Transcript: Triunghiuri asemenea

Triunghiuri asemenea
Două triunghiuri se numesc asemenea dacă au toate unghiurile respectiv congruente și toate laturile respectiv proporționale.
Prin asemănare se înțelege o corespondență între două figuri geometrice, care își păstrează forma, nu însă și mărimea.
Observăm că triunghiurile ABC și A'B'C' au toate unghiurile respectiv congruente,
mai exact unghiul A este congruent cu unghiul A', unghiul B este congruent cu unghiul B' și unghiul C este congruent cu unghiul C',
însă laturile celui de-al doilea triunghi au lungimile duble față de lungimile laturilor primului triunghi.
Putem spune că triunghiul A'B'C' este imaginea mărită a triunghiului ABC. Astfel de triunghiuri se numesc triunghiuri asemenea.
Când vorbim de asemănarea a două triunghiuri, trebuie să ținem cont de corespondența dintre vârfurile și laturile acestora.
De exemplu, unghiurile A și A' se vor numi unghiuri corespondente sau omoloage,
iar laturile BC și B'C' se vor numi laturi omoloage sau corespondente.
Având în vedere că unghiurile acestor două triunghiuri sunt respectiv congruente,
iar între laturi există următoarea relație AB'A'B' este egal cu BC'B'C' egal cu AC'A'C' și egal cu 1'2
Pentru că lungimile laturilor triunghiului A'B'C' sunt de două ori mai mari decât cele ale triunghiului ABC,
vom spune că acestea sunt triunghiuri asemenea.
Acesta este simbolul pentru asemânare, este simbolul tildea,
iar 1'2 se numește raport de asemânare sau factor de asemânare.
Să vedem în continuare câteva proprietăți ale relației de asemânare.
Dacă triunghiul ABC este congruent cu triunghiul A'B'C',
atunci triunghiurile sunt și asemenea, raportul de asemânare fiind 1.
De fapt, congruența triunghiurilor este un caz particular de asemânare în care raportul de asemânare este 1.
Dacă triunghiul ABC este asemenea cu triunghiul A'B'C',
iar triunghiul A'B'C' este asemenea cu un alt triunghi A'B'C',
atunci triunghiul ABC va fi asemenea cu triunghiul A'B'C'.
Și o altă proprietate, dacă triunghiul ABC este asemenea cu triunghiul A'B'C',
atunci și triunghiul A'B'C' este asemenea cu triunghiul ABC.
Rețineți că două triunghiuri sunt asemenea dacă unghiurile lor sunt respectiv congruente,
iar între segmente există o relație de proporționalitate.
Vom face în continuare o problemă.
Dacă triunghiul ABC este asemenea cu triunghiul MNP,
A'B este egal cu 9 cm, A'C egal cu 12 cm,
iar raportul de asemânare este 3 supra 5,
calculați lungimile segmentelor MN și MP.
Se știe că A'B este egal cu 9 și A'C 12.
Trebuie să aflăm lungimea segmentelor MN și MP.
Dacă triunghiul ABC este asemenea cu triunghiul MNP,
va rezulta că laturile acestor triunghiuri sunt proporționale.
A'B supra MN va fi egal cu B'C supra MP,
egal cu A'C supra MP,
iar raportul de asemânare este 3 supra 5.
Vom înlocui în această relație lungimile segmentelor A'B și A'C.
9 supra MN
egal cu B'C supra MP
egal cu 12 supra MP
și egal cu 3 supra 5.
Noi trebuie să aflăm lungimea segmentelor MN și MP,
deci nu ne interesează raportul B'C supra MP.
Și acum vom forma o proporție din primul raport și ultimul.
9 supra MN
egal cu 3 supra 5.
Din această relație va rezulta că MN este egal cu 9 ori 5 supra 3.
Se simplifică 9 cu 3 și obținem 15 cm.
12 supra MP este egal cu 3 supra 5.
Va rezulta că lungimea segmentului MP va fi egală cu 12 ori 5 supra 3.
Se simplifică 12 cu 3 și ne rămâne 4.
4 ori 5 egal cu 20 cm.