Transcript: Trunchiul de con circular drept (aplicații)

Să aplicăm formulele pe care le-am învățat pentru trunchiul de con circular drept.
Și ni se dă această problemă, un trunchi de con circular drept are raza bazei mici de 2 centimetri,
raza bazei mari de 8 centimetri și generatoarea de 10 centimetri.
Să găsim area laterală, area totală și volumul trunchiului de con.
Prin urmare, voi nota aici cu O prim centrul bazei mici, notăm și cu O centrul bazei mari și să reprezentăm acum razele.
Avem aici raza bazei mari, raza bazei mici și să le și notăm.
Avem aici R mic, R mare, mai cunoaștem că generatoarea este de 10 centimetri
și să găsim area laterală, area totală și volumul trunchiului de con.
Pentru început, să scriem formula pentru area laterală.
Area laterală a unui trunchi de con este egală cu pi ori g înmulțit cu, deschidem paranteza, R mic plus R mare.
Acum, știm și generatoarea, știm și valorile celor două raze, deci putem să calculăm.
Va rezulta, trecem aici, că area laterală este egală cu pi înmulțit cu g este 10.
Pe lângă, avem aici raza mică plus raza mare, 2 plus 8.
Și obținem 10 ori 10, adică 100 pi centimetri pătrați.
Pentru area totală, avem formula area laterală adunată cu arile celor două baze, adică pi ori R mare la pătrat plus pi ori R mic la pătrat.
Rezultă area totală egală cu area laterală 100 pi adunat cu, avem aici, R mare la pătrat, adică 8 la a doua, 64 pi adunat cu R mic la a doua, adică 2 la a doua, 4 ori pi.
Avem 64 cu 4, 68 cu 100, 168 pi centimetri pătrați.
Pentru volum, trecem formula volumului egal cu pi înmulțit cu h supra 3, unde h este înălțimea trunchiului de con, o vom trasa și pe desen.
Pe lângă, R mare la a doua plus R mic la a doua plus produsul dintre R mare și R mic.
Și să trasăm acum înălțimea, adică oprim o.
Păi avem valoarea lui R mare și lui R mic, ne mai trebuie însă să determinăm înălțimea, adică lungimea segmentului oprim o.
Cum facem acest lucru?
Păi putem să lucrăm în trapezul dreptunghic O, A, aprim, oprim.
Și chiar o să-l luăm separat, iată, O, A, aprim, oprim.
Avem aici raza mică, să trecem și valoarea, avem 2 centimetri, raza bazei mici și raza bazei mari, O, A de 8 centimetri și mai știm că avem aici 10 centimetri.
Noi vrem să găsim lungimea segmentului oprim o.
Cum facem acest lucru?
Având în vedere că avem aici un trapez dreptunghic.
Păi cred că deja v-ați obișnuit cu asemenea probleme, deja din clasa 7a.
Construim perpendicularea din aprim pe O, A.
Și trecem aici că avem punctul M și acest unghi are 90 de grade.
Deci voi scrie aici, ducem aprim M perpendicular pe O, A.
Păi ce o să rezulte din această relație, din această construcție de fapt?
Ce fel de 4 lateri este acesta O, M, aprim, oprim?
Păi avem de fapt un dreptunghi, iată, oprim O este paralelă cu aprim M, notăm, rezultă de aici că oprim O paralelă cu aprim M.
Știm din construcția, din definiția trapezului că oprim, aprim.
Cum este? Paralelă cu O, A, adică cu O, M.
Și mai avem și măsura unghiului O sau măsura acestui unghi, nu are importanță, de 90 de grade.
Cu alte cuvinte, ce obținem aici este un dreptunghi.
Deci rezultă că O, M, aprim, oprim este dreptunghi.
Păi din această relație rezultă două lucruri foarte importante și anume, deci rezultă de aici.
Pe de o parte avem că lungimea segmentului oprim O este egală cu lungimea segmentului aprim M,
deci oprim O egal cu aprim M și mai avem și faptul că oprim A este egal cu O, M.
Oprim A, oprim aprim, pardon, egal cu O, M, egal prin urmare cu 2 centimetri.
Și chiar o să trec aici că avem, iată, 2 centimetri reprezintă O, M.
Păi acum putem foarte simplu, foarte ușor să determinăm valoarea segmentului, lungimea segmentului M, A și anume 8 minus 2, adică 6 și o să șterg aici.
Deci să notăm că M, A egal cu O, A, deci O, A minus O, M, cu alte cuvinte, 8 minus 2, deci 6 centimetri.
De ce ne interesează și lungimea acestui segment?
Păi iată că am obținut aici triunghiul dreptunghic aprim M, A, știm lungimea ipotenuzei, știm lungimea acestei catete, deci putem să găsim lungimea segmentului aprim M,
care este congruent cu oprim O și am determinat înălțimea.
Deci în triunghiul aprim M, A cu măsura unghiului M de 90 de grade aplicăm teorema lui Pitagora.
Deci rezultă din teorema lui Pitagora ce vom avea?
Aprim M la pătrat egal cu aprim A la pătrat minus M, A la pătrat.
Și să facem calculul, vom avea așa că aprim M la pătrat este egal cu, avem aici 10 la a doua, deci 100 minus 6 la a doua, 36, ne dă 64,
de unde rezultă că aprim M are lungimea de 8 centimetri.
Deci trecem aici că avem 8 centimetri.
Din această relație, iată, avem aici oprim M egal cu AM, o să trec relația 1,
deci rezultă din relația 1 că, chiar o să scriu tot cu roșu, oprim O egal și el tot cu 8 centimetri.
Din aceste două relații, iată.
Relația 1, trec aici relația 2, deci din 1 și 2 rezultă lungimea segmentului oprim O.
Trecem aici 8 centimetri.
Și acum revenim la calculul volumului trunchiului, deci putem să ștergem aici
și vom calcula volumul este egal cu pi înmulțit cu H supra 3.
Păi am găsit că H are valoarea de 8 centimetri și trecem 8,
deci vom avea 8 supra 3 pe lângă R mare la pătrat 64 plus R mic la pătrat, adică 2 la a doua,
deci 4 plus R mare ori R mic, 8 ori 2, 16.
Avem aici 20 cu 64, 84, deci pi ori 8 supra 3 înmulțit cu 84,
putem să simplificăm prin 3, ne rămâne aici și 28.
Și facem calculul, 8 ori 28 ne dă 224 pi centimetri cubi.
Și am determinat astfel și volumul acestui trunchi de con.