Transcript: Triunghiul echilateral

Proprietățile triunghiului echilateral
Un triunghi care are toate laturile congruente se numește triunghi echilateral.
Avem următoarea teoremă. Într-un triunghi echilateral, toate unghiurile sunt congruente, având măsura egală cu 60 grade.
Vom face demonstrația acestei teoreme.
Se știe că triunghiul ABC este echilateral, deci laturile sale sunt congruente.
AB este congruentă cu AC și congruent cu BC și trebuie să demonstrăm că unghiurile sunt congruente.
Unghiul A congruent cu unghiul B congruent cu unghiul C.
Demonstrație.
Având în vedere că triunghiul echilateral are cel puțin două laturi congruente, înseamnă că el poate fi privit ca pe un triunghi isoscel.
Dacă luăm în considerare congruența segmentelor AB și AC, putem spune că triunghiul ABC este un triunghi isoscel, având baza BC.
Știm că triunghiul isoscel are unghiurile de la bază congruente, deci va rezulta că unghiul B este congruent cu unghiul C.
Notăm această relație cu 1.
Dacă AC este congruentă cu BC, atunci triunghiul poate fi privit ca pe un triunghi isoscel, având baza AB.
Deci unghiurile de la bază vor fi congruente.
Unghiul A va fi congruent cu unghiul B.
Notăm această relație cu 2.
Putem observa că dacă unghiul B este congruent cu unghiul C și unghiul A este congruent cu unghiul B,
va rezulta din aceste două relații că unghiul A este congruent cu unghiul B și congruent cu unghiul C.
Deci toate cele trei unghiuri vor fi congruente.
Din relația 1 și 2 rezultă că unghiul A este congruent cu unghiul B și congruent cu unghiul C.
Am demonstrat că triunghiul echilateral are toate unghiurile congruente.
Să vedem cum putem arăta că ele au măsurile egale cu 60 de grade.
Din această relație de congruență rezultă că măsura unghiului A este egală cu măsura unghiului B
și egală mai departe cu măsura unghiului C.
Dar știm că în orice triunghi suma măsurilor unghiurilor este egală cu 180 de grade.
Așadar voi scrie că măsura unghiului A plus măsura unghiului B plus măsura unghiului C
egal cu 180 de grade.
Din aceste două relații va rezulta următoarea relație.
Măsura unghiului A plus
În luc de măsura unghiului B și măsura unghiului C putem să scriem măsura unghiului A
pentru că aceste măsuri sunt egale
plus măsura unghiului A egal cu 180 de grade.
3 ori măsura unghiului A
egal cu 180 de grade.
Împărțim această egalitate la 3 în ambii membri
și rezulta că măsura unghiului A
va fi egală cu 180 de grade împărțit la 3
egal cu 60 de grade.
Așadar am arătat că cele 3 unghiuri
sunt congruente și au măsurile de 60 de grade.
Voi scrie că măsura unghiului A este egală cu măsura unghiului B
egal cu măsura unghiului C
și egal cu 60 de grade.
Următoarea teoremă
Dacă un triunghi are toate unghiurile congruente
atunci triunghiul este echilateral.
Aceasta este teorema reciprocă a teoremei anterioare.
Pentru a demonstra, de exemplu, că un triunghi este echilateral
putem să aplicăm această teoremă și să arătăm
că el are toate unghiurile congruente.
O consecință a acestor teoreme este următoarea proprietate
un triunghi isoscel care are un unghi cu măsura de 60 de grade
este triunghi echilateral.
Este valabilă și următoarea teoremă
Într-un triunghi echilateral toate liniile importante
ce pornesc din același vârf coincid.
Cele trei bisectoare sunt și mediane, înălțimi și mediatoare.
Orice triunghi echilateral poate fi considerat un triunghi isoscel.
Așadar, toate proprietățile triunghiului isoscel
se aplică și în cazul triunghiului echilateral
și mai mult proprietățile referitoare la liniile importante în triunghi
sunt valabile pentru fiecare latură a acestui triunghi.
Dacă AM este bisectoare, ea va fi și mediană, înălțime și mediatoare.
La fel, CP va fi bisectoare, mediană, înălțime și mediatoare.
Respectiv, BN va fi și a-bisectoare, mediană, înălțime și mediatoare.
Așadar, cele trei linii importante ce pornesc din același vârf coincid.
Observăm că și punctul de intersecție al acestora
este în același timp ortocentru, centrul de greutate,
centrul cercului înscris în triunghi și centrul cercului circumscris triunghiului.
Cele trei segmente AM, BN și CP vor fi și axe de simetrie.
Triunghiul echilateral este triunghiul cu cele mai multe axe de simetrie.
Acest triunghi are trei axe de simetrie.
În continuare o să facem două probleme.
Prima problemă, triunghiul ABC este echilateral.
Fie AD perpendiculară pe BC, D aparține segmentului BC.
Dacă DC este 3 centimetri, calculați perimetrul triunghiului ABC.
Voi scrie ipoteza.
Se dă un triunghi ABC echilateral.
Asta înseamnă că AB este congruent cu AC și congruent cu BC.
Se știe că AD este perpendiculară pe BC, așadar AD este înălțime.
