înălțime construită într-o față laterală.
Când vorbim de trunchiuri de piramidă regulată, oricare două apoteme sunt congruente.
Deci și M'M și B'N poate fi considerată apotema a trunchiului de piramidă, ele sunt congruente.
Să alegem, de exemplu, pe M'M, trec aici APT, apotema trunchiului,
o să șterg ce am construit aici, aici vreau să vadă că avem punctul M.
Și acum am construit înălțimea, o notăm cu APT, deci venim aici și ștergem și trecem că avem înmulțit cu apotema trunchiului de piramidă.
Bun. Ce rezultă acum? Păi vom înlocui area laterală, este egală cu 4 înmulțit cu, în loc de area acestui trapez vom trece ce am notat aici, iată chiar o să copiem direct.
Ce putem să facem acum? Păi putem să îl înmulțim pe 4 cu fiecare termen din paranteză în parte și iată ce vom obține.
Avem așa 4 ori B'C' adunat cu 4 ori BC totul înmulțit cu apotema trunchiului de piramidă supra 2.
Păi ce înseamnă 4 înmulțit cu lungimea segmentului B'C'?
Păi cum avem aici un pătrat, înseamnă că obținem chiar perimetrul acestui pătrat, de fapt perimetrul bazei mici și 4 ori BC reprezintă perimetrul bazei mari.
Să notăm, formula pentru area laterală este următoarea, perimetrul bazei mici, o să scriu așa cu B' adunat cu perimetrul bazei mari, o să trec aici B' înmulțit cu apotema trunchiului de piramidă supra 2.
Și astfel am găsit formula pentru area laterală.
Ștergem aici ca să avem spațiu pentru celelalte formule.
Și acum, care este formula pentru area totală?
E foarte simplu, area totală este alcătuită din area laterală plus ariile bazelor, aria bazei mici adunat cu aria bazei mari.
Aria bazei mici cu cât este egală?
Păi dacă notăm latura pătratului cu pătratului mic, să-i spunem așa cu L mic, avem L mic la a doua, aria bazei mari.
Dacă notăm latura pătratului cu L mare, avem L mare la pătrat.
Și acum nu ne-a mai rămas să trecem decât formula pentru volum.
Volumul unui trunc de piramidă are următoarea formulă.
Avem înălțimea supra 3, unde înălțimea este reprezentată de segmentul O prim O.
O să-l construim aici.
Deci aceasta este înălțimea trunchiului de piramidă înmulțit cu, și acum în paranteză vom trece, aria bazei mari adunată cu aria bazei mici.
Adunată cu, radical din, această formulă o să fie nevoie să o ținem minte, aria bazei mari înmulțit cu aria bazei mici.
Și aceasta e formula pentru volumul trunchiului de piramidă.
Acum, dacă am vrea să trecem și formulele pentru apotema bazei mici și apotema bazei mari, iată, apotema bazei mici este aceasta, O prim M prim și apotema bazei mari este O M.
Pentru O prim M prim, O prim M prim este apotema bazei mici.
Care este formula?
Păi, O prim M prim este linia mijlocie în triunghiul A prim C prim B prima.
Asta înseamnă că O prim M prim are lungimea egală cu jumătate din lungimea segmentului A prim B prim, adică L pe 2.
Deci, egal cu L mic supra 2.
La fel, O M, care este apotema bazei mari, are lungimea L mare supra 2.
Formulele pe care le-am scris cu albastru pentru aria laterală, pentru aria totală și pentru volum sunt aceleași, fie că vorbim de un trunc de piramidă patrulateră regulată sau un trunc de piramidă triunghiulară sau hexagonală regulată.
Deci, avem aceleași formule și pentru celelalte două tipuri de trunchiuri de piramidă prezentate.
Se modifică însă ariile bazelor.
Dacă avem, de exemplu, un trunc de piramidă triunghiulară regulată, atunci ariile bazelor vor fi, de fapt, ariile unor triunghiuri echilaterale.
Și, la fel, se modifică și calculul, formulele pentru apotema bazei mici, dar și pentru apotema bazei mari.
Deci, reținem aceste trei formule pentru determinarea ariei laterale, ariei totale și a volumului unui trunc de piramidă regulată.