Se știe că DC este 3 centimetri.
Voi scrie și pe figură DC 3 centimetri.
Trebuie să calculăm perimetrul triunghiului ABC.
Demonstrație.
Amându-în vedere că AD este înălțime și triunghiul ABC este echilateral, rezultă că AD este și mediană.
Și atunci punctul D este mijlocul segmentului BC.
Dacă D este la mijloc, înseamnă că BD este congruent cu DC.
BD va avea aceeași lungime cu DC, și anume 3 centimetri.
Va rezulta că latura BC va avea 6 centimetri,
iar triunghiul fiind echilateral, toate cele 3 laturi vor avea aceeași lungime de 6 centimetri.
Vom calcula perimetrul acestui triunghi însumând cele 3 laturi.
AD fiind perpendiculară pe BC și triunghiul ABC fiind un triunghi echilateral.
Va rezulta că AD este și mediană.
Rezultă că BD va fi egal cu DC și egal cu 3 centimetri.
Lungimea segmentului BC se calculează însumând cele 2 segmente, BD și DC.
Egal cu 3 centimetri plus 3 centimetri, egal 6 centimetri.
Va rezulta că și AB, respectiv AC, vor avea aceeași lungime de 6 centimetri.
Și acum calculăm perimetrul acestui triunghi însumând cele 3 laturi.
Perimetrul triunghiului ABC va fi egal cu AB plus AC plus BC,
egal mai departe cu 6 plus 6 plus 6 centimetri, egal cu 18 centimetri.
Și următoarea problemă.
În triunghiul dreptunghic ABC, cu măsura unghiului BAC egală cu 90 grade,
prelungim BA cu AD congruent cu AB.
Dacă măsura unghiului ACB este egală cu 30 grade, arătați că triunghiul BDC este echilateral.
Prelungim segmentul BA cu un alt segment congruent cu acesta, AD.
Se știe că măsura unghiului BCA este de 30 grade și trebuie să arătăm că triunghiul BCD este echilateral.
O modalitate de a arăta că triunghiul BDC este echilateral este să arătăm că acesta este un triunghi isoscel,
care are un unghi cu măsura de 60 grade.
Pentru a arăta că triunghiul BCD este isoscel, vom arăta că acesta are două laturi congruente.
Mai exact demonstrăm că BC va fi congruent cu CD.
Va trebui să încadrăm aceste două segmente în două triunghiuri.
Vom demonstra că triunghiul BAC este congruent cu triunghiul DAC.
Observăm că acestea sunt triunghiuri dreptunghice.
Măsura unghiului BAC fiind de 90 grade, va rezulta că și măsura unghiului DAC este tot de 90 grade,
pentru că acestea sunt unghiuri suplementare.
Așadar vom compara două triunghiuri dreptunghice.
Știm din ipoteză că AD este congruent cu AB.
AD și AB sunt catete în cele două triunghiuri.
Acestea mai au o latură comună. Aceasta este cateta AC.
AC este congruent cu AC.
Fiind o latură comună,
din cele două relații rezultă, conform cazului de congruență cateta-cateta,
că triunghiul DAC este congruent cu triunghiul BAC.
Iar din congruența acestor două triunghiuri va rezulta că DC este congruent cu BC.
Am arătat că acest triunghi are două laturi congruente.
Înseamnă că el va fi un triunghi isoscel.
Rezultă că triunghiul CDB este un triunghi isoscel.
Acum mai trebuie să arătăm că acesta are un unghi cu măsura de 60 de grade.
Din congruența celor două triunghiuri va rezulta și că unghiul DCA este congruent cu unghiul BCA.
Înseamnă că și acest unghi va avea măsura de 30 de grade.
Și atunci putem observa cu ușurință că măsura unghiului DCB este de 60 de grade,
iar un triunghi isoscel care are un unghi cu măsura de 60 de grade este triunghi echilateral.
Din faptul că triunghiul DAC este congruent cu triunghiul BAC,
va rezulta că unghiul DCA este congruent cu unghiul BCA.
Rezultă că măsura unghiului DCA este egală cu măsura unghiului BCA
și egal mai departe cu 30 de grade.
Putem să aflăm acum măsura unghiului DCB.
Aceasta va fi egală cu 30 de grade plus 30 de grade egal cu 60 de grade.
Am arătat că triunghiul este isoscel. Notăm această relație cu 1
și am arătat că acest triunghi are un unghi cu măsura de 60 de grade.
Din relația 1 și 2 va rezulta că triunghiul CDB este echilateral.
Există și o altă modalitate de a demonstra că acest triunghi este isoscel,
fără să folosim metoda triunghiurilor congruente.
Dacă ne uităm pe figură, observăm că CA este înălțime în triunghiul CDB,
pentru că CA este perpendiculară pe BD.
Știm din ipoteză că aceste două segmente AB și AD sunt congruente.
Aceasta înseamnă că CA este și mediană,
iar un triunghi în care o înălțime coincide cu mediana este triunghi isoscel.
Dacă CA este înălțime și mediană, atunci ea este și bisectoare,
de unde ar fi rezultat că unghiul DCA este congruent cu unghiul BCA.
Înseamnă că acesta are măsura de 30 de grade.